2020年高考全国Ⅰ卷解析几何试题分析及备考建议

广州市第十六中学 郭施敏

一、2020年全国Ⅰ卷解析几何试题分布概览

科分难别题型及题号值考查内容度选择题6 5直线与圆的位置关系、弦长问题易文选择题11 5双曲线的定义、焦点三角形问题中全科(1)椭圆几何性质及其与向量的综合应用中国解答题21 12(2)直线与椭圆位置关系、定点问题难Ⅰ选择题4 5直线与抛物线的位置关系,求焦参数易卷理选择题11 5直线与圆、圆与圆的位置关系,圆的几何性质中科选择题15 5双曲线的几何性质,双曲线的离心率易(1)椭圆几何性质与向量的综合应用中解答题20 12(2)直线与椭圆位置关系、定点问题难

2020年全国Ⅰ卷理科解析几何试题分值为27 分,题型设定为三道客观题,一道解答题；文科解析几何试题分值为22 分,题型设定为两道客观题,一道解答题.文理科的解答题设定为同一试题并且分值一致,或许是在为2021年更进一步的高考改革做铺垫.

二、2020年高考全国Ⅰ卷解析几何客观题解析

题目1(全国Ⅰ卷文科第6 题)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )

A.1 B.2 C.3 D.4

分析从几何角度分析,圆中弦长公式为l=其中d表述弦的圆心的距离.解题思路是：要求lmin,只需求dmax.由上述分析可知,当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时,所对应的弦长最短,即可得出结论.

解答把圆的一般方程x2+y2-6x=0 化为标准方程(x-3)2+y2=32,可知：圆心C坐标为C(3,0),半径为3；设P(1,2),当过点P的直线和直线CP垂直时,圆心到过点P的直线的距离最大,所求的弦长最短,此时根据弦长公式得最小值为故选B.

本题考查圆与直线的位置关系以及几何法求圆中弦长,属于基础题.

题目2(全国Ⅰ卷文科第11 题) 设F1,F2是双曲线C:x2-=1 的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则ΔPF1F2的面积为( )

分析由ΔF1F2P是以P为直角顶点的直角三角形得到|PF1|2+|PF2|2=16,再利用双曲线的定义得到||PF1|-|PF2||=2,联立即可得到|PF1||PF2|,代入中计算即可.

解答由已知,不妨设F1(-2,0),F2(2,0),则a=1,c=2,因为|OP|=2=所以点P在以F1F2为直径的圆上,即ΔF1F2P是以P为直角顶点的直角三角形,故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2=16,又||PF1|-|PF2||=2a=2,所以4=||PF1|-|PF2||2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=16-2|PF1||PF2|,解得|PF1||PF2|=6,所以SΔF1F2P=故选：B.

本题考查双曲线的定义及双曲线中焦点三角形的问题,考查学生的平面几何知识的应用和数学运算的能力,属于中档题.

题目3(全国Ⅰ卷理科第4 题) 已知A为抛物线C:y2=2px(p＞0) 上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=( )

A.2 B.3 C.6 D.9

解答设点A的坐标为(x,y),由点A到y轴的距离为9可得x=9,由点A到C焦点的距离为12,可得x+=12,解得p=6.故选C.

题目4(全国Ⅰ卷理科第11 题)已知⊙M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点,过点P作⊙M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为( )

A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0

C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0

分析由题意可判断直线与圆相离,根据圆的知识可知,四点A,P,B,M共圆,且AB⊥MP,根据|PM|·|AB|=4SΔPAM=4|PA|可知,当直线MP⊥l时,|PM|·|AB|最小,求出以MP为直径的圆的方程,根据圆系的知识即可求出直线AB的方程.

解答圆的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=4,点M到直线l的距离为所以直线l与圆相离.依圆的知识可知,四点A,P,B,M四点共圆,且AB⊥MP,所以

而|PA|=当直线MP⊥l时,|MP|min=|PA|min=1,此时|PM|·|AB|最小.所以MP:y-1=即由解得x=-1,y=0.所以以MP为直径的圆的方程为(x-1)(x+1)+y(y-1)=0,即x2+y2-y-1=0,两圆的方程两端分别相减可得：2x+y+1=0,即为直线AB的方程,故选D.

