纸飞机抛出的最佳角度及重心位置数学建模

董晓红 康平

摘 要：本文假设纸飞机比赛可以调整配重来改变重心，例如可以使用少量胶带粘贴在机身上，调整重心的前后位置，同时需要考虑纸飞机滞空时间尽可能长，设计最佳重心位置和出手角度。

关键词：纸飞机;重心位置;数学建模

1 问题分析

假设纸飞机翼面为精确平面，且比赛需要可以调整配重来改变重心，研究重心的位置对纸飞机的影响，以及纸飞机稳定性、受力，随重心位置的改变情况，从而得重心的最佳位置。

2 问题的求解

2.1 重心对纸飞机的影响

若纸飞机的重心偏前：纸飞机前部就会向下俯冲，飞行距离就会减小，提前向下坠落;若纸飞机的重心偏后：纸飞机加速上升，重力增大，阻力也增大，纸飞机会快速坠落。因此在在纸飞机的折叠过程中，应尽可能将重心放置最佳升力点的位置上，这样才能维持飞机飞行的稳定性和飞行时间。

2.2 升力来源

升力来源为空气对机翼反作用力的向上分力，若分力在机翼表面均匀分布，则例如三角形机翼，升力的合力应该在飞机机翼的几何重心位置产生作用力。

2.3 机翼面积的影响

若增大纸飞机的机翼面积，则空气对机翼的反作用力增大，升力及阻力都增大。

若机翼的水平夹角小于45°，空气对机翼的力量影响较大，仰角大于45°，影响阻力增大。

机翼面积增大，升力会变大，同时单位面积的重量越小，重量的增量越小。相对因素变小导致惯性变小，向前的动力也会受阻力影响而变小。

2.4 纸飞机的飞行距离与抛出角度的关系

当θ=45°此时纸飞机的升力达到最大值，使纸飞机从最高处向下滑翔（此时不考虑其他因素对纸飞机影响），而使飞机达到最远的飞行距离。

先制作了几组飞机，每一组尽可能的折出多种不同的形状或结构的纸飞机，进行实验，将测量的数据记录下来。然后改进、调整纸飞机，如将纸飞机增大或增重，做第二次试验。实验结果表明：保持第一组飞机其他量不变，体积增大，飞行速度明显减小，飞行距离也大大缩短;其他因素不变，增大质量会使飞行速度加大，飞行距离更远;整体上飞行速度略有减慢但飞行距离略有增加。

2.5 问题的求解

2.5.1 常见纸飞机类型分析

简易型：机身长度约为29.6cm;机翼翼展约为14.1cm;重心位置约为距机头13～14cm;无襟翼、翼梢小翼和尾翼;机翼剖面为上凸形的弧线，翼身合一，可提升升力，但稳定性差;抛出方式影响飞机的稳定性，高速投掷时，飞行距离较大、方向性较准确。

传统型：机身长度约为18.1cm，机翼翼展约为15.3cm;重心位置约为距机头6～7cm;无襟翼、翼梢小翼和尾翼;翼身合一，机翼剖面为下凹形的弧线，比简易型重心前移。

平稳性强于简易型，但会出现上扬和回旋，投掷初速度过大，则出现明显回旋，稳定性较差，投掷时小力抛出才能保持相对平稳飞行。

DC-03型：机身长度约为22.3cm，机翼翼展约为151cm，重心位置约为距机头5～5.5cm;无襟翼，有翼梢小翼和尾翼，翼身部分合一，但机尾部分分离;在传统型的基础上，重心前移更多，同时机尾向后延伸，且幅度较大;稳定性比前两种强，但由于重心靠前，不易上扬;投掷方式对稳定性影响不大;尾翼会受投掷速度影响，若拆除尾翼，会增强流畅性和稳定性，不同速度飞行表现俱佳。

2.5.2 纸飞机的轴线

（1）纵轴：由机鼻至机尾的轴线，称为“纵轴”Longitudinal Axis。飞机绕纵轴转动，控制飞机左右转动。

（2）横轴：由机两翼连接、并贯穿重心的轴线，称为“侧轴”或“横轴”Lateral Axis。飞机绕横轴转动，控制飞机下俯或上扬。

（3）立轴：由上至下、贯穿重心的轴线，称为“立轴”“法线轴”或“垂直轴”Normal Axis。飞机绕立轴转动，控制飞机方向。

2.5.3 作用效果

起飞阶段：由于起飞时飞机由手部抛出，起到一定固定作用，绕纵轴的横向翻滚，可以忽略不计。而起飞时，若手部施力点位置不当，易引起绕橫轴的俯仰转动与绕立轴的方向偏转。若施力点处于重心后，纸飞机会因为力矩失衡而翻滚。

飞行阶段：将以上三种机型进行对比实验，结果显示，若纸飞机重心靠后，力矩失衡，纸飞机会发生下俯或上扬。同时很微小的方向偏转，也会使得纸飞机一侧的气流变大，从而机翼升力变大，另一侧气流减小，同时升力减小，纸飞机也容易产生明显翻滚。

机身平均高度/斜度：若折叠纸飞机的纸张大小恒定，调节纸飞机的机身高度也就调整了机翼的大小与展弦比，同时也就改变了升力的大小，使飞机能够力矩平衡。

纸飞机的机翼，用于产生一部分升力来抵消重力，使纸飞机能够滞空时间更长，同时若调整好重心位置与机翼配合，还能改变纸飞机的飞行姿态。

2.5.4 机翼的种类

翼梢小翼：即在机翼设计时在翼梢引入了小的垂直隆起，机翼上、下翼面的气流窜动，会产生强漩涡气流，从机翼往后延伸较长的距离，同时带走了能量，增加诱导阻力。翼梢小翼可以削弱这类阻力，使纸飞机飞的更远。

