徜徉在『数学经验课堂』的探寻路上

杨国华（特级教师）

读者朋友，如果您曾读过本刊2019年第9 期的卷首语《让“经验课堂”成为一种美好样态》一文，想必对“数学经验课堂”已经有了初步的感性认知。今天，我将结合王扣兰老师的《延展度量工具共性 提升经验迁移能力——〈角的度量〉教学实践与思考（一）》［以下简称课例（一）］和王笑老师的《基于经验视角 引之尝试“自渔”——〈角的度量〉教学实践与思考（二）》［以下简称课例（二）］这两个课例再次为大家解读“数学经验课堂”的理性认识与实践思考，以便大家对“数学经验课堂”有更好的认知，亦企盼各位读者能与我们共同携手，构建更臻完善的“数学经验课堂”体系，以不断提升当前的数学课堂教学效益。

自2011年《数学课程标准》首次提出“帮助学生积累数学活动经验”这一课程目标以来，我们用八年多的时间持续做了两个江苏省教育科学规划课题，主题都是围绕“帮助学生积累数学活动经验”而开展研究的。我们从最初的懵懂到现在的逐步厘清，主要遵循了三个研究的原则。一是“体系化”的研究视角。小学阶段应该帮助学生积累哪些基本的数学活动经验，这些数学活动经验在不同年级是如何上升的。二是“过程性”教学目标的思考。学生的数学活动经验积累的重点在于“经历”与“体验”，建立怎样的一种教学模型才能促进教师在常态课教学中也能自觉让学生充分经历知识的发生、发展过程。三是“课程建设”视角的审视。课程标准基本理念第四条指出：学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学。从课程建设视角来看，我们应当建立目标多元、方法多样的评价体系。

一、基点与架构

根据史宁中、孔凡哲等教授学者的观点，也是为了便于研究，我们从以下四个纬度开展了如何帮助学生积累数学基本活动经验的相关研究：行为操作活动的经验、数学探究活动的经验、数学思维活动的经验和数学问题解决的经验。其中，行为操作活动的经验是指来自于外显行为操作活动中感觉、知觉的经验，属于直接经验。数学探究活动的经验既有外显行为的操作活动，也有思维层面的操作活动，是融行为操作与思维操作于一体，并不完全脱离行为操作的数学活动，探究活动的经验一般是直接经验。数学思维活动的经验一般是指不借助外在的实在物体而依据思维材料进行数学操作活动获得的经验，主要包括归纳、类比、联想、猜想、特殊与一般化等思维活动。数学问题解决的经验是指运用数学知识进行问题解决的经验（包括发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的经验等）。

学生数学活动经验的水平是螺旋上升的，其上升的过程一定是依附于特定的数学学习活动的开展而逐步递进的。如为帮助学生较好积累数学问题解决的经验，当前苏教版教材从三年级起就专门安排了《解决问题的策略》单元，应该说这是苏教版小学数学教材的一大特色和亮点。但事实上，对于学生数学问题解决的经验积累，并非一、二年级或其他教材中就没有，故我们从一年级起对教材进行重新梳理，一共列出了24 个诸如“求被减数的实际问题”“简单的两步计算实际问题”等典型题材，并进行系统设计与教学实践，注重渗透，逐步积累与提升学生数学问题解决的经验水平。

美国组织行为学教授库伯曾提出：知识是经验的构成与再构成，学习是“始于经验、然后回归于经验”“改造或者转化经验、创造知识”的过程。按照这一理论观点，随着研究的不断深入，我们明确提出了“经验课堂”的新观点。其指向是让学生真实经历数学知识的发生和发展过程，以让学生对数学多一份体验、感悟，不断积累丰富的数学活动经验，提升学生的数学思维品质。“经验课堂”有其操作模型：基于经验——唤醒经验——积累经验——提升经验——应用经验。这五个步骤层层递进，但并不是每一节数学课都需要面面俱到，可以是其中的三四个环节，这从我们提供的两个课例中可窥一斑。这个模型把学习内容、经验积累与数学活动有机结合，既体现了在课堂教学中帮助学生积累数学基本活动经验的基本路径，又是指导我们进行数学活动设计和课堂教学实施的基本依据。从这一角度而言，与其说它是一种教学模型，毋宁说它是一种教学思想。

二、设计与实践

“数学经验课堂”的设计思维是让学生站在数学学习的正中央。这意味着我们教师始终应当保持儿童视角，要站在学生的角度设计教学。奥苏贝尔曾说过：影响学生学习新知的唯一最重要的因素，就是学习者已经知道了什么。从经验课堂设计的角度而言，也就是要基于学生的已有经验引导学生进入数学的探究之旅。在《角的度量》这两个不同的教学课例中，应该说都遵循了这一立场。课例（二）从比较角的大小开始，而后在多种工具测量的过程中产生认知冲突，激发统一测量工具的内需。当教师将折叠的∠3 打开后，学生发现这就是一个量角器时，他们惊讶于自己的发现：原来量角器就是由若干个角组成的，量角器中存有许许多多个大小不同的角。如此，学生在真正进行角的度量时，就不再感到困难与陌生，他们自然就会认识到量角无非就是在量角器中找到不同的角而已。我们知道，不管是测量长度还是角度，皆是在量（liáng）中产生了不同的量（liàng）。课例（一）即是基于学生对测量长度的已有认知，从工具视角打通量角器与直尺之间的共性，不能不说是一种创新的思维，更是一种基于学生已有认知经验的设计，从直尺测量长度的经验中让学生感悟并自然而然将方法迁移到用量角器测量角度中去，设计可谓新颖有效。仔细推敲，两种测量方法还真有异曲同工之妙。