本题主要考查直线与圆,圆与圆的位置关系的应用以及圆的几何性质的应用,考查学生的问题等价转化能力和数学运算能力,属于中档题.

题目5(全国Ⅰ卷理科第15 题) 已知F为双曲线的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为____.

分析根据双曲线的几何性质可知,|BF|=|yB|,|AF|=c-a,即可根据斜率列出等式求解即可.

解答设B(c,yB),yB=所以|BF|=依题可得,=3,|AF|=c-a,即变形得c+a=3a,c=2a,因此,双曲线C的离心率为2,故答案为2.

三、2020年高考全国Ⅰ卷解析几何解答题解析

题目6(全国Ⅰ卷文科第21 题、理科第20 题)已知A、B分别为椭圆(a＞1)的左、右顶点,G为E的上顶点,P为直线x=6 上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.

(1)求E的方程；

(2)证明：直线CD过定点.

1 考点分析

第一问主要考查椭圆的几何性质及向量内积的运算.具体考点如下：

图1

(2)考查考生能否选择恰当的方式处理=8,从而求得a.

第二问着重考查了直线与椭圆的位置关系与动直线的不动点问题(定点问题).具体考点如下：

(1)考查考生能否选择恰当的方式把几何条件“P、A、C和P、B、D分别三点共线”代数化；

(2)考查考生能否把几何条件“直线AC和直线BD分别与椭圆相交”代数化；

(3)考查考生能否把几何问题“动直线CD过定点”代数化.

2 试题解析

第(1)问解法1由题设得A(-a,0),B(a,0),G(0,1).则=(a,1),=(a,-1).由=8,得a2-1=8,即a=3,所以E的方程为+y2=1.

第(1)问解法2由题设得由得所以得a2+1+a2+1+16=4a2,即a=3,所以E的方程为+y2=1.

第(1)问解法3由题设得由得

第(1)问解法4由题设得由得则

得a2-1=8,即a=3,所以E的方程为

第(2)问解法1如图1,设C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t).若t≠ 0,设直线CD的方程为x=my+n,由题意可知-3＜n＜3.将x=my+n代入+y2=1 中,得(m2+9)y2+2mny+n2-9=0,所以

由于直线PA的方程为y=(x+3),所以y1=(x1+3).直线PB的方程为y=(x-3),所以y2=(x2-3).可得3y1(x2-3)=y2(x1+3).

解得n=-3(舍去) 或n=故直线CD的方程为即直线CD过定点若t=0,则直线CD的方程为y=0,过点

综上所述,直线CD过定点

第(2)问解法1′(思路同解法1)同解法1得3y1(x2-3)=y2(x1+3).由于故=可得3y1y2=-(x1-3)(x2-3),即(3+m2)y1y2+m(n-3)(y1+y2)+(n-3)2=0.将解法1 中①式代入上式得

解得n=3(舍去)或n=其余同解法1.

第(2)问解法2设C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t).若直线CD的斜率存在,设直线CD的方程为y=kx+m,代入中,得(1+9k2)x2+18kmx+9m2-9=0,所以Δ=36(9k2+1-m2)＞0,m2＜9k2+1,

由于直线PA的方程为y=(x+3),所以y1=(x1+3).直线PB的方程为y=(x-3),所以y2=(x2-3).可得3y1(x2-3)=y2(x1+3).

将①代入②式得：2m2+15km+18k2=0.解得m=-6k(舍去) 或m=故直线CD的方程为即直线CD过定点若直线CD的斜率不存在,则直线CD的方程为x=过点

综上所述,直线CD过定点

第(2)问解法3设C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t).由于直线PA的方程为y=(x+3),代入+y2=1,得(9+t2)x2+6t2x+9t2-81=0,则-3x1=所以

直线PB的方程为y=(x-3),代入得(1+t2)x2-6t2x+9t2-9=0,则3x2=所以所以kCD==直线CD的方程为可整理为所以当时,直线CD过定点当t=时,点C,D的坐标为或直线CD为x=过定点

