一道锻炼同学们思维品质的好题

朱 慧 田发胜

题目 如果a+10a=5，b+lgb=5，则a+b=_____。

这是一道考查同学们思维品质的好题目。有些同学在看到这个题目后，毫无思路可言，一点头绪也没有，实际上，仔细分析题目中条件的结构特征，抓住条件中的区别与联系，灵活转化，就能获得很多思路，从而得到众多的解法。

思路一：把指数与对数不同的结构变为相同的结构来处理

解法1：由已知可得5-a=10a，b=105-b。两式相减可得5-a-b=10a-105-b。 ＊

如果5-a-b＞0，即5-b＞a，那么105-b＞10a，即10a-105-b＜0，从而＊式不成立；如果5-a-b＜0，即5-b＜a，那么105-b＜10a，即10a-105-b＞0，从而＊式也不成立。

综上所述，5-a-b=0，即a+b=5。

解法2：由已知可得a=lg(5-a)，5-b=lgb。两式相减可得5-a-b=lgblg(5-a)。 ＊

如果5-a-b＞0，即5-a＞b，那么lg(5-a)＞lgb，即lgb-lg(5-a)＜0，从而＊式不成立；如果5-a-b＜0，即5-a＜b，那么lg(5-a)＜lgb，即lgb-lg(5-a)＞0，从而＊式也不成立。

综上所述，5-a-b=0，即a+b=5。

思路二：构造方程，利用图像来处理

解法3：因为b+lgb=5，所以lgb=5-b，即b=105-b，也即5-(5-b)=105-b。 ①

由a+10a=5，可得5-a=10a。 ②

观察①②式的特点，可知5-b，a 是方程5-x=10x的两个根。在同一坐标系中分别画出函数y=5-x，y=10x的图像(图略)，易知两图像有唯一的交点，从而方程5-x=10x有唯一的根。所以5-b=a，即a+b=5。

解法4：因为a+10a=5，所以lg(5-a)=a，即5-(5-a)=lg(5-a)。 ①

由b+lgb=5，可得5-b=lgb。 ②

观察①②式的特点，可知5-a，b 是方程5-x=lgx 的两个根。在同一坐标系中分别画出函数y=5-x，y=lgx 的图像(图略)，易知两图像有唯一的交点，从而方程5-x=10x有唯一的根。所以5-a=b，即a+b=5。

思路三：构造函数，利用单调性来处理

解法5：构造函数f(x)=x+lgx，则已知条件可化为f(b)=f(10a)=5。

易知f(x)在(0，+∞)上是增函数，所以b=10a。所以a+b=a+10a=5。

解法6：构造函数f(x)=x+10x，则已知条件可化为f(a)=f(10b)=5。

易知f(x)在(0，+∞)上是增函数，所以b=10a。所以a+b=a+10a=5。

思路四：利用互为反函数的图像关系来处理

解法7：由已知可得10a=5-a，lgb=5-b，故a，b 分别是方程10x=5-x，lgx=5-x 的根。所以a 是函数y=10x与函数y=5-x 交点的横坐标，b 是函数y=lgx 与函数y=5-x 交点的横坐标。

函数y=10x与函数y=lgx 互为反函数，其图像关于直线y=x 对称，所以它们与同一条直线y=5-x 的交点也关于直线y=x 对称。

编者注：在学习的过程中，当同学们遇到陌生的题目，或不熟悉的问题时，一定要细心观察，认真分析，找出条件中的区别与联系，向学过的知识靠拢，消除差异，灵活转化，就能使问题获得圆满解决。