应用变速控制力矩陀螺的航天器姿态机动最优路径规划

程朝阳，绳 涛，秦 捷，钟 超，何 亮

(1. 上海航天控制技术研究所，上海 201109; 2.上海市空间智能控制技术重点实验室, 上海 201109；3. 国防科技大学空天科学学院，长沙 410073)

0 引 言

随着航天技术的不断发展以及空间任务对快速响应能力迫切需求，微小卫星因其具有研制周期短、成本低、响应快速、易于组网应用的显著特点，目前已经在对地遥感、新技术校验等领域展现出巨大的应用潜力[1]。控制力矩陀螺(Control moment gyroscope，CMG)具有强大的力矩输出和动量存储能力，成为敏捷微小卫星姿态控制的一种高效执行机构。相比于单框架控制力矩陀螺(Single gimbal control moment gyroscope，SGCMG)，增加了转子调速功能的变速控制力矩陀螺(Variable speed control moment gyroscope，VSCMG)能够有效的解决SGCMG固有的几何奇异问题，而且其力矩放大能力强，可以实现航天器的高精度、高稳定度快速姿态机动，是敏捷微小卫星姿态控制系统的首选执行机构。

从原理上看，VSCMG有两种力矩输出模块：通过改变框架角来改变角动量方向的CMG子模块(产生陀螺力矩)和改变转子转速来改变角动量大小的反作用飞轮(Reaction wheel，RW)子模块(产生飞轮力矩)。目前，针对采用VSCMG的航天器姿态机动方法应用研究主要针对两个问题：(1)相对于CMG子模块力矩，由于转子没有力矩放大能力，因此RW子模块输出力矩通常比较小;(2)转子转速一般都要达到每分钟几千转，当要求转子输出力矩时，会导致由转子转速和转子力矩乘积决定的转子功率过大，不利于系统设计与实现。因此，基于上述因素，相关学者设计了多种VSCMG操纵律，大致可以分为三类：加权伪逆操纵律[2]、添加零运动的加权伪逆操纵律[3]和模式调度操纵律[4]。加权伪逆操纵律能够降低对转子的频繁操纵，有利于降低系统功率以及延长硬件寿命。但是存在以CMG子模块为主的情况，即可能会发生CMG子模块奇异。添加零运动的加权伪逆操纵律虽然能够解决CMG子模块双曲线奇异问题，但是针对椭圆奇异无能为力。模式调度操纵律是根据指令要求及时切换相对应的模式进行姿态控制，未考虑CMG子模块发生奇异的情况。综上所述，现存的VSCMG操纵律均不是理想的操纵律，有着各种各样的缺点。因此，有必要从姿态机动路径规划的角度设计全局最优操纵律。

路径规划的概念起源于机器人运动路径规划，一般意义上的路径规划只考虑运动学，即规划出满足各项约束的运动路径。但这一概念经过数十年的发展，发展出基于动力学特性的最优路径规划方法，即在满足各种动力学约束条件的情况下，寻找使某一性能指标最好的最优路径。目前常用的姿态机动路径规划方法包括遗传算法[5]、直接打靶法[6]、随机树法[7]、伪谱法[8]等。相比于其他算法，伪谱法在处理非线性约束问题的过程中具有稳定性强、维数结算能力高等优点。

近年来，伪谱法在航天器姿态机动路径规划上的成功应用获得了广泛关注。其中，最受人瞩目的是国际空间站基于伪谱法规划了仅采用CMG的大角度姿态机动路径规划并成功进行了在轨校验。而在理论研究方面，文献[9]针对采用SGCMG作为姿态执行机构的小卫星，提出了一种基于自适应Gauss伪谱法的SGCMG无奇异框架角轨迹快速规划方法；文献[10]采用伪谱法规划了考虑姿态机动时间、控制力矩陀螺峰值角动量以及机动能量等参数的单目标、多目标最优姿态机动路径；文献[11]利用伪谱法规划了陀螺避饱和与奇异的姿态机动路径。