襟翼：机翼边缘部分的一种翼面形可动装置，襟翼可装在机翼后缘或前缘，可向下偏转或向后（前）滑动，其基本效用是在飞行中增加升力，也增加阻力。依据所安装部位和具体作用的不同，襟翼可分为后缘襟翼、前缘襟翼。但纸飞机本身无动力，因此忽略不计。

尾翼：主要用于保持纸飞机的平衡，防止飞机打转，增强纸飞机的滑翔力，保持空气流动。

垂直尾翼：顺气流直立于飞机尾部，以保持航向平衡、稳定和航向操纵用的翼面。

水平尾翼：主要起减少纸飞机纵向震动和俯仰操纵的作用，来减少阻力，折出水平尾翼后纸飞机重心会向后移。

机翼的上反角、后掠翼：是指机翼安装时，与水平面之间的夹角。也就是机翼向上翘。若飞机受气流影响偏离了平衡位置，向一侧倾斜（也就是开始带坡度），飞机升力也随之倾斜，并产生横向的水平分量。该水平分量起到向心力作用，促使飞机在水平面内开始做圆周运动。这样一来飞机产生内侧滑（空气从转弯方向内侧吹过来，飞机的速度方向和机身纵轴不在一条线上）内侧滑使得侧滑前翼迎角大于侧滑后翼迎角，于是侧滑前翼升力大于侧滑后翼升力，造成内外两侧机翼出现升力差。升力差力图消除坡度使飞机回归平衡位置，于是飞机就具有能够消除横侧扰动的影响，不需要施加外力干涉即可回归平衡位置，起到横向稳定的作用。

机翼的下反角、前掠翼：会降低飞机横向稳定性，但增加横向捷敏性和滚转能力，有利于飞机做滚转动作，增加机动性。在飞机倾侧的时候，机翼相对气流有侧滑现象时，下方的机翼迎向侧滑方向的一侧机翼的迎风面积以会比另一侧机翼要小，因此飞机滚转作用力更大。可以防止机翼下的气压顺翼尖方向与机翼分离逃逸。一方面可以减小诱导阻力，更重要的是在大迎角的时候，组织气流沿着机翼前缘分离，优化大迎角激动能力。

2.5.5 展弦比

展弦比：大展弦比的机翼长且窄，小展弦比的机翼短且宽。短而宽的机翼（低展弦比）诱导阻力较大，适合高速物体，想要滞空时间更的则多采大展弦比以降低诱导阻力。若机翼面积相同，在相同条件下展弦比大的机翼产生的升力也大，因而能减小飞机的起飞距离和提高机动性。

2.5.6 機翼强度

以简易型纸飞机为例，起飞阶段：纸飞机机械强度不够，但往往投掷速度较大，起飞时会形成很大阻力，使纸飞机变形，飞行距离缩短，增强机翼强度，能有效改善这一问题。飞行阶段：纸飞机被投掷后，纸张会发生舒张，飞机所受空气阻力的面积增大，增加机翼强度，会降低纸张舒张度，减少阻力面积，延长飞行距离。

2.6 改进

对几种常见机型改进如下：

采用封闭式机头来加大机翼下方的气流量;

调整展弦比：小展弦比，展长约为13cm，机翼面积约为224平方厘米，展弦比约为0.876;大展弦比，展长约为15cm，机翼面积约为：161平方厘米，展弦比约为1.602。

机翼强度：若机翼位置紧挨机身，机翼震动非常小，升力增大，而机翼强度不加强可减轻单位面积重量。若机翼向外延伸，较易发生震动，因此将机翼前端折叠，来加强机翼强度。

翼梢小翼：机体本身的结构不易受翼梢小翼的影响，同时阻力减小，因此设置翼梢小翼。

大展弦比的纸飞机，往往机翼面积大，不易垂直震动，因此仅折叠垂直尾翼。

小展弦比的纸飞机，仅尾翼的效果不佳，因此需要设置水平尾翼与垂直尾翼。

2.7 调整重心位置

小展弦比的机翼：机头至10cm/20cm处缠胶带，调整重心位置。

大展弦比的机翼：机头至5.5cm/13.5cm处缠胶带，调整重心位置。

3 结论

通过对纸飞机进行研究，展弦比大的，升力也大，速度小但滞空时间较长，易受抛出方式的影响，而产生下俯、上扬、偏移等现象。展弦比小的，有很好的方向性，且其机翼面受力面积小，受气流影响较小，升力也小，速度更快，不易受抛出但滞空时间相对较短。不同折法也会影响纸飞机飞行的距离。为了保持机身平衡，在折飞机时，可将机翼向上微折，尾部向上翘一点，这样飞行过程中，空气对纸飞机就会有一个向下的推力，进而能够更加平稳地飞行。同时，纸飞机的机翼面积越大，在空中飞行的浮力也越大，飞行的时间就更久。

参考文献：

[1]朱克勤.纸飞机.力学与实践，2010，3：134-135.

[2]梁庭源.纸飞机一样能远航.物理与人类文明，2019，5，20.

[3]纸飞机“空中之王”的制作与飞行.百度文库，2019，5，20.

课题：内蒙古自治区教育科学“十三五规划课题”数学建模推进高职院校教学课程教学改革的研究NZJGH2019159

作者简介：董晓红（1983—），女，内蒙古包头人，理学硕士，讲师，主要从事高等数学的教学与研究工作。