一道质检题的多解与探究

蔡海涛

(福建省莆田第二中学 351131)

一、试题呈现

已知函数f(x)=lnx-x，g(x)=xex-2x-1.

证明:当x∈(0,+∞)时,g(x)≥f(x).

二、解法探究

又G(0)<0,G(1)>0，所以G(x)存在唯一零点x0，且x0∈(0,1).

当x∈(0,x0)时，G(x)<0，则F′(x)<0，F(x)单调递减；

当x∈(x0,+∞)时，G(x)>0，则F′(x)>0，F(x)单调递增.

所以F(x)min=F(x0)=x0·ex-lnx0-x0-1.

又G(x0)=0,所以x0·ex0-1=0，lnx0+x0=0,所以F(x)min=F(x0)=0.

故g(x)≥f(x).

评注要证g(x)≥f(x)，即证F(x)=g(x)-f(x)≥0，只须证F(x)min≥0，故对F(x)求导，研究其单调性.令F′(x)=0，得x·ex-1=0，这是个超越方程，无法直接求出该方程的解，通过零点存在性定理证明零点是存在的，再利用隐零点问题处理方法进行求解，从而破解本题难点.一般地，证明不等式成立，常构造函数转化为最值大于(小于)等于0.

解法二要证g(x)≥f(x)，只须证x·ex≥lnx+x+1.

易证ex≥1+x，所以x·ex=elnx·ex=elnx+x≥lnx+x+1，得证.

评注证明含有lnx与ex的不等关系，常利用不等式“ex≥1+x”及“ln(1+x)≤x”.进行放缩，实现“超越式”到“非超越式”的转化.

三、高考链接

(1)求a,b；(2)证明：f(x)>1.

四、变式拓展

(1)求函数f(x)的单调区间；

解(1)函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减.(过程略)

评注对于含有lnx与ex型的超越函数，具体解决时须根据两类函数的特点，挖掘结构特征，灵活变形，脑中有“形”，注意重要不等式lnx≤x-1与ex≥x+1的合理代换.

五、总结提升

指数对数组合型的函数不等式问题，常用的解题方法有三种：一是指数对数分离并向易于求最值的常用函数转化；二是利用放缩消掉指数函数或对数函数之一，再进行处理；三是隐零点法.对于具体问题，可根据函数特征具体分析，选择合适方法求解.