完善认知结构，强化知识运用

钱程 毛月华

摘要：整理反思课不仅要帮助学生巩固和进一步理解所学知识，而且要帮助学生沟通知识之间的内在联系，使所学知识进一步条理化和系统化。为此，需要引导学生理清知识脉络，沟通内在联系，强化知识运用，并激发学生进一步“生长”的活力。

关键词：整理反思课联系练习《立体图形的表面积和体积》

作为小学数学总复习课的一种重要课型，整理反思课不仅要帮助学生巩固和进一步理解所学知识，而且要帮助学生沟通知识之间的内在联系，使所学知识进一步条理化和系统化。为此，需要引导学生理清知识脉络，沟通内在联系，强化知识运用，并激发学生进一步“生长”的活力。

《立体图形的表面积和体积》整理反思课是基于苏教版小学数学六年级下册《总复习》单元相应内容的《整理与反思》栏目和《练习与实践》栏目第1—第7题设计的。本节课基本的教学目标是：（1）理解并掌握立体图形表面积、体积的意义以及计算方法和推导过程，能够应用表面积和体积的计算方法解决相关的实际问题;（2）经历整理的过程，沟通知识之间的内在联系，体会过程中蕴含的思想方法，使所学知识进一步条理化和系统化;（3）进一步体会知识整理的价值，积累相应的数学活动经验，提高学习数学的兴趣和学好数学的积极性。根据整理反思课的目标定位和操作要点，本节课的教学过程如下：

一、记忆唤醒，激活认知经验

师在小学数学学习中，我们认识了很多图形，从点到线，再到平面图形、立体图形。今天这节课，我们要复习立体图形的有关知识。前面我们已经复习了立体图形的特征，想一想：我们还可以从立体图形的哪些方面进行复习？

生立体图形的表面积和体积。

师好的，接下来就让我们一起开启今天的复习之旅吧。

二、知识梳理，完善认知结构

（一）理清知识脉络

师课前，我们已经从意义、单位和方法三个方面自主整理了表面积与体积的区别。我们先来看意义上的不同。（出示表1、表2）这是两位同学整理的结果，你觉得哪种表述更加规范？

生第2种。

师也就是说，表面积是指物体表面的总面积，而体积是指物体所占空间的大小。说到物体的体积，我们还可以很自然地想到容器的容积，谁来介绍一下容积？

生容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。

师你认为体积和容积有什么相同点和不同点？

生它们都是指所占空间的大小，它们的计算方法相同，计量单位一样;但是，计算体积需要测量外部数据，计算容积需要测量内部数据。

生任何物体都有体积，但不一定有容积。

师说得真好！接着，我们再来看表面积和体积的单位有什么不同，谁来说一说？

生常见的表面积单位有平方米、平方分米、平方厘米，体积单位有立方米、立方分米、立方厘米。

师对啊！那相邻的两个单位之间的进率又是多少呢？

生相邻的两个表面积单位之间的进率都是100，而相邻的两个体积单位之间的进率都是1000。

师表面积和体积除了意义、单位不同，计算方法也不同，它们分别是怎么计算的呢？

（学生口答，教师记录，得到表3。）

[评析：知识的回顾整理不是简单的“重复昨天的故事”，而是对原先知识的“再学习”。因此，课前，教师用预习单引导学生对立体图形的表面积、体积（容积）的意义、单位、计算方法等进行自主整理。这样的活动，可以帮助学生将脑海中原有的知识按照一定的体系有序地提取出来。而后，课堂上的交流、对比或补充，可以帮助学生加深对立体图形表面积、体积（容积）的理解，明晰知识之间的联系与区别。]

（二）沟通内在联系

师说得很完整！那圆柱的底面积和侧面积分别又是怎么计算的呢？ 我们又是怎么推导圆柱侧面积的計算方法的呢？

生S底=πr2，S侧=Ch。圆柱侧面沿高剪开是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高，长方形的面积等于长乘宽，所以，圆柱的侧面积等于底面周长乘高。

师是这样吗？（课件演示，得到图1）能把知识背后的原因说得这么清楚，真了不起！其实，不仅圆柱存在侧面积，长方体和正方体也存在侧面积。你认为长方体和正方体的侧面积应该怎么计算？

生把前后左右四个面的面积加起来。

师老师赞同你的想法，再想一想：还有没有更加直接的方法？

生底面周长乘高。把长方体或正方体的侧面展开，也可以得到一个长方形，长方形的长等于底面周长，长方形的宽等于高，所以，长方体或正方体的侧面积也可以用底面周长乘高来计算。

