2020年高考全国Ⅰ卷解析几何题的探究与推广

广东省湛江一中培才学校(524037) 魏 欣

解析几何是“以代数方法研究几何问题”,教学中要注意代数运算与几何直观的相互为用.因为研究对象是几何图形,所以把握所研究对象的几何特征、明确面临的几何问题.教学中一定要注意“先用几何眼光观察,再用坐标法推理、论证和求解”的基本思路.

圆锥曲线的定点、定值和定直线等探索性问题历来是高考命题中的一个热点,此类问题往往蕴含具有代表性、引申性的数学知识、性质.

2020年高考全国Ⅰ卷解析几何题,以椭圆、数量积为背景,主要考查用基本量求曲线方程,直线与椭圆的位置关系以及直线方程、直线过定点问题,很好的体现了对直线与椭圆的核心内容和基本思想方法的考查.同时,考查学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养,考查考生的推理论证能力与运算求解能力,体现试题的区分功能与选拔功能.这就需要我们进一步去揭示问题的本质特征,挖掘其潜在的价值和功能.本文对其进行多角度多方法的解答与分析,通过与教材习题对比、与往年高考试题对比,力求找到命制此题的素材,希望通过加强对高考命题的研究,为师生复习备考指明方向,提高教学质量.

一、经典试题展示

高考真题(2020年高考全国Ⅰ卷理科第20 题,文科第21 题)已知A,B分别为椭圆E:+y2=1(a＞1)的左、右顶点,G为E的上顶点,=8,P为直线x=6 上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.

(1)求椭圆E的方程；

(2)证明：直线CD过定点.

点评第(1)问根据向量的数量积求出椭圆的方程,多数学生都能完成,第(2)问是个探索性问题,重点考查用坐标法研究圆锥曲线中的定点问题,考查数形结合、函数方程、分类讨论等基本数学思想,同时考查综合运用所学数学知识分析问题和解决问题的能力,考查学生的逻辑推理、直观想象、数学运算、数学抽象等数学核心素养.本题的呈现形式“平易近人”,是定点问题,但本题的解决过程却充分体现了坐标法的思想,可以将几何关系式转化为坐标代数关系式,然后再用坐标法来处理.本题看起来很平常,实际上却背景丰富,有一定难度和区分度,也有很大的教学价值和研究空间,下面重点从多角度研究其解法和相关结论与性质.

二、多角度的解法探究

(1)如图1所示,由题意,A(-a,0),B(a,0),G(0,1),所以=(a,1),=(a,-1),=a2-1=8,解得a=3,所以椭圆E的方程为+y2=1.

图1

点评此问题是人教A 版选修2-1 第41 页的例题3,也涉及椭圆的第三定义问题.教科书中的例题与习题帮助学生深入理解圆锥曲线的几何特征,熟练运用坐标法研究圆锥曲线的性质以及它们的位置关系,并能解决有一定综合性的问题,通过解题感悟解析几何中隐含的数学思想.

平时注重一题多解、一题多变的训练是解决此类问题的好帮手.一题多解有利于提高学生思维的发散性、灵活性,能激发学生的学习兴趣,对于学生从不同角度、不同侧面去分析问题、解决问题,调动解题积极性,培养发展思维,创造性品质都有着重要的意义.下面从多维度剖析第(2)问.

视角一：从点切入

方法一(单刀直入,细心运算)依题意可设点P(6,m),则直线PA的方程为联立得(9+m2)x2+6m2x+9m2-81=0,由韦达定理有-3xC=即xC=将其代入直线的方程,可得PA,所以

易知直线PB的方程为y=联立得(1+m2)x2-6m2x+9m2-9=0.由韦达定理有3xD=即将其代入直线PB的方程,可得yD=即

当m=±时,xC=xD=此时直线CD的方程为x=即直线CD过定点当m≠±时,直线CD的斜率为

进而直线CD的方程为y-=化简得所以直线CD过定点

综上,直线CD过定点

点评在上面的解法中,我们利用C,D既在直线上又在椭圆上,得到C,D的坐标所满足的方程,解出C,D的坐标(用m表示),然后再写出直线CD的方程,经过相对复杂的运算可以完成定点的证明.此法虽然思路自然,但对学生的意志品质、数学运算素养都有较高的要求.

