先定形 后定量——例析解三角形结构不良问题的高效解题策略

陈基耿

(广东省佛山市南海区石门高级中学，528225)

一、问题呈现

教育部考试中心今年考前就已明确了新高考将会有新题型,比如多选题、多空题和结构不良问题,并且从理论和实践都进行过深入研究[1][2][3]．结构不良问题很可能成为新高考题的新常态题型,而三角函数的丰富实际背景和广泛的应用价值[4]决定了其成为新题型的良好载体．由于结构不良问题中各备选条件对于问题解答的角度和难易程度有很大影响,所以快速锁定最适合自己的解答方案是解题的关键．2020年新高考全国卷揭开神秘的面纱,其中山东、海南卷第17题共同考查了如下的解三角形结构不良问题．

(注：如果选择多个条件分别解答,按第一解答计分)

本文通过对此真题的分析,探寻解三角形结构不良问题的高效解题方法．

二、解法探究

笔者拟定“先定形后定量”的解题策略,快速锁定最优解．所谓“先定形”,是指根据问题的条件确定三角形的形状,选择三角形的外接圆为定形的最佳工具;所谓“后定量”,是根据题设给定的待选条件,确定三角形的具体大小．

1.用外接圆定形分析

2.用长度定量分析

在三角形外接圆中定形之后,∆ABC的大小(外接圆半径)并未确定．若要唯一确定该三角形的大小,则需补充有关确定边长的条件.

方案1补充边长的条件定量分析

方案2补充高的条件定量分析

若选择条件②csinA=3,如图3,即边b上的高BD=3．

其实,由以上分析知道该三角形形状已经由题干中已有条件唯一确定.再补充定形条件很可能产生矛盾，使得满足条件的三角形不存在;或者是添加了一个重复定形条件,三角形边长未确定,三角形不唯一．

文[3]指出,无论选择哪个条件,只要进行正确解答,都能得分．而且文[3]还对无解的方案作出表态:“这个解答性价比最高,这样也给善于思考的学生提供了展示的机会,更好地发挥考试的区分鉴别功能”．

三、策略应用举例

(1)求A的大小;

问题：若______，______,求∆ABC的面积．

评注本题由排列组合知识及题设要求,只要将四个论断之一为结论且其余三个为条件,即可组成一个命题,但命题正确与否把握不易准确．采用“先定形后定量”的解题策略,可帮助我们明确解题方向,达到高效解题的目的．