指数有界双连续n阶α次积分C群的次生成元及其性质

周 阳，赵华新，周裕然

(延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000)

算子半群的生成理论是算子半群的重要内容之一，许多学者对此作了大量的研究工作。文献[1-11]分别对局部有界双连续n次积分C半群、n阶α次积分C半群、指数有界双连续n次积分C半群、双参数n阶α次积分C半群以及指数有界双连续α次积分C半群等半群的概念、生成元、预解集、逼近及其相关性质进行了研究。基于上述文献，本文提出了指数有界双连续n阶α次积分C群的定义，并研究了其次生成元的一些性质。

1 预备知识

在本文中，X为无限维的复Banach空间，B(X)是X上有界线性算子全体所成的Banach代数，

D(A)为线性算子A的定义域，设n∈N，α≥0。

T=0当且仅当存在n≥0，使JnT(t)=0，t≥0。

定义3[1]算子族{T(t)}t≥0⊆B(X)称为指数有界的，如果存在M≥0，ω∈R使T(t)≤Meωt，∀t≥0成立。

2 主要结果

定义4 设n∈N，α≥0，C∈B(X)是单射，算子族{T(t):∀t∈R}⊆B(X)被称为指数有界双连续n阶α次积分C群，则以下条件成立：

(2)存在闭线性算子A，满足

∀x∈X,t∈R,JnT(t)∈D(A),

∀x∈D(A),t∈R,

(3){T(t):∀t∈R}⊆B(X)τ连续，即对每个x∈X映射(t→T(t)x)τ连续；

(5)存在M≥0，ω∈R使T(t)≤Meωt，

∀t≥0。

称A是{T(t)：∀t∈R}⊆B(X)的次生成元，把Gτ(M,ω,C,t)记成为X内的所有指数有界双连续n阶α次积分C群。

T(t)是指数有界双连续n阶α次积分C半群，次生成元是A；当t≤0，T(-t)也是指数有界双连续n阶α次积分C半群，次生成元是-A。

当t≥0时，把T(t)记作T1(t)，下面验证T1(t)是指数有界双连续n阶α次积分C半群，次生成元是A。

CT1(t)=CT(t)=T(t)C=T1(t)C；

(2)任意x∈X，t≥0，有

(3)任意x∈D(A),t≥0,有

JnT(t)Ax=JnT1(t)Ax。

所以T1(t)是指数有界双连续n阶α次积分C半群，次生成元是A。

当t≤0时，把T(t)记作T2(t)，设T2(t)=T(-t)，下面验证T2(t)是指数有界双连续n阶α次积分C半群，次生成元是-A。

T2(t)C=T(-t)C=CT(-t)=CT2(t)；

(2)任意x∈X,t≥0，有

AJnT(-t)x=AJnT2(t)x=-AJnT2(u)x,

t=-u；

(3)任意x∈D(A)，t≥0，有

JnT(-t)Ax=JnT2(t)Ax=

-JnT2(u)Ax=JnT2(u)(-A)x,

t=-u。

所以T2(t)是指数有界双连续n阶α次积分C半群，次生成元是-A。

定理得证。

由定理1知当t≥0时，把T(t)记作T1(t)，

T1(t)是指数有界双连续n阶α次积分C半群，次生成元是A，则

任意x∈X,t,s≥0，有

AJnT(s)T(t)x=AJnT(t)T(s)x=

AJnT1(t)T1(s)x=AJnT1(s)T1(t)x。

任意x∈D(A),t,s≥0，有

JnT(s)T(t)Ax=JnT(t)T(s)Ax=

JnT1(t)T1(s)Ax=JnT1(s)T1(t)Ax。

则AJnT(s)T(t)x=AJnT(t)T(s)x=

AJnT1(t)T1(s)x=AJnT1(s)T1(t)x=

JnT(s)T(t)Ax=JnT(t)T(s)Ax=

JnT1(t)T1(s)Ax=JnT1(s)T1(t)Ax。

由指数有界双连续n阶α次积分C半群的定义知，对任意x∈D(A)，有

(1)T1(t)x=T(t)x∈D(A)；

(2)AT1(t)x=AT(t)x=T(t)Ax=T1(t)Ax，

∀t≥0。

当t≤0时，把T(t)记作T2(t)，设T2(t)=T(-t)，T2(t)是指数有界双连续n阶α次积分C半群，次生成元是-A。

任意x∈X,t,s≤0，有

AJnT(-s)T(-t)x=AJnT(-t)T(-s)x=

AJnT2(t)T2(s)x=AJnT2(s)T2(t)x=

AJnT2(u)T2(t)x,

s=-u。

任意x∈D(A),t,s≤0，有

JnT(-s)T(-t)Ax=JnT(-t)T(-s)Ax=

JnT2(t)T2(s)Ax=JnT2(s)T2(t)Ax=

JnT2(t)T2(u)(-A)x=

JnT2(u)T2(t)(-A)x,

s=-u。

则AJnT(-s)T(-t)x=AJnT(-t)T(-s)x=

AJnT2(t)T2(s)x=AJnT2(s)T2(t)x=

AJnT2(t)T2(s)x=AJnT2(s)T2(t)x=

-AJnT2(u)T2(t)x=JnT(-s)T(-t)Ax=

JnT(-t)T(-s)Ax=JnT2(t)T2(s)Ax=

JnT2(s)T2(t)Ax=JnT2(t)T2(u)(-A)x=

JnT2(u)T2(t)(-A)x。

由指数有界双连续n阶α次积分C半群的定义知，对任意x∈D(A)，有

(1)T2(t)x=T(-t)x∈D(-A)；

(2)(-A)T2(t)x=(-A)T(-t)x=

T(-t)(-A)x=T2(t)(-A)x，∀t≤0。

定理得证。