函数应用中的创新问题

何 炜 刘大鸣(特级教师)

本文对函数应用中创新问题的求解方法进行归纳升华，希望对同学们求解创新问题有所启迪。

创新1：函数最大值与最小值中的整体思维

创新2：由函数值域探究其定义域

[m ，4]上的值域 为 [ -1，2]，则 实 数m 的 取值范围为_____。

由值域探究其定义域，可利用数形结合法求解。作出函数f x( )的大致图像，如图1所示。

升华：由函数值域探究其定义域系逆向思维，利用定义域到值域的唯一的对应关系，借助函数图像和特殊函数值处的自变量值，以形助数和运动变化的观念探究其取值范围。

创新3：函数不等式中的合理转化

例3 已知函数f x( )=2x且f x( )=g x( )+h x( )，其中g x( )为奇函数，h x( )为偶函数，若不等式3ag x( )+h 2x()≥0对任意的x∈1，2[ ]恒成立，则实数a 的取值范围是_____。

由已知可得g x( )+h x( )=2x，注 意g x( ) 为 奇 函 数，h x( )为偶函数，则g -x( )+h -x( )=2-x，即得-g x( )+h x( )=2-x。

创新4：新定义的图像交点问题

例4 若点A，B 分别是函数y=f(x)与y=g(x)的图像上的点，且线段AB 的中点恰好为原点O(0，0)，则称A，B 为两函数的一对“孪生点”。若函数f(x)=lg|x|，g(x)=2x，则这两函数的“孪生点”共有( )。

A.1对 B.2对

C.3对 D.4对

“孪生点”是函数y=f(x)和y=g(x)的图像上的点，“孪生点”关于原点对称。其实，本题就是求函数y=f(x)与y=-g(-x)图像交点的个数。

由图可知，两图像有2 个交点。所以f(x)=lg|x|与g(x)=2x这两函数的“孪生点”共有2对。应选B。

升华：本题通过定义两函数的“孪生点”，达到考查对数函数、指数函数的图像以及函数图像的对称变换的目的。

已知方程2018x=a-x 和方程log2018x=a-x a＞1( )的根分别为x1，x2，则x21+x22的取值范围为( )。