视角二：尝试设线

方法二(设而不求,自然流露) 设直线CD的方程为x=ty+n,-3＜n＜3,设C(x1,y1),D(x2,y2),点P(6,m).联立得(9+t2)y2+2tny+n2-9=0.由韦达定理有y1+y2=由A,C,P三点共线,可得

由D,B,P三点共线,可得

由①式和②式,可得3y1(x2-3)=y2(x1+3),所以3y1y2(x2-3)=y22(x1+3).

又y22=所以(x1+3)(x2+3)+27y1y2=0,即

利用上述韦达定理的结论,得到

解得n=或n=3(舍).

综上,直线CD过定点

点评此法的关键在于方程3y1(x2-3)=y2(x1+3)的两边乘以y2,然后再将得到的方程右边的y22整体代换掉,得到了关于y1+y2,y1y2,n的方程,再通过少量的运算便得到了定点.

视角三：恒等变换

方法三(三角变换,多想少算)除了上述设点的方法,我们还可以利用椭圆的参数方程,引参设点,借助三角恒等变换证得定点,具体过程如下：

设点P(6,m),则直线PA的方程为y=(x+3),直线PB的方程为y=(x-3),设C(3 cosα,sinα),D(3 cosβ,sinβ),由A,C,P三点共线,可得3 cosα+3=9 sinα,即tan同理,由D,B,P三点共线,可得又直线CD的方程为

令y=0,可得

综上,直线CD过定点

点评利用椭圆的参数方程,引参设点,借助三角恒等变换证得定点,大大简化了运算,但该解题思路考生不容易想到,是优化后的解法.

视角四：仿射变换

我们知道圆与椭圆有着“千丝万缕”的联系,在仿射变换下椭圆与圆可以实现“互化”.由于圆有着许多重要的性质,且在射影几何中起着举足轻重的作用,一个很自然的想法便是我们可否借助圆的基本性质(直径所对的圆周角是直角)这个“根”来发椭圆的相关问题这个“芽”呢?

方法四(伸缩变换,化椭圆为圆)

图2

点评通过伸缩变换,将问题放置于单位圆中处理,将定点问题转化为线段比值,借助于梅涅劳斯定理和圆幂定理,顺利解题,方法巧妙自然,对学生平面几何要求较高,但不失为一个好方法.

方法五(平移坐标系,齐次化变换) 以A为原点,AB所在直线为x′轴建立新平面直角坐标系x′Ay′,则椭圆方程变为即x′2+9y′2-6x′=0,在新坐标系下设直线CD的方程为mx′+ny′=1,于是x′2+9y′2-6x′(mx′+ny′)=0,整理得由韦达定理得kAC ·kAD=解得m=于是直线CD的方程为+ny′=1,过定点故在原坐标系下过定点

点评上述解法可谓是“大道至简”,利用了过原点直线的斜率的简洁特性,也展现了截距式直线方程在解题中的妙用,大大降低了运算,揭示了几何问题的本质,同时也促进了学生直观想象素养的发展.

方法六(熟用结论,优美化简)设C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t),因为A(-3,0),B(3,0),所以

由(1),(2)得

同理

由(4),(5)得

淮山中含有丰富的多糖、蛋白质、尿囊素和胆碱等多种生物活性物质，具有调节免疫、抗氧化、抗衰老、降血糖等功效。

又CD的方程为化简得y=亦即故直线CD过定点

点评这种解法是利用了课本结论：kAC ·kBC=整体代入消元,大大化简了运算.

三、教材寻根,探究结论

高考题的命题有些是来源于教材,但往往又高于教材,因而我们的课堂教学需要回归教材,扎根教材,根深才能叶茂,源远方能流长.2020年高考全国Ⅰ卷解析几何题第(1)问来源于人教A 版选修2-1 第41 页的例3.

题目(人教A 版选修2-1 第41 页的例3) 已知A(-5,0)、B(5,0),直线AC,CB的斜率之积是求点C的轨迹方程.

分析点C的轨迹方程为可以逆向变式如下：

变式已知A(-5,0)、B(5,0)是椭圆的左右顶点,点C是椭圆上异于A,B的动点,求证：kCA·kCB为定值.