综上所述,直线CD过定点

第(2)问解法3′(思路同解法3) 直线PA的方程为直线PB的方程为y=k2(x-3),因为所以k2=3k1,直线CD的方程为

第(2)问解法3′′(思路同解法3) 直线PA的方程为x=m1y-3,直线PB的方程为x=m2y+3,因为所以m1=3m2,直线CD的方程为

第(2)问解法4第一部分同解法3 得到：由椭圆的对称性知,直线CD的定点必在x轴上,设Q(m,0).则又所以即t(3-2m)(t2+3)=0,当t/0 时,m=故直线CD过定点当t=0 时,直线CD过点

综上所述,直线CD过定点

第(2)问解法5设C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t).由A,C,P三点共线,得则所以由D,B,P三点共线,得则所以

由椭圆的对称性知,直线CD恒过的定点在x轴上,设Q(m,0),则又所以

即t[3(λ+µ)+m(λ-µ)]=0,当t≠ 0 时,上 式化 为3(λ+µ)+m(λ-µ)=0,因为点C,D在椭圆上,所以得即µ=-3λ.所以-6λ+4mλ=0.所以m=故直线CD过定点当t=0 时,直线CD过点

综上所述,直线CD过定点

第(2)问解法6当t≠ 0 时,设P(6,t),设直线CD的方程为x=my+n,设直线PA的方程为x=m1y-3,直线PB的方程为x=m2y+3,则得所以m1=3m2.下面的PA,PB,AB,CD构成曲线方程：(x-m1y+3)(x-m2y-3)+λy(x-my-n)=整理得代入m1=3m2,得6m2-4m2n=0,所以n=故直线CD的方程为x=my+过定点当t=0 时,直线CD过定点

综上所述,直线CD过定点

试题评析

本题共两个问题.第一问考查的是教科书的平面向量与椭圆的基本知识和基本技能.详细内容见人教版《必修4》第二章平面向量中的“2.3 平面向量的基本定理及坐标表示”和“2.4 平面向量的数量积”及《选修2-1》第二章圆锥曲线中的“2.2 椭圆”.课标中指出：“学生掌握数学知识,不能依赖死记硬背,而应以理解为基础,并在知识的应用中不断巩固和深化.”本问的考查学生能否熟练运用向量的知识和方法解决椭圆中的问题,体现了“四基”中的基本知识和基本技能.

本题运算量低综合性好区分度高,有一定的知识板块交融和创新,既能考查椭圆几何性质,又能考查解决向量问题的基本方法,还融入了向量的起点和终点的次序问题考查学生的严谨细致,实属解析几何范畴的好问题.

第二问着重考查了直线与椭圆的位置关系与定点问题.考查考生是否能把几何条件(或问题)代数化及其选用何种方式把几何条件(或问题)代数化.以上六种解法可归为三大类,具体分类见图2：

图2

结合数学核心素养谈谈第二问考查的内容实质.

首先,本问题主要研究三个关系：①P、A、C和P、B、D分别三点共线；②kPB=3kPA；③两直线与椭圆相交.

其次,本问题主要有以上两类解决方法,体现了重要的高中数学思想—分类讨论和数形结合以及重要的数学问题分析方法—逻辑推理.分类讨论体现在结合本问题的几何意义或代数求解的等价性,考虑直线斜率是否存在或者P是否在x轴上；数形结合体现在点、直线与椭圆之间的几何关系代数化过程；逻辑推理体现在解决问题考虑从特殊到一般,考查考生是否能由椭圆的对称性推知定点Q必在x轴.考生对以上两个问题的领悟程度的不同直接导致本题得分的差异.

再次,本问题不管使用何种方法都离不开定点问题的解题实质：定主元——消参.第一类方法1 是选择k和m做主元,通过“直线PA、直线PB与椭圆的关系”(韦达定理)和“点C、点D在椭圆上”(CD坐标满足椭圆方程)逐步消参从而找到k和m的等量关系,对应找到直线CD过定点的坐标.第一类方法2 是选择P的纵坐标t作为主元,一个主元走天下,用t表示点C和点D,从而表示直线CD方程,整理化简得到直线CD过的定点.两类方法比较第一类方法1使用的消参技巧要求更高,第一类方法2 使用的消参技巧要求较低,第一类方法2 操作的预见性更强,更易于学生掌握.

