启发学生思考，培养学生质疑精神之实践——以错题研究为例

广东 李 虎

近几年，高考试题越来越新颖多变，考查方向也从能力立意转向核心素养立意，课堂教学也应该随之改变，一味题海战术，刻板训练未必会有好的效果，课堂更应该打开学生思维，以一种开放的状态，培养学生的质疑精神和创新意识.不仅要关注为什么要这样做，更应该关注自己错在哪里.下面笔者就以课堂教学中学生提出的几个很有意义的质疑为契机，谈谈一些浅薄的认识.

一、发扬“最后一问”

【例1】已知数列{an}的前n项和为Sn，并且4Sn=(an+1)2，求{an}的通项公式.

思维导航：本题考查数列的通项公式和前n项和的关系，消去Sn得到递推公式，然后根据递推公式即可解出通项公式.

解答过程：由4Sn=(an+1)2①，取n=1得4a1=(a1+1)2，解得a1=1，以n+1替换n得4Sn+1=(an+1+1)2②，②-①得4an+1=(an+1+1)2-(an+1)2，整理得(an+1+an)(an+1-an-2)=0 ③.所以an+1+an=0或an+1-an-2=0，所以数列{an}为等差或等比数列.解得an=(-1)n-1或an=2n-1.

笔者任教的两个班级绝大部分学生是这样解答的，参考答案也是这样给的.笔者在评讲时，问有没有其他解法.有个学生举手，老师这是一个错题，原因如下：先求a1=1，把a1=1代入得到4(1+a2)=(a2+1)2，解得a2=-1或a2=3；再分两种情况代入求得a3=1或a3=-3或a3=5；再分情况代入，求得a4=-1或a4=3或a4=-5或a4=7；….

反思：在教学中，要发扬“最后一问”的精神，问问学生们，还有没有想要说的，有没有其他的想法和思路，培养学生的质疑精神，不盲信答案或者参考资料.本题在多份参考资料里出现，基本都是错误的解答.

二、错在哪？

【例2】设函数f(x)对任意的x∈R,y∈R都满足f(x+y)=f(x)f(y)+2，且f(1)=2，则f(n)=________(n∈N*).

思维导航:本题是一道典型的抽象函数题目，考查由抽象函数得到数列的递推公式，然后根据递推公式求解通项公式.

解答过程：取x=n,y=1得f(n+1)=f(1)f(n)+2,即f(n+1)=2f(n)+2，f(n+1)+2=2(f(n)+2)，所以{f(n)+2}是以4为首项，2为公比的等比数列，解得f(n)=2n+1-2.

在测试卷中，有60%的人是这个结果，这个解答也是答案中给出的结果.还有20%的人结果是f(n)=2.在试卷评讲过程中，笔者让一位学生来讲解他的思考过程，给出的解答过程如下：

取x=0,y=1得f(1)=f(0)f(1)+2，将f(1)=2代入得f(0)=0，再取x=0,y=n可得f(n)=2.

讨论辨疑：学生A：这个题目是个错题，取x=y=1得f(2)=f(1)f(1)+2=6，再取x=y=2得f(4)=f(2)·f(2)+2=38 ④，取x=1,y=2得f(3)=f(1)f(2)+2=14，再取x=1,y=3得f(4)=f(3)f(1)+2=30 ⑤.④⑤两式矛盾，说明不存在这样的函数.

学生B：若取x=y=0则得f(0)=(f(0))2+2，此方程没有实数根，说明这个函数在x=0无定义，由x,y的任意性可得这样的实值函数不存在.

反思：在发现问题时，不妨多留点时间给学生们，让他们自己去发现问题所在，在质疑中提升思维的品质，在辨疑中串联知识点，提升思维的深度和知识的厚度.

三、这样的函数存在吗？

【例3】定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的实数x，有f(x)>f′(x)，且f(x)+2 017为奇函数，则不等式f(x)+2 017ex<0的解集是________.

