聚焦题目联系，发展迁移能力

吴荣强 房小科

摘要：专项练习课要让学生不仅会做“一道题”，更能自主沟通“一类题”。面对茫茫题海，教师需要聚焦题目之间的联系（结构），有序展开从知识基础到实际应用再到内容综合、从封闭到开放的练习，逐步提升题目的思维含量，不断提炼解题的思想方法，从而促进学生举一反三，触类旁通。

关键词：专项练习课题目联系迁移能力《立体图形的表面积和体积计算》

作为小学数学总复习课的一种重要课型，专项练习课要让学生不仅会做“一道题”，更能自主沟通“一类题”，从而达到对一类知识整体性的系统认识，发展迁移能力。面对茫茫题海，教师需要聚焦题目之间的联系（结构），有序展开从知识基础到实际应用再到内容综合、从封闭到开放的练习，逐步提升题目的思维含量，不断提炼解题的思想方法，从而促进学生举一反三，触类旁通。

《立体图形的表面积和体积计算》专项练习课是针对苏教版小学数学六年级下册《总复习》单元相应内容的《练习与实践》栏目第8—第12题设计的。本节课基本的教学目标是：（1）进一步理解并掌握立体图形表面积、体积的意义及计算方法，能够正确计算立体图形的表面积、体积，灵活选择合理的计算方法解决问题;（2）沟通相关体积计算方法之间的内在联系，进一步培养操作、分析、比较和推理等能力，发展空间观念和数学思维;（3）进一步感受数学与生活的联系，体会数学学习的价值。根据专项练习课的目标定位和操作要点，本节课的教学过程如下：

一、基础练习

（一）算一算

1.揭示课题：这节课我们一起来完成一些和立体图形的表面积、体积计算有关的练习。

2.出示题组，提问：你能根据题目中不同的已知条件口算出圆柱的体积吗？学生口答，课件出示相应的计算过程（见图1）。

3.观察比较：这5道题的计算过程有什么联系？

4.归纳总结：解决第5题要先转化成第4题，解决第4题要先转化成第3题……看来，不同已知条件下圆柱体积的计算方法之间是有联系的（板书：S侧→C→d→r→S底→V=S底h）。

[评析：练习课不能片面追求所谓的新题、难题。本环节利用序列化的题组呈现圆柱体积计算的基础题，引导学生观察比较其中的联系，让学生的思维由“点”到“线”，更加清晰、有条理，从而让练习的教学聚焦迁移能力。]

（二）画一画

1.问题引领：已知一个圆柱的底面积是9平方厘米，高是3厘米，你能够画一个和它体积相等的立体图形吗？先想一想，再画一画，注意在图中标上必要的数据。学生在研究单上画、填，并和同桌交流。教师巡视指导，并收集典型资源。

2.呈現几位学生的研究结果（见图2），提问：这几位同学画的分别是长方体、正方体和底面是六边形的立体图形，它们的体积和圆柱的体积相等吗？说说理由。学生交流，教师引导：这些图形都是直柱体，都可以用底面积乘高来计算体积;它们和圆柱等底、等高，所以体积相等。

3.呈现几位学生的研究结果（见图3），提问：这几位同学画的是圆锥，这些圆锥的体积和圆柱的体积相等吗？学生交流，教师引导：在等底、等高的情况下，圆锥的体积是圆柱的13;要想体积相等，在等底的情况下，圆锥的高必须是圆柱的3倍;在等高的情况下，圆锥的底必须是圆柱的3倍。

4.呈现几位学生的研究结果（见图4），提问：这几位同学画的立体图形和圆柱既不等底，也不等高，它们的体积和圆柱的体积相等吗？你又是怎样想的？学生交流，教师引导：底和高都不相等，体积也可能相等。

5.思维完善：根据我们刚才的研究，大致可以分为这样的三类（课件出示下页图5），把这三类情况和你的同桌说一说。

[评析：练习课不能只关注封闭（结构良好）的习题。本环节围绕“画一个和已知圆柱体积相等的立体图形”，让学生开放探索，激发学生不同的思维展现，从而捕捉丰富的生成资源，进行结构化的呈现，组织有层次的交流，引领学生的思维逐步深入，移迁不断发生。]

二、应用练习

1.问题引领：我们除了要准确掌握立体图形表面积和体积的计算方法，在解决实际问题时，还要能够分辨出要解决的是什么数学问题。（出示题组，见图6）比如，这几道题与求立体图形的表面积有关还是与体积有关呢？学生依次判断。

