零质量Kirchhoff型方程基态解的存在性

李安然, 樊丹丹

(山西大学 数学科学学院, 山西 太原 030006)

Kirchhoff方程

是由 Kirchhoff[1]在非线性振动理论中首次提出的一类非局部问题,用来描述物理学中可伸缩绳横向振动所引起的长度变化的现象.它是经典D’Alembert 弹性弦自由振动波动方程的推广.自从Lions在1978年提出了这个问题的抽象框架之后,各类Kirchhoff型方程在大量的文献中得到了广泛的研究[2-11]. 特别地,文献[11]应用单调性技巧和变分方法得到了带有零质量Kirchhoff型方程正解的存在性.零质量椭圆问题是指在一般的Schrödinger方程

-Δu+V(x)u=g(x,u),x∈m(1)

中V(x)≡0.文献[12]应用变分方法研究如下形式的零质量椭圆问题:

其中m是自然数且m≥3,K满足条件:

(K1) 存在k0>0使得

K(x)≥k0,x∈m.

(K2) 存在一个正的连续周期函数Kp:m→,即

Kp(x+y)=Kp(x),x∈m,y∈m.

使得

(K3)K是一个几乎处处为正的函数,即,

{x∈m:K(x)≤0}=0.

(K4)K∈L∞(m),对每个m中具有有界Lebesgue测度的Borel集序列{En},对n∈一致有

(g3)D(s)=sg(s)-2G(s)关于|s|单调递增且D(0)=0.

当条件(K1)、(K2)、(g1)～(g3)或(K3)、(K4)、(g1)～(g3)分别成立时,式(2)有一个正基态解.

1 主要结果

式中:λ>0;1

(f3)H(s)=sf(s)-4F(s)关于|s|单调递增且H(0)=0,

(f4) 存在常数μ>4,使得

0<μF(s)≤f(s)s,s∈{0};

K满足文献[12]中的条件(K3)和(K4);a满足条件

(a1)a是几乎处处为正的函数,

主要结果是:

定理1 假设条件(f1)～(f3)、(K3)、(K4)、(a1)和(a2)成立,则对任意给定的λ>0,对每个q∈(4,6),式(3)有一个基态解;

注1 类似于文献[11-12,15],如果我们也要求f满足:当t≤0 时,f(t)=0,那么我们得到的式(3)的解也是正的.当q∈(1,4)时,式(3)是一类经典的凹凸非线性问题;当q>4时,式(3)在某种程度上可以看成经典临界问题的一个补充.

本文使用了以下约定和符号:

① 在大多数积分中,省略了符号“dx”;

③C,C1,C2,…表示正的常数;

④ 用un⇀u和un→u表示弱收敛和强收敛.

2 研究问题的变分框架

本文的主要工作空间:

D1,2(3):={u∈L6(3):|u|∈L2(3)}

是一个Hilbert空间,

是其相应的范数.记Iλ:D1,2(3)→是式(3)对应的能量泛函,其具体形式如下:

由条件(f1)、(a1)和(a2)可知在Iλ在D1,2(3)上有定义,Iλ∈C1(D1,2(3),),并且对任意的u,v∈D1,2(3),

3 定理1的证明

在本章中,证明在定理1的条件下,式(3)有一个基态解.首先,证明泛函Iλ满足山路几何结构,即引理1成立.

引理1 在定理1的条件下,泛函Iλ满足山路几何结构:

(ⅰ) 存在βλ,ρλ>0使得对所有满足‖u‖=ρλ的u∈D1,2(3),有Iλ(u)≥βλ;

(ⅱ) 存在eλ∈D1,2(3)满足‖eλ‖>ρλ,且Iλ(eλ)<0.

证明 由(f1)条件可知存在C>0,使得

又因为q∈(4,6),所以当‖u‖足够小时,Iλ(u)>0,即(ⅰ)成立.

取定u0∈D1,2(3){0}且u0(x)≥0,

显然当t→∞ 时,Iλ(tu0)→-∞,取充分大的tλ>0,使得‖tλu0‖>ρλ,且Iλ(tλu0)<0.(ⅱ)也成立.

因此,根据文献[16]可知,存在序列{un}∈D1,2(3)使得

式中,

这个序列被称为Iλ在cλ处的Cerami序列,简称(ce)cλ序列[17].

接下来证明上述(ce)cλ序列{un}是有界的.首先有

引理2 当t∈[0,1] 时,存在常数Mλ>0使得对每个n∈,都有Iλ(tun)≤Mλ.

证明 令tn∈[0,1]使得

因为K(x)>0,a.e.x∈3, (f3) 意味着0≤H(t)≤H(1),t∈[0,1].所以可以得到以下估计:

又因为当n→∞时,Iλ(un)→cλ,所以它是有界的.

其次可以证明

引理3 上述(ce)cλ序列{un}在D1,2(3)中有界.

