《向量的概念及表示》教学设计及反思

姚云

摘 要：向量是高中数学中重要的概念之一，它具备几何和代数双重身份，能够解决很多实际问题。教学时可以从物理、生活中抽象向量的概念，并通过它的两个特点“大小”和“方向”归纳出其他相关概念。

关键词：向量概念 教学设计 教学反思

一、教学内容解析

本节选自苏教版必修4第二章第一节，是本章的起始课。向量是近高中数学中重要的数学概念之一，它具有几何形式和代数形式的“双重身份”，是数形结合的桥梁，成为沟通代数、几何、三角的有力工具。向量的概念从大量的生活实例和丰富的物理素材中抽象出来，反过来，它的理论和方法又成为解决生活实际问题和的物理学重要工具。本节课是向量的入门课，概念较多，但难度不大，学生可借鉴对物理学中的位移、力、速度等的认识来学习。

二、教学目标

《数学课程标准》2017版指出：本单元的学习，可以帮助学生理解平面向量的几何意义和代数意义，掌握平面向量的概念。故教学目标如下：

1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示;

2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;

3.培养学生归纳总结的能力，会主动探究概念的形成过程，并体会到探究问题的乐趣。

三、教学重难点

1.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量。

2.教学难点：理解零向量，单位向量，相等向量，平行向量的含义，让学生感受向量，平行或共线向量等概念形成过程。

四、教学过程

1.情境引入

（1）高德地图和纸质地图有何区别？你认为什么是最重要的是提供了路线的什么？

（2）玄武湖公园有三个景点O，A，B，如图：一观光车将游客从景点O送至景点A，半小时后，观光车再将游客从A送至景点B。从景点O到景点A有一个位移，从景点A送至景点B也有一个位移。①在图中标出两个位移;②请说出位移和距离的异同。

（3）①A处的我方军机可以如何报告C处敌机的位置？②敌机沿CB方向逃窜，我方军机要抵近拦截。如果我方军机的时速值大于敌机，是不是就可以拦截到敌机？为什么？③经计算，最终我方军机最早在B处拦截到敌机。请指出我机和敌机的速度方向。

（4）你能不能再举出一些既有大小又有方向的量？

[设计意图]：通过三个具体实例，感受向量与数量的区别，并抽象出向量的概念。

2.讲授新课

（1）向量的定义：既有大小又有方向的量。

（2）向量的表示

①几何表示：向量常用一条有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小;箭头所指的方向表示向量的方向。

②符号表示：向量可以用有向線段的起点和终点字母表示，在印刷时，常用粗黑体小写字母 a ， b ，c 来表示;手写时则可用带箭头的小写字母 ，， 来表示。

（3）学生活动

请在坐标纸上画出若干向量，并思考向量有什么特点？你画的有哪些特殊的向量？

[设计意图]：在明确了向量的概念及表示后，由学生在坐标纸上画出一些向量，并请同学归纳一些特殊的向量。从而得到向量的其他相关概念。

（4）向量的相关概念

①向量的大小称为向量长度（或称为向量的模）.记作;

②零向量——长度为零的向量，记作.规定：零向量的方向是任意的;

③单位向量——长度等于1个单位长度的向量;

④方向相同或相反的非零向量叫作平行向量，也称为共线向量;

⑤规定：零向量与任意向量平行;

⑥长度相等，方向相同的向量叫作相等向量;

⑦长度相等，方向相反的向量叫作相反向量。

[设计意图]：引导学生从大小和方向两个方面总结归纳向量的相关概念。从学生所画的图形中理解平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念。

（5）学生思考

①向量与有向线段有什么区别？

②单位向量唯一吗？

③平面直角坐标系内，所有起点在原点的单位向量，它们终点的轨迹是什么图形？

④若两个向量平行，则它们所在直线一定平行吗？

⑤平行于同一个向量的两个向量平行吗？

⑥模相等的两个共线向量是相等向量吗？

[设计意图]：通过以上问题对概念进行辨析，加深对向量相关概念的理解。

3.例题讲解

例1.已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出的向量中：

（1）试找出与共线的向量;

（2）确定与相等的向量;

（3）与相等吗？

[思考]：以正六边形的顶点及O点为起点和终点，还能找到哪些和共线的向量？

[设计意图]：例1的目的是为了让学生加深对相等向量，共线向量的理解。设置思考题的目的是为了让学生找出其他符合条件的向量，加深对向量概念的理解，注意做到不重不漏。

例2.如图所示的为的方格纸（每个小方格都是边长为1的正方形），试问：起点和终点都在小方格的顶点处且与向量相等的向量共有几个？与向量长度相等的共线向量共有几个？

[设计意图]：两道例题的目的是为了加深对平行向量、共线向量、相等向量、模长相等的向量的理解。例2将向量放在坐标系中，除了便于判断方向和计算长度外，也为后面学习向量的坐标表示作铺垫。

4.练习巩固

教材P61T1-5.

5.课堂小结

本节课你学到了什么？

五、教学反思

向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介。既有其深刻的数学背景，也有其现实的物理背景。

本节课是一节概念教学课。概念的教学需要注重概念的形成过程。因此在向量的引入部分，大量使用了物理中的例子，使学生初步感受既有大小又有方向的量。在向量的相关概念形成过程中，利用坐标纸让学生自己画出一些向量，通过探究总结归纳出相关的概念。概念形成后又通过一些思考题进行概念的辨析，加深对平行向量、共线向量、零向量等概念的理解。

本节课的概念形成过程中使用了学生自主探究环节，本应成为本节课的亮点。但是由于经验不足加上准备不够充分，对课堂的预设不足，导致学生在总结概念过程中产生了混乱。其实在学生探究过程中，此时教师应该利用向量的定义，从“方向”和“大小”两个方面引导学生思考，并总结。于是，平行向量（共线向量）就很容易被概括出来，相等向量、相反向量等概念的产生也比较自然。