开放性练习，让学生走向数学本质

孙贵合

数学到底要学习什么？只是简单的加减乘除吗？只是对概念、公式的反复记忆吗？只是能够解决一些数学问题吗？教师到底如何教数学？学生又应该学些什么？答案只有一个——从表象学习走向数学本质的学习。“所谓数学的本质，就是指数学本身所固有的、决定数学学科性质、面貌和发展的根本属性。从微观上说，数学本质就是具体数学内容的本质意义。因此，在教学中我们就得抓住：对基本数学概念的理解；对数学思想方法的把握；对数学特有思维方式的感悟；对数学美的鉴赏；对数学精神（理性精神与探究精神）的追求。”（《数学核心思想》史宁中）

那么如何能够走向数学的本质呢？在此，以下面两个案例为例，与大家分享我的经验与思考。

案例一：人教版五年级上册《认识方程》。

对于《认识方程》一课，许多教师都认为很好讲，什么是方程：含有未知数的等式叫方程。但只背下这一句话就叫认识方程了吗？它真的能够概括出方程的本质吗？中国科学院李邦河院士说：“数学归根结底是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也。”可知概念教学在数学学习中的重要地位，因为任何一个新的知识的产生，一定是源于新的概念的产生。《认识方程》是学生由算术思维向代数思维过渡的第一课，通过认识方程，“要让学生了解方程的作用，了解等式的性质，能够用方程刻画现实情境中的数量关系，方程是沟通已知量和未知量的一种数学模型。”（《数学课程标准解读》）可见一句话起不到这样大的作用。任何一个概念本身，都是前人智慧的结晶，而我们教学的作用就是把这个结晶传授给学生，让学生在亲身经历中慢慢总结出概念。本课教学后，教师还会设计一些辨析，以及结合实际情境列方程的练习。当然，这些练习是必要的，但除此之外，我又设计了这样一道开放性练习：

师：我心里想一个数，这个数乘4，再加上6，最后等于90。你能够计算出这个数是多少吗？

生：90-6 的差，再除以4，就能算出这个数了。

师：非常好，这种方法我们学习过，它叫什么？

生：倒推法、逆推法。

师：你能用今天学习的知识列一个方程吗？

生：4x+6=90。

师：同学们，你们仔细想一想，以前的方法和我们列方程的方法有什么不同吗？

生：原来的没有未知数，今天的有未知数；原来的直接计算了结果，方程没有结果；原来的方法是倒着去想的，而方程是顺着去想的。

师：太好了，你发现了以前的方法与方程之间一个重要的区别。虽然今天这些题目同学们都能够很快计算出结果，但我们仍要学习方程是因为以前的方法更多的是倒着去思考问题，而方程是顺着思考问题，两者的思维方向相反。

设计这道练习题，主要有以下两方面的原因：

1.算术方法与代数方法的本质区别。

张奠宙先生曾说：如果将要求的答案比喻为在河对岸的一块宝石，那么算术方法好像是摸着石头过河，从岸边开始，一步一步摸索着接近要求的目标，而方程却不同，好像是将一根带钩的绳子甩过河，拴住对岸的宝石（未知数）（建立等量关系），然后用这根绳子慢慢地拉过来，最终获得宝石。这个例子使我们看到利用方程和算术解题的思维路线往往是相反的，以前只能一条腿走路，以后学生就可以两条腿走路了，从而使学生接受方程。

2.能够用算术方法解决的简单问题为什么这么麻烦？

教学《认识方程》这一课时，教师所出示的现实情境都非常简单，学生口算就能得出结果，这时学生一定有一个疑问：“我都能够解决了，为什么还要学习方程？”古话讲“饿了吃糠甜如蜜，饱了吃蜜不如糠。”所以通过这道题，要让学生感受到认识方程不是单以解决问题为目标，更重要的是思维的方向，从而使学生真心接受方程。这也就是为什么很多教师在教学时，学生经常会出现：8-5=x、12÷4=x 的情况。当然出现这种情况也是正常的，因为在以前的学习中，教师反复强调要把结果写在等式的右边，所以学生很难一下改正过来。

正是由于这个情况，我又设计了下面一道练习题：20+30=？

生：太简单了，等于50。

师：还有不同答案吗？

生：老师，还能等于30+20。

师：在他的启发之下，你们还能想到什么？

师：刚才只有一个答案，现在每个人都有了不同的答案，这是为什么呢？我想是不是等号给你们的影响最大？以前我们看到等号就想到要计算，其实等号更重要的是表达左右的量相等。

通过简单的交流，使学生对等号的作用由原来认识的片面性升华到数学本质，还避免了学生在课上经常出现8-5=x、12÷4=x 的现象，使学生从更深层次理解了方程的本质。

案例二：北师大版四年级上册《运算律》。

很多教师在教学这一内容时，当学生已经总结出“加法交换律”“乘法交换律”，并能够用语言去正确表达后，教师便说：“还可以用字母表示：a+b=b+a。”在这个学习过程中，学生掌握了知识，但失去了总结、归纳、抽象的过程。

我在教学这节课时，没有给出用字母表达的形式，学生只能用语言表达，于是在课后练习中，我设计了这样一组练习：87+32=32+（）、251×（）=（）×251。这两道题是基础题目，同时也为后面的练习做铺垫，第一题是唯一答案，而第二题答案不唯一。当学生能够正确解答之后出示第三题：（）+（）=（）+（）。

师：现在一个数字都没有了，你还能填写吗？

生：3+4=4+3。

师：谁能说一个和他不一样的？

生：50+120=120+50。

师：表面看起来数字不同了，但我觉得它们还是一样的，只是数字变大了，由1 到1 万不叫创新，由0 到1 的过程才叫创新。

生：0.2+1.3=1.3+0.2。

师：此处应该有掌声，这位同学为我们提供了一个新的领域，那这样的例子举得完吗？

生：举不完，太多了。

师：都说举不完，谁能举完，那才叫本事！

生：谁加谁都等于谁加谁。

师：这里“谁”太多了，你能区分一下吗？

生：第一个数加第二个数等于第二个数加第一个数。

师：非常好，他想到了用文字去表达，现在也不许用文字了，你还能说一个吗？

生：苹果+香蕉=香蕉+苹果。

师：现在也不许用水果表达了。

生：A+B=B+A。

师：看，同学们发挥自己的想象，得到了这么多种表达形式，真了不起，在数学上一般用字母表达。

出示：（）×（）=（）×（）。

学生很快得出：A×B=B×A。

本题的设计使学生真正经历了抽象、总结、归纳、概括的过程。通过教师的不断追问，学生真正拓开了自己的思维领域，从文字到实物到图形再到符号，最后到字母，真正经历了知识产生的过程，并且开拓了学生的思路。通过教师的举例，使学生真正产生了自己的思考，在如今的课堂教学中，学生很少有自己的思考，大多是在不断地模仿别人的答案，而本题中，学生的每一个答案都是自己思考的结果，正是有了自己的思考，才使我们的课堂教学走向了数学本质的学习。

通过刚才两个练习题的分享，相信教师也对数学本质的学习有了自己的思考。民国时的《开明国语课本》教材中有这样一篇文章，全文只有一句话：“三只牛吃草，一只羊也吃草，一只羊不吃草，它看着花。”数学教学需要“吃草”，但我们也要看“花”。“吃草”使我们能够生存，必须要吃，还要吃饱，因为这是我们的物质基础；“看花”使我们感受到幸福，也就是我们的追求，这也是数学的本质。