借助情境渗透数学思想方法的基本策略

严 卿

（江苏省南通师范学校第二附属小学，江苏南通 226001）

引 言

作为数学思考的力量源泉，数学思想方法是促进学生自主知识建构、完成概念转换的纽带[1]。在小学数学教学中，抽象与模型、归纳与演绎、数与形结合、方程与函数、集合与对应等思想方法对提高概念转换的效果，发展学生的思维品质具有积极的促进作用。教师借助适当的数学情境，可以有效渗透数学思想方法，从而帮助学生实现概念转换。

一、模拟生活情境，渗透模型思想

数学知识依托现实世界而客观存在，数学知识也为学生认识世界、改造世界提供了思维的力量[2]。教师通过生活中的熟悉现象，模拟真实的生活情境，有利于学生站在数学的角度观察和思考生活中的实际问题，捕捉数学信息，构建数学模型，使学生在对相应数学模型的研究中生成解决问题的策略和智慧。在这样的情境中进行抽象和创造，可以帮助学生感悟数学模型思想在数量关系的概括与表达中的作用，积累数学分析和思维活动的经验。

在研究行程问题时，为了引导学生从整体上把握物体运动的方向、时间、速度和路程等要素之间的内在联系，教师让家与学校在同一条路上但方向相反的两位学生描述上学路线，再请他们表演从各自的家中同时出发，相向而行，在学校门口相遇的情境。教师引导学生根据表演者的行进方向、速度、时间和运动结果，画线段示意图表示其中的数学信息，并思考怎样计算两家相距的路程。有的学生根据“速度×时间＝路程”的等量关系，分别求出两人的路程，再根据“甲的路程＋乙的路程＝两家相距的路程”解决问题；还有的学生根据两人行走的时间相同，先求出他们的速度和，再根据“速度和×时间＝总路程”求出两家相距的路程。学生发现，这两种方法对应的等量关系可以相互转换，即合并成“甲的速度×相遇时间＋乙的速度×相遇时间＝速度和×相遇时间”的等量关系。教师引导学生继续思考，如果把这个等量关系看作是一个数学模型，还可以解决哪些问题。学生联想到，如果两人同时从学校出发放学回家，相背而行，求经过几分钟后两人相距多少路程，也可以用这样的等量关系计算。还有的学生通过观察上述等量关系式的结构和特点，结合字母表示数的知识，将等量关系式简化成（a+b）×c＝a×c+b×c，与乘法分配律不谋而合。学生进而联想到这个数学模型还可以放到两人从操场同一地点出发，相反方向跑步的生活情境中，计算相遇的时间；或者放到两人共同加工一批零件的工作情境中，已知工作时间和其中一个人的工作效率，计算另一个人的工作效率。

教师还要鼓励学生站在思维的制高点上，用数学的眼光观察生活中的现象和规律，理性地分析和把握各种生活情境中诸多数学元素之间的联系，敏锐地抽象出蕴藏其中的等量关系，构建与解决问题相对应的数学模型[3]。教师还应及时引导学生进行反思，相同的数学模型可以应用在哪些不同的生活情境中，从整体上把握适用这类数学模型的情境的特点，进一步感悟模型思想在概括数量关系、选择解题策略中的重要作用，培养学生思维的灵活性，使学生学会用数学的思维观察世界。

二、创设游戏情境，渗透方程思想

教师将数学思想方法渗透在游戏情境中，能够为数学“冰冷的美丽”披上“五彩的外衣”，让学生获得富有挑战性和探索性的学习经历[4]。巧用游戏情境，可以有效提升学生思维的灵活性、发散性，在游戏情境中激发学生的创造力，使学生体会数学思想方法的真正价值，培养良好的数学学习情感，同时逐渐提升思维水平。

学习了方程的相关知识之后，教师和学生一起进行猜数游戏。教师请学生从54 张扑克牌中随机抽取一张，并将这张牌的点数乘5，再加上6，把所得的数乘以2，再减去22。教师每次都能根据学生报出的结果很快说出他们抽到的牌的点数，并在黑板上写出对应的两行板书：