分析设点C(x,y),则从而y2=所以kCA ·kCB==

结论1已知A,B是椭圆=1(a＞b＞0)的左右项点,点C是椭圆上异于A,B的动点,则kCA·kCB=

证明如图3,设C(x,y),A(-a,0),B(a,0),kCA=

代入前式得kCA·kCB=

图3

图4

结论2已知A,B是上双曲线=1(a＞0,b＞0) 的左右项点,点C是双曲线上异于A,B的动点,则kCA·kCB=

结论3已知A,B是椭圆=1(a＞b＞0)上关于原点对称的两个动点,点C是椭圆上异于A,B的动点,则kCA·kCB=

证明如图4,设C(x,y),A(x0,y0),P(-x0,-y0),则故即所以kCA · kCB==

结论4已知A,B是双曲线=1(a＞0,b＞0)上关于原点对称的两个动点,点C是椭圆上异于A,B的动点,则kCA·kCB=

四、深化认识,性质研究

椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线,三者之间有很多可类比的性质,体现了圆锥曲线的内在统一.下面主要是对第(2)问进行探究,得出如下圆锥曲线的三个性质.

性质1已知A,B分别是椭圆E:=1(a＞b＞0)的左、右顶点,不过坐标原点O的动直线CD与E交于C,D两点,若直线AC与BD相交于点P,则交点P在x=(|m|＜a,m≠0)上的充要条件是直线CD恒过定点(m,0).

特别地,当m=±c,则交点P在右(左)准线上的充要条件是直线CD恒过椭圆右(左)焦点.

证明先证明充分性.设C(x1,y1),D(x2,y2),A(-a,0),B(a,0),由结论1 得kCA·kCB=即=

设直线l:x=ty+m,代入椭圆方程+=1 得(a2+t2b2)y2+2tmb2y+(m2-a2)b2=0,则y1+y2=因此ty1y2=

直线AC的方程为y=(x+a),直线BD的方程为y=(x-a),AC与BD相交于点P,故即因为

所以x=

再证明必要性.(1) 当直线CD斜率不存在时,设CD:x=x0,设C(x0,y0),D(x0,-y0)(y0≠0),直线AC的方程为y=直 线BD的 方程为y=(x-a),AC与BD相交于点P,故解得x0=m.直线CD过定点(m,0).

(2)当直线CD斜率存在时,设直线CD的方程为y=kx+t,C(x1,y1),D(x2,y2),联立直线CD与椭圆方程消去y得,(a2k2+b2)x2+2a2ktx+a2t2-a2b2=0,由韦达定理得

直线AC的方程为y=(x+a),直线BD的方程为AC与BD相交于点P,故即两边平方得代入椭圆方程化简得(m2+a2)(x1+x2)-2mx1x2=2a2m,代入韦达定理结果得=2a2m,化简为(t+mk)tm+a2k=0,所以t=-mk或t=当t=-mk时,直线CD的方程为y=k(x-m),此时直线CD过定点(m,0)；当t=时,直线CD的方程为y=此时直线CD过定点不满足题意,舍去.综上直线CD过定点(m,0).

性质2已知A,B分别是双曲线E:=1(a＞0,b＞0) 的左、右顶点,不过坐标原点O的动直线CD与E交于C,D两点,若直线AC与BD相交于点P,则交点P在x=上的充要条件是直线CD恒过定点(m,0).

特别地,当m=±c,则交点P在右(左)准线上的充要条件是直线CD恒过双曲线右(左)焦点.

性质2 的证明类似性质1 的证明,此处不再赘证.

性质3已知点O为抛物线E:y2=2px(p＞0)的顶点,不过坐标原点O的动直线CD与E交于C,D两点,若过点C且平行于对称轴(x轴)的直线与直线OD相交,则交点在定直线x=-m(m≠0)上的充要条件是直线CD过定点(m,0).

特别地,当m=则交点P在准线x=上的充要条件是直线CD恒过抛物线焦点

证明先证明充分性.设C(x1,y1),D(x2,y2),CD直线方程为x=ty+n,联立y2=2px得y2-2pty-2pn=0,y1y2=-2pn,由P,A,D三点共线,则

化简为y1y2=-2pm,又y1y2=-2pn,所以n=m,即直线CD方程为x=ty+m,该直线过定点(m,0).