本文以敏捷微小卫星大角度姿态机动为应用背景，提出了一种应用VSCMG的航天器姿态机动最优路径规划方法。首先，建立应用VSCMG的航天器姿态控制模型，推导和分析航天器姿态动力学模型，明确应用VSCMG作为航天器姿态控制执行机构的动力学和运动学方程。其次，介绍了Gauss伪谱法的基本原理。综合考虑空间环境力矩影响，星体姿态动力学、运动学约束和一系列路径约束条件，采用Gauss伪谱法，将卫星大角度机动问题看成满足上述一系列约束条件、边界条件同时最优化某一性能指标的最优控制问题。最后，针对金字塔构型的VSCMGs系统进行了航天器姿态机动最优路径规划算法设计。为了充分发挥VSCMGs系统的优势，设计了以CMG子模块输出力矩为主，RW子模块输出力矩为的最优路径规划算法。同时，考虑到在轨航天器由于长时间工作在失重、高低温等恶劣环境中，VSCMGs系统极易发生故障[12]。此时，就需要重新规划航天器的姿态机动路径，因此，本文也设计了基于Gauss伪谱法的VSCMGs系统故障失效姿态机动路径规划算法。

1 数学模型

1.1 卫星姿态控制模型

本文仅将航天器视为对称的刚体，并且不考虑工质消耗等情况。选择指定相对参考坐标系，则四元数描述的航天器姿态运动学方程为[13]：

(1)

式中：ω×为ω的叉乘矩阵，ω=[ω1,ω2,ω3]T为惯性系的角速度；q0和q分别为四元数的标量部分和矢量部分。

考虑各种环境干扰力矩后可以得到如下的航天器姿态动力学方程：

(2)

式中：Text为航天器所受到的外部干扰力矩；Hs为航天器的总角动量。

航天器通过与VSCMGs系统交换角动量来改变其角速度和姿态。因此，航天器的总角动量表达式如下：

Hs=Jsω+H

(3)

式中：H为VSCMGs系统的角动量；Js为航天器的转动惯量。

因此，将式(3)代入式(2)可以得到应用VSCMG的航天器姿态动力学方程：

(4)

1.2 VSCMGs系统的动力学模型

本文采用4个VSCMG的金字塔构型配置作为航天器姿态执行机构(如图1所示)。为了便于分析，依次对各个陀螺进行编号：陀螺1、陀螺2、陀螺3和陀螺4。定义初始时刻的框架角为δ0=[0,0,0,0]T，转子转速为Ω0=[4000,4000,4000,4000]Tr/min。定义第i个控制力矩陀螺的本体坐标系为{ti,gi,si}，ti表示框架输出力矩方向的单位矢量，gi表示框架轴方向的单位矢量，si表示转子轴方向的单位矢量。

图1 金字塔构型的VSCMGs系统安装图Fig.1 Pyramid configuration of VSCMGs system

设构型倾角为β(β=54.73°)；框架角为δi；转子转速为Ωi。将各控制力矩陀螺的角动量投影至航天器参考坐标系，则VSCMGs系统的总角动量为：

(5)

式中：sβ=sinβ，cβ=cosβ；sδi=sinδi，cδi=cosδi；Iw为转子的转动惯量。

对上式求导可得VSCMG的动力学方程：

(6)

式中：[Ω]d为对角矩阵，即diag(Ω1,Ω2,Ω3,Ω4)。

(7)

(8)

根据SGCMGs系统的奇异度量函数[14]，本文给出了VSCMGs系统的奇异度量函数。

(9)

式中：mcmg为CMG子模块的奇异度量函数，mrw为RW子模块的奇异度量函数。当mcmg或mrw为0时，表示CMG子模块或RW子模块陷入奇异，不能输出相应的力矩。

1.3 VSCMGs系统故障失效时的动力学模型

VSCMG的结构主要分为框架组件和转子组件，前者输出CMG子模块力矩，后者输出RW子模块力矩。由于转子组件和框架组件均带有转动部件，在长时间的稳态工作期间，均需要连续不断作机械运动，出现故障的概率较高。表1总结了VSCMGs系统的常见故障。

表1 VSCMGs系统故障分类Table 1 Fault type of VSCMGs system

定义VSCMGs的力矩输出部件故障因子向量为：

f=[fc,fr]

(10)

式中：fc为CMG子模块故障因子向量，fc=[fc1, …,fc4]；fr为RW子模块故障因子向量，fr=[fr1,…,fr4]。故障因子向量的定义如下：

1) 当fci=1时，表示第i个陀螺的CMG子模块正常工作；当fci=0时，表示第i个陀螺的CMG子模块完全失效，故障表现为框架自锁。

2) 当fri=1时，表示第i个陀螺的RW子模块正常工作；当fri=0时，表示第i个陀螺的RW子模块完全失效，故障表现为转子转速维持恒速。

3) 若第i个陀螺的RW子模块故障表现为转子不启动，则此时整个陀螺完全失效，即：fci=0,fri=0。

结合式(6)和式(10)，可得到VSCMGs系统故障失效时的动力学方程：

(11)

