凹凸函数教学对学生创新思维方式培养的探索

【摘要】如何改进教学质量、提高学生对数学的学习兴趣，进而培养学生的科学素养与从事科学研究的创新性思维方式， 是高等院校教师面临的与提高教学效果和教学质量同等重要的另一个挑战.文章以凹凸函数的教学方法为切入点，结合教学实践，介绍了如何通过简单的定义与性质逐步得到出乎意料的深刻的数学定理与应用结果.

【关键词】凸函数;切线;单调函数;不等式

【基金项目】北京航空航天大学教改立项2018双百工程B级课.

凹凸函数严格的数学定义看起来很抽象，如果在课堂上直接给出标准的数学定义，会让学生觉得这一定义是凭空产生的，不知道为什么要定义这样的函数.但是，学生通过观察凹凸函数所对应的图形，就可以很直观地感受到凹凸函数与函数作图的紧密关系以及定义凹凸函数的必然性.

弯曲方向是图形最独特的性质之一.知道一个图形的弯曲特征对全面正确地得到函数的图像与确定臨界点的位置具有同等重要性.图形是如何弯曲的实际上就告诉了我们图形的形状.对于凹弧（向上弯曲），连接其上任意两点的线段（弦）总是位于这两点之间的弧的上方;而对于凸弧（向下弯曲），弦则位于这两点之间的弧的下方.对于光滑的凹弧，它在任意点处的切线均位于整个凹弧的下方;对光滑的凸弧结论则正好相反.高等数学课程中就以此几何描述引出函数图形凹凸性的定义，并用来描绘（可导）函数的图形，也利用函数的凹凸性证明一些简单的不等式.数学分析课程则是从几何描述引入凹凸函数的定义，并利用凹凸函数来证明一些不等式.在通常的教学过程中，受到学时的限制，一般只能讲述凹凸函数的简单性质及其在函数作图中的应用，很少涉及比较深刻的函数性质讨论或在不同领域的漂亮应用.本文通过分析凹凸函数的性质给出一些应用实例，并利用凹凸函数来证明若干重要的不等式.教师在具体的教学过程中可以根据具体情况，选取不同的例子来说明凹凸函数的一些本质.

四、总 结

本文从凹凸函数基本描述开始，引入凹凸函数严格的数学定义，并证明了凹凸函数的一些基本性质，最后通过例题讲述了凹凸函数在证明不等式中的各种巧妙应用，对培养学生的数学思维方式和创新能力很有帮助.这些也是教师研究型教学所追求的目标，需要任课教师从专业基础、科研方向和教学方法等角度设计形式多样的教学方案，使得学生通过具体内容的学习，不仅能够掌握课堂所讲述知识，还可以举一反三、触类旁通，迅速学会解决同类问题的思想和方法，从而培养学生学习数学的兴趣及未来从事数学研究的能力.

【参考文献】

[1] 吴纪桃，魏光美，李翠萍，柳重堪.高等数学[M].北京：清华大学出版社，2014.

[2] 张筑生.数学分析[M].北京：北京大学出版社，2003.