师（课件演示，得到图2）看来，不管是圆柱、长方体，还是正方体，都能用底面周长乘高来计算侧面积。

[评析：这一环节侧重对立体图形侧面积概念和计算方法的拓宽与联系。首先，从圆柱侧面积的计算方法出发，抛出“长方体、正方体的侧面积应该怎么计算”的问题，启发学生基于“侧面的面积”的含义得到长方体、正方体侧面积的概念，生成长方体、正方体侧面积的自然计算方法。其次，利用一组动画演示，帮助学生发现长方体、正方体的侧面积也可以用底面周长乘高来计算，从而统一侧面积的计算公式。整理反思课的魅力就在于此：不是简单地堆砌知识，而是找出不同知识之间的联系，构建新的知识，掌握新的方法。]

师那么，这些立体图形的体积计算公式及其推导过程又是怎样的呢？接下来，请同学们四人一组，每人选择一个立体图形，互相说说它的体积计算公式及其推导过程。

（学生交流。）

师哪一组来给大家介绍一下？

生长方体的体积计算公式是“长×宽×高”。其推导过程是把长方体分成若干个小正方体，长方体的长决定了每排可以分几个，宽决定了可以分几排，高决定了可以分几层，小正方体的个数是每排的个数乘排数乘层数，而有多少个小正方体就表示这个长方体的体积是多少，所以，长方体的体积是长乘宽乘高。

生正方体的体积计算公式是棱长的立方。由于正方体是特殊的长方体，所以，其推导过程与长方体是一样的。

师的确，我们可以根据长方体的体积公式进一步推导出正方体的体积公式，那圆柱呢？

生圆柱的体积公式是“底面积×高”。其推导过程是沿着圆柱的底面直径切开，拼成一个近似的长方体，圆柱的体积等于长方体的体积，圆柱的底面积等于长方体的底面积，圆柱的高等于长方体的高，长方体的体积可以用底面积乘高，所以圆柱的体积也可以用底面积乘高。

师你们同意吗？

（学生表示同意。）

师也就是说，我们根据长方体的体积公式进一步推导出了圆柱的体积公式。

生圆锥的体积公式是“底面积×高×13”。它是通过实验推导出来的：准备等底、等高的圆柱和圆锥形容器各一个，将圆锥形容器装满水，再倒入圆柱形容器中，发现只能倒到容器的13处。

师也就是说，我们通过圆柱的体积公式又进一步推导出了圆锥的体积公式。你们同意这一组的想法吗？把掌声送给这一组。

（学生鼓掌。）

[评析：这一环节侧重对立体图形体积计算方法的联系。学生在五年级《多边形的面积》单元的回顾整理中，进行过多边形面积公式之间的对比联系，具备了画联系图的经验。因此，教师放手让学生以小组为单位进行汇报，在交流互动中不断完善认识。]

师刚才的回顾整理，我们经历了怎样的过程？

生首先，复习了表面积和体积的意义、单位和计算方法三个方面的区别;然后，进一步复习了表面积和体积的计算公式以及推导过程，并发现了它们之间存在的一些联系。

师（完成板书，得到图3）刚才，我们在不知不觉中得到了一棵“知识树”。其实，围绕数学上的任一知识，都可以像这样“生长”出很多关联的知识，而且可以设计出很多不同的样子。课前，同学们也进行了自主整理。通过今天的学习，相信同学们一定都有了新的想法。课后，大家可以再试着理一理、画一画，并与之前的整理比一比。

[評析：课前基于已有的认知经验，进行了初步的梳理;课内在师生、生生交流中，形成了较为系统的知识结构（“知识树”）;课后再次进行自主整理，并与原来的整理结果进行对比。由此，学生可以感受到知识不断清晰、由“点”连成 “线”再结成“网”的过程。]

三、练习提升，强化知识运用

师今天，我们复习的是立体图形的表面积和体积。其实，很多立体图形都可以由平面图形创造出来，（出示图4）请看活动要求。

（学生阅读要求。）

师要求都明确了吗？请按照要求开始探究。

（学生探究。生成的学习资源有：①绕着长方形的宽转;②绕着三角形较短的直角边转;③绕着长方形的长转;④绕着三角形较长的直角边转;⑤折成长为5 cm、宽为1 cm、高为3 cm的长方体;⑥折成长为4 cm、宽为2 cm、高为3 cm的长方体;⑦折成棱长为3 cm的正方体;⑧沿着长方形的长卷; ⑨沿着长方形的宽卷。）