2 Gauss伪谱法

2.1 Bloza最优控制问题的数学描述

将采用VSCMG作为执行机构的微小卫星大角度姿态姿态机动问题看作一般的最优控制问题：

minJ=Φ(x(t0),t0,x(tf),tf)+

(12)

式中：x(t)∈Rn为状态变量，u(t)∈Rm为控制变量；t0和tf为始末时间，时域变量t∈[t0,tf]。

式(12)满足下列约束条件：动力学约束条件、不等式路径约束条件和边界约束条件。即：

(13)

式中：f为n维矢量函数，C为c维矢量函数，φ为q维矢量函数。式(12)和式(13)称为Bolza最优控制问题[15]。

将下式代入到式(12)和式(13)中，

(14)

可得到时域变换的Bolza最优控制问题：

minJ=Φ(x(-1),x(1),t0,tf)+

(15)

(16)

2.2 Gauss伪谱法

Gauss伪谱法的基本求解思路是在一系列Legendre Gauss(LG)点上构建Lagrange插值多项式对状态变量和控制变量进行参数化近似，再利用Gauss求积得到的节点对微分代数方程进行配置。经过上述变换，可将最优控制问题转化为离散的非线性规划问题，最后利用二次规划序列得到最优的框架角和转子转速轨迹[16]。

取N阶LG点和始末点作为节点，构成N+1阶Lagrange插值多项式以近似状态变量和控制变量：

(17)

将式(17)的状态变量求导得：

(18)

式中：Dni是微分近似矩阵D∈RN×(N+1)的元素。

因此，通过式(18)可将动力学约束转化为下面形式的代数约束：

(19)

式中：Xk=X(τk)，Uk=U(τk)。

同理，控制系统的性能指标函数采用Gauss求积近似为：

(20)

式中：wk为Gauss加权因子。

因此，式(16)的边界约束和不等式路径约束分别可表示为：

(21)

综上所述，Bolza最优控制问题可以转化为求解一个非线性问题的近似解，即：在满足式(19)和式(21)的代数约束条件下，求解使得式(20)的性能指标函数最小的状态变量Xk和控制变量Uk，再采用序列二次规划算法对该非线性问题进行求解。

3 仿真校验

目前，应用VSCMG的航天器姿态机动方法主要是考虑以下三个原则：(1)避免CMG子模块固有的几何奇异；(2)避免系统的角动量饱和；(3)转子转速均衡。

本文采用GPOPS软件包[17]，该软件包结合了hp自适应网格细化算法以及稀疏NLP求解器snopt，对姿态机动这类闭环控制问题具有很好的收敛性，且上手方便。

表2 仿真基本参数Table 2 Simulation parameter

仿真算法分为两类：冗余金字塔构型的VSCMGs系统的最优路径规划和考虑VSCMGs系统故障失效的最优路径规划。

3.1 冗余VSCMGs系统的最优路径规划

本节采用金字塔构型的冗余VSCMGs系统作为航天器姿态控制系统的执行机构。为了验证Gauss伪谱法的有效性和发挥VSCMG的力矩输出优势，本文采取以CMG子模块输出力矩为主，RW子模块输出力矩为辅的最优路径规划策略。

本文采用加权矩阵的方式实现上述最优路径的规划策略。具体公式如下，将式(6)的VSCMG动力学方程修改如下形式：

(22)

式中：加权矩阵W用来衡量CMG子模块和RW子模块的力矩输出。

(23)

式中：I4为单位阵；w1和w2为正常数，分别取为0.01和10。式(23)表明：在姿态机动过程中，当CMG子模块接近奇异时，mcmg变小，RW子模块输出力矩以辅助CMG子模块顺利逃离奇异。

因此，构建下面的姿态机动最优路径规划模型：

1) 设计变量：由于考虑VSCMGs系统的作用，设计变量由航天器姿态参数构成的状态变量和VSCMGs系统的框架角速度和转子角加速度构成的控制变量组成。其中，状态变量可表示为：

x=[q0,q1,q2,q3,ω1,ω2,ω3,δ1,δ2,δ3,

δ4, Ω1, Ω2, Ω3, Ω4]T

控制变量为框架角速度和转子角加速度，即：

2) 状态方程：姿态运动学方程和姿态动力学方程分别根据式(1)和式(4)可得到，VSCMGs系统动力学方程根据式(22)可得到。

3) 边界条件：主要考虑姿态参数的边界条件和VSCMGs系统的边界条件。

(3) 姿态角速度：|ωi|≤5(°)/s。

4) 路径约束：主要考虑VSCMGs系统的CMG子模块的奇异度量约束：mcmg>0。

5) 优化目标：本小节主要考虑的优化目标为机动时间和能耗因素，性能指标函数设为：

(24)