再证明必要性.设C(x1,y1),D(x2,y2),CD直线方程为x=ny+m,联立y2=2px得y2-2pny-2pm=0,Δ＞0,pn2+2m＞0,y1y2=-2pm,联立直线CP、PA方程解得又y1y2=-2pm,所以xP=-m,故动点P在定直线x=-m上.

五、回顾真题,应用性质结论

由以上性质结论不难发现,在2019 全国ⅠⅠ卷理科第21题、2013 全国大纲卷理科第8 题、2016 山东卷理科第21 题、2010年高考江苏卷18 题、2010年高考全国Ⅰ卷理第21 题、2013年全国高中数学竞赛、2016年全国高中数学联赛福建预赛,2012年全国高中数学联赛贵州预赛,2008年全国高中数学联赛辽宁预赛节选,也均可以应用以上圆锥曲线的性质结论,体现了高考和竞赛试题“常考常新,推陈出新”的理念.均可以用上述的通性通法来解答,由于篇幅关系,此处之作简析.

例1(2019 全国ⅠⅠ卷理科第21 题节选)过坐标原点的直线交曲线C:=1 于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连结QE并延长交C于点G.证明：ΔPQG是直角三角形.

图5

证明如图5,设G(x,y),P(x0,y0),Q(-x0,-y0),E(x0,0),由结论3 得kGP · kGQ=又因为kGQ=kEQ=所以kGP=因此kGP ·kPQ==-1,所以GP⊥PQ,所以ΔPQG是直角三角形.

例2(2013 全国大纲卷理科第8 题)椭圆C:=1 的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1斜率的取值范围是( ).

解析由结论1 得kPA1· kPA2=故因为故选B.

例3(2016 山东卷理科第21 题节选)已知以A,B为左右两个顶点的椭圆标准方程是=1,若P是直线x=4 上且不在x轴上任意一点,直线PA,PB与椭圆的另一个交点分别是M,N,证明直线MN过定点．

简证由性质1 得直线MN过定点椭圆的右焦点(1,0).

例4(2010年高考江苏卷18 题节选)在平面直角坐标系xoy中,如图6,已知椭圆=1 的左、右顶点为A,B,右焦点为F.设过点T(t,n)的直线TA,TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2),其中t＞0,y1＞0,y2＜0.设t=9,求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与t无关).

图6

简证由性质1 得,a2=9,t=9,T(9,n),设定点为D(m,0),则定直线t=所以=t,即=9,所以m=1.所以直线MN必过x轴上的一定点D(1,0).

例5(2010年高考全国Ⅰ卷理第21 题节选)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点K(-1,0)的直线l与C相交于A、B两点,点A关于x轴的对称点为D.证明：点F在直线BD上.

简证由性质3 得,直线BD必过抛物线的焦点F(1,0).

例6(2013年全国高中数学竞赛节选) 已知椭圆的离心率为且过点D(2,1).点A、B分别为C的左、右顶点,过点Q(2,0)的直线与椭圆C交于E、F两点,AE与直线x=3 交于点M,试判断F,B,M三点是否共线,并证明你的结论.

简析由性质1 得,a2=6,b2=3,m=2,即可得F,B,M三点共线.

例7(2016年全国高中数学联赛福建预赛节选) 已知椭圆C的离心率e=长轴的左右端点分别为A1(-2,0),A2(2,0).设直线x=my+1 与椭圆C交于P,Q两点,直线A1P与A2Q交于点S,试问：当m变化时,点S是否恒在一条定直线上?若是,请写出这条直线方程,并证明你的结论；若不是,请说明理由.

简析如图7,由性质1 得,a2=4,b2=1,直线x=my+1 过定点(1,0),当m变化时,点S是恒在一条定直线x=4 上.

图7

图8

例8(2012年全国高中数学联赛贵州预赛)如图,已知A、B是椭圆(a＞b＞0)的左、右顶点,P、Q是该椭圆上不同于顶点的两点,且直线AP与QB、PB与AQ分别交于点M、N.证明：若弦PQ过椭圆的右焦点F2,求直线MN的方程.