2.自主提问：你能再举一些与求立体图形表面积或体积有关的实际问题吗？学生自由举例，教师逐步形成板书：“与求表面积有关的：抹水泥的面积、需要多少铁皮……与求体积有关的：花坛填土、水的重量、大棚空间……”

3.自主练习：学生独立完成上述练习，然后集体交流计算过程。

[评析：基础练习局限于数学学科（缺乏实际应用性），而且题目的类型是明确的。本环节集中出示有关体积和表面积计算的生活实际问题，让学生先识别题目的类型，再运用数学知识解决，从而体会两类问题的联系与区别，使学生的思维由低阶向高阶发展。同时，继续注意开放设问，提升学生思维的发散性。]

三、综合练习

（一）等积变形问题

1.出示习题：把一个底面积是12.56平方厘米、高10厘米的圆柱体铁块熔铸成底面半径是3厘米的圆锥，这个圆锥的高是多少厘米？

2.出示探索提示：①想一想，圆柱体铁块熔铸成圆锥后什么没有变;②算一算，自主列式计算圆锥的高;③说一说，和同桌说一说你的想法;④比一比，谁的计算方法更加简洁。学生自主探索。教师巡视指导，并收集典型资源。

3.呈现学生资源（见图7），提问：这位同学用的列方程，你知道他是怎样想的吗？在解方程的过程中又用了什么特殊的方法呢？学生交流，教师引导：圆柱体铁块熔铸成圆锥体铁块，体积不变，据此列出方程;在解方程的过程中，根据等式的性质，两边同时除以3.14，可以使计算更简捷。

4.呈现学生资源（见图8），提问：这位同学用的列算式，比较这两种解题方法，你更欣赏哪一种？学生交流，教师引导。

5.思维完善：刚才，同学们用不同的计算方法解决了这个问题，你觉得解决这个问题的关键是什么？

6.变式训练：在很多实际问题中，也隐藏着体积不变的数量关系，（出示题组，见下页图9）你能找出这些题目中哪些物體的体积是相等的吗？学生口答。

[评析：等积变形问题涉及多个立体图形，具有一定的综合性，解题（计算）步骤较多。本环节聚焦这类问题，重点引导学生比较方程和算式两类解题方法，理解利用等式的性质可以使计算更简捷，从而帮助学生做出合理的选择。这提升了计算问题的思维含量，发展了学生的运算能力和迁移能力。]

（二）有关截面的表面积和体积综合问题

1.问题引领：在解决实际问题时，除了要把握体积不变这样的数量关系，还要善于发现图形变化前后之间的联系，（出示图10）比如，把一个圆锥沿高切开后，切开的图形与圆锥之间有什么联系？

2.出示习题：如果已知圆锥高8厘米，切开后表面积增加了32平方厘米，你能求出圆锥的体积吗？学生独立计算，交流算法。

3.问题引领：如果把一个长方体切开，你能根据图形变化前后之间的联系，求出原来长方体的体积吗？

4.出示习题和探索提示：一个长方体高8厘米，底面是正方形，如果把它切成两个长方体，则表面积增加32平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？①画一画、找一找，画出长方体切开后的图形，并在图形中找到增加的32平方厘米;②想一想、算一算，切开后的长方体和原来的长方体有什么联系，原来长方体的体积是多少？③说一说、比一比，和同桌说一说你的想法，比较一下有什么不同。学生尝试解决。教师巡视指导，并收集典型资源。

5.呈现学生资源（见图11），提问：横着切成两个小长方体，这样计算体积，谁能看懂？指名学生口答。

6.呈现学生资源（见图12），提问：如果竖着切，又该怎样计算体积呢？谁来解释解释。学生交流。

7.思维完善：刚才我们解决的两个问题都是把一个立体图形切开，已知增加的面积，求原来的体积，你觉得解决这类问题的关键是什么？

8.引导总结：解决这类问题时，画图能够帮助我们找到增加的面积，再利用增加的面积和原来立体图形之间的关系，就能顺利地解决问题。

[评析：专项练习课还应该聚焦典型的难题，帮助学生获得突破。有关截面的表面积和体积综合问题是“立体图形的表面积和体积计算”中较难的一类问题。本环节聚焦这类问题，给出探索提示，让学生充分探索和交流;并注意解决问题过程中数学思想方法的提炼，使学生“解一题”而“懂一类”，提升迁移能力。]

参考文献：

[1] 杨春梅，李光树.“立体图形的整理和复习”教学实录与评析[J].小学数学教育，2015（21）.

[2] 杨军庆.如何上好小学数学练习课[J].小学数学教育，2015（1/2）.