考虑绕滚动轴[45°, 0°, 0°]的大角度姿态机动，仿真结果如图2所示。

图2 冗余VSCMGs系统的姿态机动最优路径规划Fig.2 Attitude maneuver of redundant VSCMGs system

由上面的仿真结果可知，整个过程中各轨迹曲线的变化相对光滑，没有出现抖动、超调等现象，说明所设计路径规划算法的合理性。整个姿态机动时间约为11 s，性能指标函数值为13.07，其中功耗部分的性能指标函数值为2.14。图2(a)的四元数轨迹表明规划的姿态机动路径满足任务要求，卫星可以顺利完成姿态机动任务。图2(b)的姿态角速度轨迹表明卫星的姿态机动经历了典型的加速-匀速-减速运动三个阶段，姿态机动速度未超过允许范围。图2(d)的转子转速轨迹变化不大，说明RW子模块输出力矩比较小，满足以RW子模块输出力矩为辅的原则。图2(e)的CMG子模块奇异度量轨迹显示mcmg始终大于0，满足路径约束条件，系统始终处于无CMG子模块奇异状态。

因此，本文所提出的路径规划方法可以在考虑一系列约束的情况下有效地生成非奇异姿态机动轨迹。与传统的操纵律相比，此方法规划的最优路径可以从全局角度避免CMG子模块奇异，以及可以维持转子转速的均衡性能。此外，所需的控制力矩输入不需要，只需要初始状态和末端状态以及大角度航天器机动的约束条件。

综上所述，在单次姿态机动任务中，基于Gauss伪谱法的VSCMGs系统最优轨迹规划满足提出的三个原则，顺利完成大角度姿态机动任务。

3.2 VSCMGs系统故障失效时的最优路径规划

3.2.1单个陀螺完全故障失效

本节将针对单个陀螺完全故障失效时的姿态机动任务，优化目标为机动时间最短和功耗最小。

当单个陀螺完全故障失效时，整个VSCMGs系统重构成3个VSCMG和一个失效陀螺组成的金字塔构型，假设陀螺1完全故障失效，则此时的故障失效因子向量为：

f=[0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1]

(25)

单个陀螺完全故障失效时，由于整个系统仍然具有较好的冗余性，因此规划算法的设计策略，依然是以CMG子模块输出力矩为主，RW子模块输出力矩为辅。路径约束仍然是避免CMG子模块的奇异性。CMG子模块的奇异度量函数为：

(26)

因此，与3.1节类似，构建单个陀螺完全故障失效后的姿态机动最优路径规划模型。其中，路径约束为：mcmgf>0。

考虑绕滚动轴[45°, 0°, 0°]的大角度姿态机动，仿真结果如下图3所示。

图3 单个陀螺完全故障失效姿态机动最优路径规划Fig.3 Attitude maneuver considered the failure of single gyro

由上面的仿真结果可知，整个过程中各轨迹曲线的变化相对光滑，没有出现抖动、超调等现象，说明所设计路径规划算法的合理性。图3(a)的四元数轨迹表明：在单个陀螺完全故障失效时，整个过程中各轨迹曲线的变化相对光滑，没有出现抖动、超调等现象，说明所设计路径规划算法的合理性。图3(c)的转子转速轨迹变化不大，说明RW子模块输出力矩比较小，满足以RW子模块输出力矩为辅的原则。图3(d)的系统奇异度量轨迹说明系统始终处于无奇异状态。

因此，在单个陀螺完全故障失效后，VSCMGs系统依旧可以驱动航天器顺利完成姿态机动任务。而在传统的操纵律中，并未考虑过在部分陀螺完全故障失效后，如何应对故障以维持姿控系统的正常工作并完成姿态机动任务。此外，本文从离线角度考虑VSCMGs系统故障失效后规划姿态机动任务路径的方法，不需要控制力矩的输入，只需要初始状态和末端状态以及大角度航天器机动的约束条件(奇异约束条件，动力学约束条件等)。