简析如图8,由性质1 得,m=c,即可得直线MN是右准线x=

例9(2008年全国高中数学联赛辽宁预赛节选) 已知椭圆=1(a＞b＞0) 的左顶点为A,右焦点为F(c,0),且2b、a、c成等比数列.过点F的直线与椭圆相交于M、N两点,直线AM、AN分别与右准线l相交于P、Q两点,求证：为定值.

简析由性质1 得kFP kFQ==-1,便可顺利得证=0.

六、备考建议

1.要掌握圆锥曲线核心概念.

根据圆锥曲线的方程,a,b,c,p,e等是决定圆锥曲线性质的关键量.圆锥曲线的焦点、顶点、轴、准线、弦及其中点、切线、焦距、长(短)轴的长、焦半径、面积、内接图形(特别是内接三角形、内截矩形等)、角(与焦点、中心等相关)等以及它们之间的相互关系,都可以用这些不变量来表示.对此展开一番研究,能极大地提升学生对圆锥曲线的认识水平.解题过程,先是把握圆锥曲线的基本要素、不变量,然后从“相互关系”“相互转化”等角度发现和提出问题、获得性质,然后再通过逻辑推理证明其正确性.在发现曲线性质的过程中,运算、距离、角度、斜率、不变量等核心概念提供了基本思路和方法.综合与联系的目光要聚焦在核心概念上,目的在于促使学生从整体上更好地把握圆锥曲线.

2.解析几何的核心方法是用代数的方法研究几何问题.

在解题过程中,首先要将文字信息、图形条件进行转换,通过代数语言描述几何要素及其关系,将已知的几何条件表示成代数式,然后进行适当的代数运算得出代数结果,最后通过分析代数结果的几何含义解决几何问题.在这个过程中要经历文字信息、图形特征和符号语言之问的多重转换,因此,我们必须重视对几何关系的深入研究,探究用何种代数形式能恰当表示题目中的几何关系,同时有利于代数运算,从而形成正确的解题策略.

3.重视解析几何的运算教学.

解析几何的学习对运算能力的要求颇高.鉴于当前学生运算技能水平不高的实际状况,为了使学生更好地把握坐标法的基本思想,控制代数运算的难度和技巧是必须的.但必要的运算是不可避免的,这是由解析几何的学科特点决定的.关键是要把握解析几何中运算的特点.解析几何中的运算是建立在几何背景下的代数运算,所以先用几何眼光观察,分析清楚几何图形的要素及其基本关系,再用代数语言表达,而且在运算过程中时刻注意利用图形的几何特征及图形间的关系来简化运算,这是解析几何教学中突破运算难点的关键举措.解析几何教学中,提高运算能力不能仅仅从代数角度入手,还要努力提高学生的几何图形分析能力,也就是要在落实数形结合思想上下功夫.

4.充分发挥历年高考题的教学功能.

首先教师所选择的历年高考题要有典型性,课堂上通过历年高考题的教学,要能辐射到多种思想方法,或能起到构建知识框架的作用,或能揭示一般性的解题策略等等,从而达到教学效果的最大化,是解题教学的理想境界.

5.重视教科书中的例题与习题.

教科书中的例题深入理解圆锥曲线的几何特征,熟练运用坐标法研究圆锥曲线的性质以及它们的位置关系,并能解决有一定综合性的问题,通过解题感悟解析几何中萄含的数学思想.具体的题目主要是研究圆锥曲线的性质.教学中应注意这些题目的的教学功能,使学生认识到认真解答这些题目的重要性,必要时可以对有关题目进行适当的变式拓展、一题多解、构建思想方法、还原知识体系等等.

6.加强解题后反思,进一步发展思维和提升能力.

圆锥曲线的定点、定值和定直线等探索性问题历来是高考命题中的一个热点,此类问题往往蕴含具有代表性、引申性的数学知识、性质.由一个问题往往能引申出多个结论.它的延伸、推广,可以呈现出丰富多彩的数学内容.因此,在平常备考时,我们要有意加强对圆锥曲线性质的推导与证明,注重对历年高考题进行适当的发散研究,可以让达到深化认识、举一反三的目的,使得我们在高考中就能快速作答.