聚焦数形结合思想在函数零点问题中的渗透

胡 彬

函数的零点是高考命题的重点，它可与多种函数及函数的图像、性质相结合命题，其中渗透数形结合的思想方法。利用数形结合法，可使函数零点的复杂问题简单化、函数零点的抽象问题具体化，有助于把握该数学问题的本质，有利于达到优化解题的目的。

聚焦一：利用图像判断函数零点(方程根)的个数

由图可知，其图像交点个数为3。

评析：判断函数零点个数的三种方法：①方程法，若对应的方程f x( )=0 可解时，则有几个解就有几个零点(相同的解除外)；②零点存在性定理法，利用定理不仅要判断函数在区间a，b[ ]上是连续不断的曲线，且f a( )·f b( )＜0，还必须结合函数的图像与性质，才能确定函数的零点个数；③图像法，画出两个对应函数的图像，其图像交点的个数就是函数零点的个数。

聚焦二：函数零点(方程根)所在区间的判断

解：设f(m)=6。由f[f(x)-log2x]=6，可得f(x)-log2x=m，整理可得f(x)=log2x+m，则f(m)=log2m+m=6，解得m=4，所以函数f(x)=log2x+4。

评析：解答本题的关键是求出函数f(x)的解析式，其中画出函数图像可使解题过程更简化。

聚焦三：函数零点的综合问题

解：画 出 函 数f(x)的图像，如图2所示。

由图可知，要使方程f(x)=m 有四个不等实根，则1≤m＜2。

评析：函数零点问题常与函数的性质或其他知识综合考查，题型设计新颖，知识的综合度较高，对思维能力要求较高，可以培养同学们的核心素养。