学生百思不得其解，很好奇教师通过什么方法算得又对又快。此时，教师神秘地告诉大家：将所报的结果除以10 再加1 就是学生手中牌的点数。这是为什么呢？学生想到了用列方程的方法研究这个游戏中的数学问题，他们以结果是60为例，在不确定牌的点数时可以设点数是x，于是列出方程：（5x+ 6）×2-22 ＝60，方程的解是x=7。此时，学生豁然开朗，发现方程的解恰好就是手中牌的点数。有的学生将（5x+ 6）×2-22 化简得10x-10，结合解方程的过程得出牌的点数等于所报结果加上10 再除以10，并进一步化简推算出所报结果除以10 再加上1 就是牌的点数，总结出了推算点数的计算公式“牌的点数＝所报结果÷10 ＋1”。 学生修改数据，检验游戏策略的适用性，并利用这一技巧和同伴继续开展猜数游戏，如一人将抽到牌的点数乘2，加上 7，再乘5 ，最后减去45，只要将结果说出，另一人就能立即推算出牌的点数。学生对用这样的方法巧妙地“猜”出牌的点数赞不绝口，也对数学思想方法的魅力叹为观止。

学生在上述游戏情境中提高了观察、归纳、推理能力，感悟了方程与函数的基本思想方法。在类似的游戏情境中，教师应组织学生进行进一步讨论，生活中哪些实际问题在解答时顺着题意思考，并直接列算式解答比较简便，而列算式解答时需要逆向思考、顺着题意列方程解答比较简便的实际问题又有什么特征等。学生的思考范围从游戏情境引申到问题情境，逐步完成了从算术思维向代数思维的过渡，不断触摸数学的本质，体会方程与函数思想的优越性，实现对数学知识的深度思考和方法转换。

三、优化操作情境，渗透数形结合思想

数学是发展思维与锻炼智慧的体操，是以提高学生的思维水平和思考能力为目的的基础科学[5]。数学思想方法的感悟和数学思维水平的提高不是互相孤立的，而是紧密联系、相辅相成的。教师精心创设蕴含较高思维水平的操作情境，通过“以形助数”或“以数解形”，引导学生多角度、多层次、富有个性地思考问题，是渗透数学思想方法的重要途径。

学习乘法的变化规律时，为了引导学生把握两个自然数的大小与它们的和、积之间的关系，探究“和定积最大，积定和最小”的规律，教师请学生思考这样一个问题：两个自然数的和是101，当它们分别等于多少时乘积最大。学生反复演算，百思不得其解。这时，教师拿出22 根同样长度的小棒，神秘地告诉大家，奥秘就藏在小棒中。教师让学生把每根小棒的长度都看成1 米，只要用这22 根小棒围成长方形，就能找到解决难题的方法。学生在教师的引导下，用22 根小棒按照一定的顺序围成了一些长方形，并分别记录下它们的长、宽、周长和面积，之后发现周长都是22 米，长与宽的和是11 米。长依次变小，宽依次变大，它们越来越接近，面积也越来越大。当长和宽分别是6 米和5 米时，面积最大。学生根据这一发现大胆猜想并验证，当和一定时，两个自然数最接近时，乘积就最大。依此推理，学生把101 分成50 和51，得出的乘积最大。教师又请学生思考，两个自然数的乘积是120，它们分别等于多少时和最小呢？此时，教师又为学生提供了24 个大小一样的正方形。学生把每个正方形的面积看成1 平方分米，按照一定的顺序拼成各种长方形，发现长与宽越接近，周长越小，但面积不变。当长方形的长是6 分米，宽是4 分米时，长与宽的和最小。学生依此推理并进一步验证，乘积一定时，两个自然数相差最小时，和也最小。当这两个自然数分别是10 和12 时，它们的和最小。

学生融入教师精心创设的操作情境动手实践、动脑思考，在数形结合的思想方法指引下发现和探究规律，积累活动经验，发展思维品质[6]。教师要善于在高阶思维水平的操作情境中引导学生抓住数量的精准刻画与图形的直观形象，使其感受知识的运动和迁移，体会数与形的联系变化与和谐统一，实现知识经验的自主建构[7]。这样能够在循序渐进的思维发展中，提升学生数学思考能力和概念转换水平。

结 语

综上所述，掌握一定的数学思想方法是学生科学分析、解决问题的基础，是学生勇于实践和创新的前提。教师应结合学生的心理特点和认知规律，用优化的数学情境为学生感悟和运用数学思想方法、灵活选择解决问题的策略拓宽思维的路径，促进学生实现概念的转换和知识的建构，从而有效提升学生的思维水平和数学素养。