“数学经验课堂”的重要特质就是强调“学法五动”。即在数学学习活动中，为了更好地让学生积累丰富的数学活动经验，我们要尽可能多地创造机会让学生动手操作、动眼观察、动脑思考、动口说理、动耳倾听。在这两个课例中，帮助学生积累数学行为操作经验的要求是显而易见的，学生只有在动手操作中才能较好地感悟到量角的技巧，形成真正的量角技能。但课例中的动手又并非是一种机械操作，它需要学生在操作中尝试、探究、体悟，从而积累量角的丰富经验。在这一过程中，需要学生进行观察、思考，更需要他们将自己的心得体悟表达出来。细细品味，我们发现两位教师都能抓住这一实践要点，创设一切机会让学生到台前来表达数学想法，这是难能可贵的。这也是“数学经验课堂”一直倡导的，不管是哪一节课，我们的学生都需要到台前表达他们的数学思维。我们坚持认为，学生站在座位前讲述与到台前表达的心理机制、思维逻辑水平等都是不一样的，一位学生能在台前将自己的内隐思维外显化，这不仅是一种数学教学，更是一种数学教育。关于“动耳倾听”亦如此，学生不仅要会思考、会表达，更要会倾听，要能倾听教师的分析，更要能倾听同伴的讲解，要在倾听中学会思考、学会表达、学会成长。

“数学经验课堂”还注重学生反思意识的培养，即元认知水平的提升。课例（一）中的最后一个环节，当学生在交流分析“下面用量角器量角的方法是否正确”的最后一题时，学生主动与原先所学的知识进行建构联系，认为用量角器量角时没有从0°刻度量起，这与用直尺量长度时没有从0°刻度量起是一样的，虽然不是最好的方法，但谈不上是一个错误的方法。仅从这一点而言，学生的反思意识在明显增强，他们不仅学会了学习，更学会了反思，并主动让所学知识建立内在关联性。在课例（二）的课尾让学生说说这一节课是怎样探究“角的度量”过程，以及要求学生为量角器写一份使用说明书，这些都是提升学生元认知水平的最好表征方式。

三、顺应与统整

在“数学经验课堂”的探寻路上，我们提出了一个重要的理论观点“思维的起点是经验，经验的发展是思维。”这一观点的提出顺应了学生数学素养提升的内在规律性。这里的顺应并非指迎合学生，而是教师在教学中能正视学生数学学习的已有经验与认知发展水平，不断地调整自己的教学预案，从而为学生的发展提供适切的学习时空。

我们知道“角的度量”，其本质是将一个待测量的角与一个标准量（1°角）进行比较，“1°角”的个数就是度量的结果。在课例（二）中，教师在学生认识到量角器中存有若干个角后（将∠3 展开后即为量角器的模型），随即组织学生自学课本，在交流环节学生自我发现“量角器中有180 个1°角”，这对学生来说应该是一个重要的发现，他们模糊感觉到任何角都是由许许多多个1°角组成的。由此，教师顺势利导，引导学生测量60°的∠A 时，学生很自然地指出∠A 里有6 个10°的角。这个10°角其实也是一个较大的单位量，只不过它里面包含了10 个1°角而已。至此，应该说更进一步加深了学生对量角器构造的认识，即量角器中确实存有若干个不同的角，量角器就是由180 个1°角组成的。在这个教学过程中，教师本来在预设时是要明确讲解角的度量就是要看其中有多少个1°角的，但教师根据学生的学习状态不断调整教学预案，完全将学生推到了数学课堂学习的正中央，让学生自主学习、操作、交流，顺应了学生学习的内在需求。当再次让学生测量45°角时，学生已经能够明确感受到其中就是包含了45 个1°角。这个教学过程完全顺应了学生的认知发展规律，学生在操作活动中对角的度量经验不断丰富，思维也在不断提升。

“数学经验课堂”还强调统整性思想。这里的“统整”可以指不同学科间的横向统整，即重视同一知识在不同学科领域的分布，以及学生在不同学科学习时已经获得的经历与体验。同时，我们以为“统整”更表现在数学学科内部纵向间——具有内在关联性知识之间的一种学习经验的积累。我们经常说，所谓数学探究，就是学生将未知的、亟待解决的生活与数学问题尝试转化成用已有的知识与经验去获得问题解决的过程。而这一表述其实就是要求数学教学需要具有统整思维，要能够主动帮助学生建立知识之间的内在联系。如课例（一）中，教师从测量工具的共性视角出发，引导学生进行探究，借助直尺量长度的经验，很快明晰与理解了角的度量本质。此后，让学生在测量90°、135°、45°这三个角时，首先让学生进行估计分别是多少度的角，而后再进行测量。再如，两节课中都有将不同资源进行整体呈现比较的过程。如此，通过多种活动方式、多元的资源呈现方式及帮助学生主动构建知识的前后联系等，这些都是“经验课堂”背景下统整思维的一种具体的外在行为表现，目的都是丰富学生的学习体验，帮助学生积累与提升数学活动经验，发展数学思维。

徜徉在“数学经验课堂”的探寻路上，我们也一直努力试图将学生的数学活动经验水平给予评价，当然主要是质性评价范畴的探究。即将每一种数学活动经验的发展分为三个水平：水平一为“模仿”阶段；水平二为“在教师启发下主动进行数学模型的构建与问题的解决”；水平三为“能自主建立数学模型，主动进行操作探究等，寻求问题的解决路径”。在两节课例中，显然学生的数学活动经验水平都已处于水平二的层级上。限于篇幅，对于学生数学活动经验水平的阐述将择机再与同行们细细分享。