最后,本问题考查的数学核心素养主要是以下三个方面：直观想象、逻辑推理及数学运算.直观想象是本题分析的先决条件,点P是动态的,从而带动点C与点D的运动,在动态的直线中寻找不动点,学生必须具备一定的直观想象能力才能结合图形进行分析理解题意,把握问题的关键；逻辑推理是本题破题的关键,能够从特殊到一般分析问题,可以采用“先猜后证”的方法解决本问题,达到事半功倍的效果；数学运算是本题对考生最基本的能力考查,不管用何种方法都逃避不过数与式的精确运算,不然再好的方法都会功亏一篑.

本题属于高中数学圆锥曲线中的经典问题,考查高中数学的基本知识、基本技能、基本思想方法,重点考查三个核心素养：直观想象、逻辑推理及数学运算.本题虽然属于经典问题重现,但是运算量大,运算的准确度要求高,选择主元和消参的技巧性强,是今年高考理科数学全国Ⅰ卷中区分度较大的一题.本题能够让逻辑推理强,运算能力好的考生充分展现自己的实力,是一道“入门易,造化难”区分度较高的一个题目.

4 高考的同源题目

题目7(2010年高考江苏卷第18 题)在平面直角坐标系xOy中,如图3,已知椭圆=1 的左、右顶点为A、B,右焦点为F.设过点T(t,m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1,y1),N(x2,y2),其中m＞0,y1＞0,y2＜0.

(1)设动点P满足PF2-PB2=4,求点P的轨迹；

(2)设x1=2,x2=求点T的坐标；

(3)设t=9,求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关).

图3

图4

解析(1)略；(2)略；(3)如图4,点T的坐标为(9,m)直线TA方程为：即直线TB方程为：即分别与椭圆联立方程组,同时考虑到解得：

若x1=x2,则由及m＞0,得m=此时直线MN的方程为x=1,过点D(1,0).若则直线MD的斜率直线ND的斜率得kMD=kND,所以直线MN过D点.

综上所述,直线MN必过x轴上的点(1,0).

5 追本溯源

本问题的背景是高等几何中极点和极线的内容[1].

定义[2]对于圆锥曲线

已知点P(x0,y0)(非中点)及直线

我们称点P(x0,y0)为直线l关于圆锥曲线G的极点,称直线l为点P关于曲线G的极线.

特例1[2]：点P(x0,y0)关于椭圆的极线为

特例2[2]：直线PT是Q点关于曲线的极限线,那么,直线PT过点的充要条件是Q在直线x=x0.

定理[2]一个四边形的四个定点在一条二次曲线上,则这个四边形的对边延长线的交点(假设四边形对边不平行)及其对角线交点的组成的三角形的任一顶点是其对边的极点.如图5所示,点Q的极线是直线PR,点P的极线是直线QR.

图5

再解高考题(题目6)[2]点P在x=6 上运动,将x=6看成极线并表示为则据定义可知其关于的极点恰为此点就是CD与AB交点,AB固定,则CD过定点

四、2021年高考数学解析几何备考建议

基于2020年高考全国Ⅰ卷中解析几何的命题特点和考生答卷中的典型错误,给出如下备考建议：

1 夯实基础,全面复习

近三年的解析几何试题难度下降,结合课标要求,更加明确了备考方向应该面向基础知识和基本技能.课标中指出：学生对基础知识和基本技能的理解与掌握是数学教学的基本要求,也是评价学生学习的基本内容.评价看着的是对数学本质的理解和思想方法的把握,避免片面强调机械记忆,模仿以及复杂技巧的运用.解析几何的复习中,更加要注重基础知识和基本概念的教学,直线、圆、椭圆、双曲线以及抛物线的几何性质、代数表示及其相应基本图形辨析,在第一轮复习中应逐一剖析透彻.坚实基础知识更有利于学生挑战难题.

