重视基础、把握本质、领悟思想方法——2019年全国卷Ⅲ理科第18题评析与备考建议

安徽 任 静 祝 峰

1.试题呈现

(Ⅰ)求B；

(Ⅱ)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.

2.命题分析

试题情境熟悉，条件简单清晰，表达言简意赅，构思巧妙，有效规避“题型”、“套题”.在核心素养导向下，朴实中重“四基”，常规中考“四能”.在三角形问题情境中，着眼于三角变换公式、三角函数的性质、正余弦定理等知识点，考查了学生的逻辑推理、数学运算和直观想象数学核心素养.

3.失分点分析

(1)三角变换出错.三角变换公式是解决三角形问题的基本工具，三角变换出错是低级失误，说明基础知识掌握不牢.

(3)忽视挖掘题目条件.解题过程中应深刻领会题目条件，B=60°，锐角三角形中仅考虑A、B均为锐角不够，还应兼顾A+C=120°，意识不到这一点，C的范围求解就会出错，导致求不准S△ABC的范围.

(4)抽象能力不够.三角形面积有取值范围，则其在变化，变化的原因是什么？能否在函数思想的统领下，辅以几何直观等手段，发现变化的根本原因，抽象出范围问题的求解模型，如“函数模型”、“不等式模型”等，做不到这一点，会导致思维混乱、无路可走、望题兴叹.

4.试题探究

第(Ⅰ)问

第(Ⅱ)问

角度一：视面积为角的函数

角度二：视面积为边的函数

【评析】视三角形形状的不确定性由边a的变化导致，S△ABC是a的一次函数，求出定义域即可求出函数的值域，侧重于余弦定理的应用.

角度三：借助几何直观

【评析】利用图形描述和分析问题，把复杂抽象的数学问题直观化、形象化，是直观想象素养的体现.论证求解过程需辅以必要的文字和符号说明.

角度四：坐标运算

【评析】在平面直角坐标系中，图形的几何特征可以“坐标化”、“方程化”，用方程、不等式的运算解决图形的几何特征，这是解析法的基本思想.

5.试题本源及变式

(1)问题的本源

(2)试题条件设置的变式

∠B=60°表现在边的关系上是a2+c2-b2=ac，能得到这一结论的条件设置方法是多样的，下述表达均具有同样的效果：

(2)acosB+bcosA=2ccosB；

(6)(sinA-sinC)2=sin2B-sinAsinC.

(3)锐角三角形中∠B=60°，c=1，求△ABC面积取值范围的变式

(1)求角C的取值范围；

(2)求角A的取值范围；

(3)求三角形周长的取值范围；

(4)上述问题去掉锐角三角形的条件限制又会怎样？

(4)更广视角

在三角形ABC中，已知∠B=60°，和其中一个邻边c=1，可求S△ABC的取值范围.若保持条件∠B=60°不变，做以下变换，同样可求S△ABC的取值范围.

(1)已知对边：∠B=60°，b=2，求S△ABC的取值范围；

(2)已知对边的中线：∠B=60°，D为AC的中点，BD=1，求S△ABC的取值范围.

6.教学启示及备考建议

(1)规避题型、套题

从这道试题可见，高考试题重视基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验的考查.不能把数学的学习完全定位在考试上，这样会导致教与学都变得很功利，不能只注重“题型”、“套题”的模式化重复训练，而忽视“四基”的落实.高考备考中，解题训练是必要的，但一味追求大量训练，反复总结题型，对各种问题进行“分门别类”，期待考试的时候能对号入座，不顾知识形成和发展过程、忽视问题中数学本质的揭示，舍弃思想方法提炼的做法是低效的.比如正、余弦定理，仅强调它们的结构形式及每个定理能解的三角形类型，不去发掘两定理产生的原因，以及两定理结构形式所对应的思想方法，面对具体问题时学生依然会束手无策.这要求我们在教学中不能只让学生接受现成的结论，只有适时引导学生在具体的问题情境中亲身经历发现问题、提出问题，进而分析和解决问题，才有利于数学学习水平及能力的提高.

(2)注重数学知识之间的联系

数学知识与其他学科知识是联系的，数学学科内部各知识点之间也有着密切的联系，特别是素养导向下的高考数学解答题，基本上会综合考查高中数学中各个分支中不同的知识.高考常在知识点的交汇处命题，本道试题的上述探究过程中，涉及三角变换的基本公式、三角函数性质、正、余弦定理、初中平面几何知识、平面向量、解析几何等相关知识点.因此，在教学中，特别是高三备考复习课中，应阐明高中数学各分支知识点之间的逻辑关系，注重各分支不同数学知识之间的内在关联和逻辑体系，提高学生对高中数学的整体认识，比如函数与方程、不等式的联系；向量工具性在相关问题中的体现等.

(3)把握本质、突出思想

基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验是发展学生数学核心素养的载体，强调“四基”就是要把握数学的本质，在高考备考的教学中，让学生熟练掌握，感悟知识所蕴含的数学基本思想，积累数学思维和实践经验，只有在这个基础上才能促使学生逐步提升数学思维能力，形成和发展核心素养.这就要求教师应设计并实施合理的教学活动，引导学生自己“悟”出数学问题的本质及思想，启发学生主动参与数学学习的各个环节.仅靠死记硬背、机械模仿无法让学生理解问题的本质，更无法让学生感悟数学的基本思想，形成和发展核心素养也就会是无源之水、无本之木，也就无法让学生适应素养导向下的高考试题.