走出教材，走进最近发展区

孙慧

摘 要：九年级学生已具备一定的几何推理能力，虽然此内容不在教科书范围内，但在很多习题、课外辅导中都有涉及，学生频频遇到，为此，文章作了四点共圆的设计参考，执教后效果良好。

关键词：四点共圆;教学设计;互逆命题

1    四点共圆的教学设计

1.1  环节1：概念明晰

提问：任何4个点都能共处一个圆周上吗？

学生知道不可能，但不一定清楚具体缘由。教师给出四点共圆概念：如果同一平面内的4个点恰好在同一个圆上，则称这4个点共圆。加了口语“恰好”，给学生建立意识：并不是所有点都处在一个圆上的，并且接下来的内容都是建立在“恰好”的基础上。

1.2  環节2：性质探究，加深理解

提问：在人教版九年级上册24章，已经学习了圆的内接四边形的相关性质。你能够说出圆的内接四边形哪些特征？学生比较容易得出答案。

性质1：圆的内接四边形对角互补。

提问：四边形的一个内角，只和它的对角互补吗？

引导学生发现外角和内角也是互补关系。

性质2：圆的内接四边形的外角等于内对角。

提问：通过前面的两个性质发现了四点共圆中的角相等。结合图1，学生还能观察到什么？

给学生思考方向—角相等。利用同弧所对的圆周角相等，可发现∠D=∠C。连接CD，会有更多的相等角出现，鼓励学生用数学语言概述发现。

性质3：共圆的四个点，所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等。

环节2是对共圆的四点所围成的四边形的性质的探究。结果发现，3条性质都是对角相等的分析，由此对共圆的四个点有更独特的认识，有助于学生区别圆的内接四边形与普通四边形。点拨性质3的作用：只要证出四点是共圆的，即便图中无圆，也可得到三角形中角的关系。此点拨可引发学生质疑如何证明四点共圆的问题。

1.3  环节3：刨根问底，追溯源头

提问：“恰好”在一个圆上的4个点，才有以上角相等的特征性质。那么怎样的4个点，才能满足“恰好”是需要解决的问题。教师通过书本告诉学生几点确定一个圆也是值得研究的问题。

提醒学生，不在同一直线上的三点确定一个圆。还有一个点，需要满足什么条件才能在圆上的问题是需要探讨的。因此，不妨先作出△ABC。具体如图2所示。

若点D在圆上，由性质1可知∠D和∠B互补;若点D不在圆上，就只能在圆外或圆内，会出现的情况是需要考虑的问题。顺着思路，假设点D在圆外。连接CD，交⊙O于点D′，连接AD′，发现如图2所示，A、D′、C、B四点共圆，因此，∠AD′C和∠B互补。并且在△ADD′中，∠AD′C>∠D，即∠D+∠B≠180°;同理，若点D在圆内，也会发现∠D+∠B≠180°，因此得到四点共圆的关键所在：∠D+∠B=180°，即对角互补。

判定1：对角互补的四边形，4个顶点共圆。

提问：对比性质1和判定1，你发现了什么？

性质1反过来说就是判定1。教师点拨，性质1和判定1 是互逆命题。启发学生要用规范的数学语言“互逆命题”，同时为后续判定方法的探究指明方向。

提问：那谁能说出判定2呢？

判定2是性质2的逆命题，学生容易答出。

判定2：外角等于内对角的四边形4个顶点共圆。

提问：图3中的∠D和∠B位于AC异侧，如果两角位于AC同侧，那需要满足什么条件，才能说明点D在圆上呢？

若点D在圆上，由性质3可知∠D和∠B相等;若点D不在圆上，就只能在圆外或圆内，会出现什么情况？顺着思路，假设点D在圆外。连接BD，交⊙O于点D′，连接AD′，发现如图3所示，A，D′，C，B四点共圆，因此∠AD′B和∠C相等。并且在△ADD′中，∠AD′B>∠D，即∠D≠∠C;同理，若点D在圆内，也会发现∠D≠∠C，因此得到关键要素：∠D=∠C。这也就是性质3的逆命题。

判定3：同侧共底的两个三角形的顶角相等，则四点共圆。

1.4  环节4：例题训练，巩固新知

例1：如图4所示，在四边形ABCD中，BC=CD，对角线AC平分∠BAD，AB>AD。求证：A，B，C，D四点共圆。

思路点拨：利用角平分线的性质，通过三角形全等证明∠ADB+∠B=180°，得到四点共圆。判定1，2皆可。

设计意图：反思旧知，活用新知。

例2：如图5所示，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点K，点E是圆上一点，连接AE交DC于点F。证：E，F，B，K四点共圆。

思路点拨：图中有很多直角，∠FEB=∠AEB=∠FKB=90°，连接BE，BE同侧的角相等，调用判定3，四点共圆。

设计意图：图中的垂直就是角相等的暗示。

例3：如图6所示，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC。求证：B，E，F，C四点共圆。

思路点拨：由DE⊥AB，DF⊥AC，不难发现A，E，F，C四点共圆，因此∠ADE=∠AFE;由AD⊥BC，得到∠B=∠ADE，所以∠B=∠AFE，∠B+∠EFC=180°。

设计意图：四点共圆的性质和判定的综合练习。

2    教学立意反思

紧抓学生的最近发展区，是设计本课的宗旨。学生课下的自主学习已多次涉及四点共圆，本课的教学势在必行。本课从圆的内接四边形出发，联系旧知，得到四点共圆在角相等方面的性质;并通过互逆命题的猜想，得到四点共圆的判定方法，极大地扩充了学生对圆的内接四边形的认知范畴。

[参考文献]

[1]王友峰.专业自主增设内容，回看陈词漏洞结构[J].教学导航，2016（12）：10-11.