导数证明不等式的方法探究

方赟吉

摘  要：导数作为高中数学内容的重点知识，也是历年来高考的典型题型，通常会设置在压轴题目位置，并与求证不等式结合，从而考查学生利用导数对不等式进行求解的的掌握能力，有些不等式的求解难度高，通过比较法、归纳法、判别法、数学归纳法、反证法等都难以求解，对学生来说求证难度大，但导数证明法证明不等式就会简单很多，因此想要在高考中取得好的成绩，拿下这类题型，学会利用导数证明不等式是十分重要的。

关键词：导数;不等式;導数证明法

引言：

不等式的求解方法众多，采用哪一种方法最为直接有效，才是帮助学生快速掌握不等式达到高效率解决问题的有效途径，利用导数证明法，帮助学生拓展思维，打开思路，快速攻克不等式的求证，本文对导数证明不等式的方法进行了以下几种归纳和探究。

一、 利用函数具有单调性原则进行证明

通过对函数的学习，了解到函数是具有单调性的，并且掌握了函数单调性的定义，可以利用函数的单调性证明不等式的成立，一般思路为先观察题目当中所给的函数关系，如没有函数可以先构造函数，再利用导数求解函数研究函数单调区间或最值，从而证明不等式是否成立。

从上例题可以看出，题目当中已经给出函数，因此要利用函数的关系，对不等式进行求解，在遇到无法判断函数之间的关系时，可以通过求解函数的最值或单调性进行证明。

二、通过作差构造函数证明

这类题型题目中没有明确给出不等式，因此读懂题意，用作差构造函数证明。

三、中值定理证明不等式

此类题目虽然在高中考试中不易见，当时解题思路还是值得思考。

四、利用曲线的凹凸性证明不等式

思路：从题可以看出，不等式两边都是同一个函数，只是在不同点的函数值求平均值与这两个点的平均值求函数值进行比较时，可以考虑利用函数的凹凸性进行求证，利用题中函数作为辅助函数。

参考文献

[1]  张一生.导数证明不等式方法探究[J].数理化，2019（428）：56-57.

[2]  全梅花，张雪梅.浅议利用导数证明不等式的几种方法[J].自然科学，2015（1）

[3]  同济太学数学教研 室.高等教 学[M ].北京高等教育出版 社，1996.