解析几何解答题常常作为倒数第二题或者压轴题目出现,往往不受待见,但是再难的题目也有基础分值,所以在备考的时候不宜放弃或者降低要求.如今年全国Ⅰ卷文科第21题第(1)问(即理科第20 题第(1)问),入门门槛不高,也是大部分学生可以拿分的地方.所以平时对待解析几何题目要鼓励学生积极的拿分意识.其次再难的题目都有规律.这需要老师带领学生,更加努力摸索难度大的题目不变的规律,探索出易于学生掌握的方法.万丈高楼平地起,多个基础问题的叠加就成为一道复杂的题目,所以让学生学会解决复杂的题目就可以先拆分题目,逐个部分掌握.考场表现就是看平时的积累.平时对每一类解析几何题目的解法和某些问题的二级结论要有一定的积累,才能在考试有限时间内解决这些难度较大的问题.

2 突出素养导向,重视数学运算

突出学科核心素养,高中数学学科核心素养包括：数学抽象,逻辑推理,数学建模,直观想象,数学运算,数据分析.凸显主干内容,对于支撑学科知识体系的重点内容要占有较大的比例,构成数学试卷的主体,同时注重学科的重要的思想方法培养,如分类讨论的思想,数形结合的思想.

这当中有为需要重视的是数学运算.从今年全国Ⅰ卷解析几何解答题考生的作答情况中发现,第一问不少考生出现简单方程解答出错导致失分；第二问直线与椭圆方程联立后所得韦达定理“两根之和”和“两根之积”结果计算出错的情况比比皆是.还有部分考生使用解法4 的思路解决第二问,从卷面表述看已有较完整的思路,由于无法整理出含参直线的定点形式,从而不能发现直线过定点导致解题失败.以上种种情况皆表明学生的运算能力影响了数学表达,甚是学生的运算能力低于学生的问题分析能力.这引起我们对常规课堂的反思,是否有出现重思路轻运算的数学课堂? 数学课堂中,对关键的运算步骤和运算技巧应增加合理的板书；数学作业中,对学生的运算失误不仅归结于“粗心大意”,更多关注失误背后的“深层技术问题”；数学考试中,对解析几何题目的选择可以适当增加运算量的要求,引导学生提升自我的运算要求.

3 课堂“慢生成”,实现真效率

教学中,教师最苦恼的是反复强调和重复的知识,学生在考试的时候还会表现不佳甚至重复犯错.这苦果往往是在数学课堂中自己种下的.如今年全国Ⅰ卷文科第21 题(即理科第20 题)第(2)问,不管使用何种方法(题目解析中的解法1 至解法6)都无法回避分类讨论,解法3 中分类讨论“斜率存在”与“斜率不存在”,解法4 中分类讨论与这应该是每一位数学教师在解析几何的教学中都反复强调的问题,可是从阅卷情况看,仅有极少数学生能够在独立解决问题时有分类讨论的意识并能正确表述.人们不禁要问：问题到底出在哪里? 问题的根源在高中第一节的解析几何导论课—直线的斜率.“每条直线都有倾斜角但不是每条直线都有斜率”,这句话的背后深层的数学含义：几何问题代数化过程要求的严谨性,不同几何情况的代数表达未必能够形式统一.对此,学生并未真正领会,对教师提出“分类讨论”的要求只是进行机械化模仿罢了.

因此,想要学生真正能够获得基本知识、基本技能、基本思想和基本活动经验,能够发现问题—提出问题—分析问题—解决问题,教师需要在数学课堂中舍得“下血本”.数学知识的生成往往需要“慢生成”,需要放时间让学生试错、调整、顿悟,这在40 分钟的课堂看来是“低效”的,但是从长远来看,不需要“反复强调”,学生能真正掌握思想方法解决一类问题的话,这是真正的“高效”.

发展数学核心素养,数学课堂教学是重要的基地.教师在高三备考的数学课堂中需要把主体地位还给学生,放手让学生自主独立思考,自己解决问题,经历观察—思考—分析的过程,经历失败然后调整,从而找到问题解决的突破口.这个过程就是“慢生成”.只有经历这个“慢生成”,学生才能“知其然,知其所以然”,实现真效率.什么是真正的课堂效率,这是高三备考教学中,教师最需要思考的问题.