综上所述，在单个陀螺完全故障失效后，基于Gauss伪谱法的最优路径规划算法满足提出的三个原则，能够顺利完成大角度姿态机动任务。

3.2.2两个陀螺完全故障失效

本节将针对两个陀螺完全故障失效时的姿态机动任务。假设陀螺1和陀螺3完全故障失效，则整个VSCMGs系统重构成2个对立VSCMG的构型。此时，故障失效因子向量为：

f=[0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1]

(27)

两个对立陀螺完全故障失效时，此时整个系统冗余性较低，因此规划算法的设计策略，主要是完成姿态机动任务。同时，避免陀螺的所有力矩输出矢量发生奇异(力矩输出矢量共面)。因此根据式(11)和式(27)可得到此时力矩输出Jacobian矩阵为：

(28)

式中：矩阵的前两列为CMG子模块的力矩输出单位矢量，后两列为RW子模块的力矩输出单位矢量。

根据上式，可得到整个系统的奇异度量函数为：

(29)

经过计算，mf的值恒为1.778。因此，当两个陀螺完全故障失效后，剩余两个陀螺的所有力矩输出矢量不会发生奇异。

由于mf的值恒为常数，不能反应系统的力矩输出性能，因此，为了更加直观地衡量在两个陀螺完全故障失效后VSCMGs系统的力矩输出能力，本文根据VSCMG的力矩输出特点，定义下式的力矩输出性能指标：

(30)

式中：τv=Tv/|Tv|表示VSCMGs系统的输出力矩矢量；cfi=Cfi/|Cfi|和dfi=Dfi/|Dfi|分别表示各个单元陀螺的CMG子模块和RW子模块输出力矩单位矢量；ηcmg和ηrw分别表示CMG子模块和RW子模块的力矩输出性能指标。

式(30)实际上表示的是各力矩输出模块在系统输出力矩矢量上的投影比例。η越大，投影比例越大，表示力矩输出模块在系统输出力矩方向的力矩输出能力越强。

因此，与3.1节类似，构建两个对立陀螺完全故障失效后的姿态机动最优路径规划模型。由于奇异度量恒为常数，故不考虑路径约束。

考虑绕滚动轴[45°,0°,0°]的大角度姿态机动，仿真结果如图4所示。

图4 两个陀螺完全故障失效姿态机动最优路径规划Fig.4 Attitude maneuver considered the failure of two gyros

由上面的仿真结果可知，图4(a)的四元数轨迹表明：在两个陀螺完全故障失效后，整个姿态机动过程中各轨迹曲线的变化相对光滑，没有出现抖动、超调等现象，说明所设计路径规划算法的合理性。图4(c)的转子转速轨迹与前面仿真不一样，转子转速有较大的变化，说明RW子模块输出了有效的力矩。从图4(d)的力矩性能指标可看到，CMG子模块和RW子模块均能有效的输出力矩，未发生奇异现象。而且ηcmg要大于ηrw，表明CMG子模块在系统输出力矩方向的力矩输出能力要大于RW子模块，说明在在姿态机动过程中，CMG子的力矩输出占主要作用。

因此，在两个陀螺完全故障失效后，VSCMGs系统依旧可以驱动航天器顺利完成姿态机动任务。应用Gauss伪谱法设计的姿态机动路径相比于传统的操纵律，更具有实用性和有效性。

4 结 论

本文针对以VSCMG为姿态执行机构的航天器，设计了基于Gauss伪谱法的航天器姿态机动最优路径规划算法。论文对两类姿态机动任务的最优路径规划问题分别进行了研究：冗余金字塔构型VSCMGs系统的姿态机动任务和VSCMGs系统故障失效时的姿态机动任务。在冗余VSCMGs系统的姿态机动任务中，采用CMG子模块输出力矩为主，RW子模块输出力矩为辅的路径规划策略；在VSCMGs系统故障失效时的姿态机动任务，充分考虑了两种相对恶劣的故障模式，设计了相应的路径规划算法。仿真结果表明，设计的算法在考虑了一系列约束条件的情况下，能有效地生成性能指标最优姿态机动路径，得到的优化轨迹曲线比较平滑。与传统的操纵律相比，此方法规划的最优路径可以从全局角度避免CMG子模块奇异，能顺利完成姿态机动任务。

此外，在传统的操纵律中，并未考虑过在部分陀螺完全故障失效后，如何应对故障以维持航天器控制系统的正常工作，本文针对故障模式的路径规划算法为VSCMG在实际工程应用中提供了一定的参考。