师（同步出示学习资源①②）他们分别创造出了怎样的立体图形？分别是通过怎样的方式创造出来的？

（学生口答。）

师尽管他们选择了不同的图形，但都是绕着较短的那条边转的。创造出来的这两个立体图形有什么联系吗？

生等底、等高，圆柱的体积是圆锥的3倍。

师（出示学习资源③）同样是选择长方形纸，还有同学是这样转的，你有什么发现吗？

生这是绕着长方形的长转的。不管是绕着长转，还是绕着宽转，我发现侧面积不变。

师观察得真仔细！怎么转才能使得到的圆柱的表面积和体积更大一些呢？

生绕着宽转。

师（同步出示学习资源②④）同样是用三角形纸转，也可以得到不同的圆锥，那怎样转体积更大呢？

生也是绕着较短的直角边转。

师（同步出示学习资源⑤⑥⑦）这些长方体是怎么创造出来的？你觉得这些长方体都应该符合什么要求？

生它们都是沿着长折出来的，折出来的长与宽的和都是6 cm，高都是3 cm。

师是的。继续观察，你还有什么发现吗？

生侧面积都相等，都等于长方形纸的面积;长和宽越接近，表面积和体积就越大。

师同学们真的很善于观察！其实，除了像这样沿着长折，我们还可以沿着宽折。沿着长折和沿着宽折又有什么联系和区别呢？聪明的你课后去想一想，一定会有所发现的。

师（同步出示学习资源⑧⑨）我们还可以通过卷一卷，创造出不一样的圆柱。比较这两种卷法，你有什么发现？

生侧面积一样，而且与折一折创造出的长方体的侧面积相同，都等于长方形纸的面积，都可以用长方形纸的长乘宽计算。

生我还发现，沿着长卷得到的圆柱体积和表面积更大。

师确实，刚才同学们用同样的长方形纸和三角形纸创造出了不同的立体图形，它们之间存在着一定的联系。数学学习就应该像这样，同中求异、异中求同，在变与不变中找到相应的规律。

[评析：整理反思课中的练习是帮助学生进一步完善知识结构的重要纽带，也是发展学生数学能力的重要环节。本环节以一道习题作为学生进一步“生长”的落脚点。通过转一转、折一折、卷一卷等操作，学生不仅摆脱了枯燥练习的枷锁，而且很好地发展了自身的创造能力。多层次的交流，还将知识点的复习融入其中：在“转一转”的交流中复习等底、等高圆柱与圆锥体积之间的关系;在“转一转”“折一折”“卷一卷”的交流中反复体会图形中的“变与不变”——体积在变而侧面积不变，对图形之间联系的认知向纵深发展。]

四、拓展延伸，激发“生长”活力

师（出示图5）咱们再来看这4个立体图形。如果让你把这4个立体图形分分类，你会怎么分？依据又是什么？

生根据面的特征分成长方体、正方体，圆柱、圆锥。

生根据体积公式分成长方体、正方体、圆柱，圆锥。

师长方体、正方体、圆柱的体积都可以用底面积乘高来计算。我们还可以发现，它们存在着相同的特征：上下两个面完全相同，上下粗细完全一样。像这样的立体图形称为直柱体。（出示图6）这里的三棱柱、五棱柱也属于直柱体，猜猜看：它们的体积可以怎么计算？

生底面积乘高。

师究竟是不是这样呢？我们一起来看一看。（播放视频）果然，就如同学们猜的那样，直柱体都可以用底面积乘高来计算体积。关于直柱体的体积，有兴趣的同学课后可以继续研究。

[评析：学生经过“理—联—练”，已经能够将本节课复习的知识连成“线”、结成“网”，对知识的理解也具有了一定的深度。而这一环节的拓展，让本节课的回顾整理进一步深入。首先，让学生发现长方体、正方体、圆柱的共同特征，引出直柱体的概念;其次，让学生猜想、了解三棱柱、五棱柱等直柱体体积的计算方法，使学生的思维更加开阔，令本节课的学习余音绕梁。]

参考文献：

[1] 潘小福.小学数学教材的专业化解读[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2017.

[2] 潘小福.课型范式与实施策略：小学数学[M].南京：江苏教育出版社，2012.