证明 用反证法证明这个结论.假设{un} 在D1,2(3)中无界,即当n→∞ 时,‖un‖→∞.令

则‖wn‖=1,故存在w∈D1,2(3)使得wn⇀w.接下来用反证法证明w=0.令Ω∶={x∈3:w(x)≠0},假设|Ω|>0,将Iλ(un)除以‖un‖4可得

由条件(f2)和Fatou’s引理可知

这是一个矛盾, 因此w=0.

下面证明

(5)

由条件(f1)可知,对任意的ε>0,存在常数s0>0和Cε>0使得

|F(s)|≤ε|s|6+Cεχ{|s|≥s0}(s).(6)

令

Fn={x∈3:Awn≥s0},

则

其中C0>0且对所有的u∈D1,2(3)有

从而

由条件(K4)可知,对上述的ε>0,存在G>0,当r>G时,对任意的n∈一致有

即对任意给定的r>G, 对任意的n∈一致有

此外, 条件(f1) 也意味着

式中p∈[2,6).对上述给定的r>G,我们断言

事实上, 因为在D1,2(3)中wn⇀0,故在(3)中wn→0.即对上述的ε>0,存在N0>0 使得对每个n>N0,都有

因此由式(7)可知对每个n>N0,

因此

即式(5)成立.

故由式(4)可知,对每个给定的A>0,

当A足够大时,这与引理2矛盾,因此{un}有界.

定理1的证明 由引理3知{un} 有界,故存在u∈D1,2(3)使得un⇀u.要证明定理1,只需证明un→u,n→∞.

证明的关键是

和

首先证明式(8)成立.类似式(6),条件(f1)也意味着

定义

En={x∈3:un≥s0},

则

其中C1>0使得

因此,

从而由式(10)可知

条件(K4)意味着对上述的ε>0,存在G>0,当r>G时,对任意的n∈一致有

故

类似于式(7),条件(f1)意味着

其中p∈[2,6).下面证明对每个r>0,

为此,定义截断函数

其中δ∈+是充分小的数,M∈+是充分大的数.令

则

因此,

因此,

即式(12)成立.从而式(8)也成立.

接下来证明式(9)成立.由条件(f1)可知,存在C>0,使得

因为{un}在D1,2(3)中有界,所以{f(un)}在3)中有界.又因为在L6(3)中un⇀u,故存在子列(不妨仍记为{un})使得un(x)→u(x),a.e.x∈3,从而f(un(x))→f(u(x)), a.e.x∈3.进而可知在3)中f(un)⇀f(u).又因为K∈L∞(3),所以Ku∈L6(3),

即式(9)成立.

根据弱收敛的定义,条件(a1)和(a2)意味着

和

所以结合式(8)、式(9)、式(14)和式(15)可得

因为D1,2(3)是一个Hilbert空间,所以在D1,2(3)中un→u.进而u是式(3)的一个非平凡弱解.此外,根据文献[17],条件(f3)和q>4意味着

因此,u是式(3)的一个基态解.

4 定理2的证明

此时f满足条件(f1)和(f4),q∈(1,4],λ∈+是一个足够小的正数.首先,证明泛函Iλ满足山路几何结构,即引理4成立.

引理4 存在λq>0使得对每个λ∈(0,λq),

(ⅱ) 存在e∈D1,2(3),使得‖e‖>ρ且Iλ(e)<0.

证明 (ⅰ) 由Sobolev不等式和条件(f1)可知

当t→∞ 时,Iλ(tu0)→-∞.故可取T0>0使得‖T0u0‖>ρ且Iλ(T0u0)<0.

当λ∈(0,λq)时,应用山路定理[18]可知,存在一个序列{un}∈D1,2(3)使得

式中,

这个序列被称为Iλ在能量水平cλ处的Palais-Smale序列,简称(PS)cλ序列.

引理5 (PS)cλ序列{un} 在D1,2(3)中有界.

当q∈(1,4) 时,很明显有{un}在D1,2(3)中有界,当q=4 时,选取同样可得{un}在D1,2(3)中有界.

定理2的证明

记

un→u,n→∞.

事实上,因为式(8)、式(9)、式(14)和式(15)成立,所以类似地可以证明

因此在D1,2(3)中un→u.继而u是式(3)的一个非平凡弱解.

也就是说{un} 是泛函Iλ的一个(PS)mλ序列.重复引理5的证明可得{un}是有界的,进而类似上述可以证明Iλ满足(PS)mλ条件,可知存在u∈D1,2(3)满足:Iλ(u)=mλ和即当时,式(3)有一个基态解.

5 结 论

本文利用变分方法和山路定理分别研究q和拟临界增长的连续函数f在2种情况下的零质量Kirchhoff型方程基态解的存在性.当q∈(4,6)时,我们用一般的方法证明了式(3)基态解的存在性,当q∈(1,4]时,我们通过构造基态能量的Palais-Smale序列,证明了式(3)基态解的存在性.