最后一问：从上面的解答过程看，f(x)+2 017为奇函数这个条件，这里只用到了f(0)+2 017=0，题目给的条件貌似过强，会不会出现条件之间的不相容性，这样的函数根本不存在呢？简单来说，满足上述条件的f(x)存在吗？

四、题目是否真的少条件？

(Ⅰ)证明：AB⊥平面ADE；

(Ⅱ)求二面角E-BC-F的余弦值.

背景：此题是2019年广东省模拟试卷理科数学第18题，本班某学生听说高三学姐刚考完的省一模很难，年级均分才八十多分，于是去借了试卷来做一下.在大题的第二问就卡住了，班上几个同学商量后，一致认为题目少了条件，不然做不出来.拿来请教笔者，笔者看到此题有一种似曾相识的感觉，发现此题和2016年高考全国卷Ⅰ理科数学第18题如出一辙.原高考题如下：

(2016·全国卷Ⅰ理·18)如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD,∠AFD=90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.

(Ⅰ)证明：平面ABEF⊥平面EFDC；

(Ⅱ)求二面角E-BC-A的余弦值.

依稀记得当年这道考题，全省73.3万考生，根据阅卷情况，能拿到满分的人寥寥无几，当年学生出考场后也同样认为少了条件，为什么同样的情景会重现？

解疑：笔者问学生，你能得到AB∥CD吗？学生答：就是卡在这里，题目应该给出这个条件.那么，CD是否平行EF？学生答：平行啊.那么，CD是否平行平面ABFE？学生答：平行.学生马上说：知道了，明白了.

反思：线面平行的性质定理平时用的较少，很多学生会忽视用线面平行可以得到线线平行，造成第一问都做不出来.由于已知条件是二面角F-AB-C的大小为30°，在第一问做不出来的情形下，第二问也如空中楼阁，无法建系来计算.本题在高三考生中得分也非常低.在高考题转变为以核心素养立意后，高三复习要注意回归“课本”，夯实基础，这样才会在变化中寻找到规律.

【例5】关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个x,y都小于1的正实数对(x,y)，再统计其中x,y能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数m，最后根据统计个数m估计π的值.如果统计结果是m=34，那么可以估计π的值为

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反思：考完学生反思才发现，漏掉了构成三角形这一基本条件.本题要考查的知识点是随机模拟，用频率估计概率.涉及几何概型、线性规划、余弦定理、构成三角形条件等相关知识.同时又联系数学史料，是这几年命题的热点和新方向.

五、数形结合，边思边画

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背景：此题为七校联合体高二联考试题第11题，此题得分率仅为24%.很多学生不能将问题转化为函数交点问题.

学生质疑：对比上述两题，都是用数形结合解决，但是一个是直线与曲线，一个是曲线与曲线.曲线与曲线相交，是否一定要当x=-5时，y=loga(-x)(x<0)在y=-2的上方？是否会出现在最低点(x=-5)的右侧“附近”就可以有两个交点？

反思：从学生质疑来看，对于这道选择题，选A没问题，是否A的右端是上界，可以借助几何画板模拟一下.将几何画板的精度设置为最高.

六、把握高考新动向，科学备考

(Ⅰ)从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；

(Ⅱ)(ⅰ)若从游客中随机抽取m人，记总分恰为m分的概率为Am，求数列{Am}的前10项和；

(ⅱ)在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为n分的概率为Bn，探讨Bn与Bn-1之间的关系，并求数列{Bn}的通项公式.

背景：本题根据2019-2020学年度武汉市部分学校新高三起点质量检测第21题改编.改编的目的是为了在试题中加入家国情怀知识，让学生对家乡更了解，也是思政教育的一种渗透.

反思：本题第二问的第二小问，全级理科928名考生无人做出.可以看出本题是根据2019年高考全国卷Ⅰ概率与统计题改编设计，属于概率与数列结合题目，比较新颖.

结束语：学生会提出问题，说明他们在思考，无论对与错，都反映他们对知识的一种理解，教师要做的，就是把这些“火花”变成燎原之势，那将迸发无限的希望.同时，教师要关注高考新动向，及时把握时代的步伐，注意命题的动向，科学高效备考，为学生指明高考复习备考的方向.