特色课程：让数学学习综合化

季凤茂

[摘要]通过数学特色课程这个载体，引导学生把数学学习和数学学科知识、其他学科知识、现实世界等关联起来，打破学科之间的壁垒;把学习的时空拓展到家庭和社会，打破学习时空的局限;引导学生调查、实验、尝试、探究、合作，打破学习方式的固化，让教与学变得可见，使数学的学习成为有广度、有深度和有力度的综合化学习。

[关键词]特色课程;综合化;折扇;关联

[中图分类号]

G623.5

[文献标识码]A

[文章编号] 1007-9068（ 2020）29-0021-02

联合国教科文组织出版的《反思教育：向“全球共同利益”的理念转变》指出：“当今世界格局正在发生剧变，其中涉及学习内容、学习方法和学习空间。”在课程建设的过程中，很多学校重视特色课程的建设，借此培养学生数学综合素养。折扇和数学有着密切的关系，制扇大师郑宝元说过，他的制扇基础就是源自看上去与制扇毫不相关的学科——数学。现以我校数学特色课程中“折扇中的数学”为例，谈谈如何通过特色课程，实现数学学习综合化。

一、内容关联，走向有广度的数学综合化学习

1.内容选择

折扇是生活中的日用品，也是生活中的艺术品，还是生活中的装饰品，多重“身份”的综合更容易激发学生学习的兴趣，诱发学生的探究欲望。数学特色课程需要聚焦数学，所以在选择学习材料时首先要关注材料的数学价值。“折扇中的数学”的数学成分不是一个点，而是发散的点，需要学生把这些点关联起来。折扇中的数学元素表面上看起来只有扇形这一个知识点，其实还涉及统计（日常生活中人们扇子的拥有量）、分类（按功能分、材质分、地域分）、计算、黄金分割（折扇的圆心角的度数和平角的度数比、扇面的环宽和扇骨长度的比）和等分（扇面平均分成的份数和扇骨有什么关系）等知识点。

2.问题解决

“折扇中的数学”没有直接抛出数学问题，而是由教师提供现成的扇骨，让学生根据扇骨制作折扇。表面上这是一个手工制作的问题，和数学问题关联度不高，但是在制作的过程中，学生会出现困惑，这就需要学生调取已掌握的数学策略来解决问题：扇面的环宽是多少？扇面的圆心角是多少度？扇面平均分成多少等份？等份数和什么相关？没有一个是告诉式的问题，都是生成性、自主发现式的问题。

要制作一把折扇，得知道扇面的大小。要确定扇面的大小首先要确定圆心角的度数，涉及度数的测量;扇面的大小还和扇面的环宽有关，涉及扇形面积的计算;扇形圆心角的度数和圆周角剩余度數的比是多少，扇形环宽和扇骨长度的比是多少，涉及黄金比……制作出科学美观的折扇扇面需要掌握相当多的知识。

二、过程递进，走向有深度的数学综合化学习

1.从随意开始

学习的初始阶段是有效先学，教师没有给学生精确的学习目标，也没有指定明确的学习路径。学生在既往的学习过程和生活过程中，已经掌握了大量的数学知识，形成一定的数学能力，积累了较为丰富的数学学习经验，这些都为数学特色课程的学习奠定了良好的基础。

我们针对“折扇中的数学”设计了研学单，研学单只有两个问题，一是“简要描述我所认识的折扇”，二是“画一幅折扇的结构图”。在画结构图时，学生都会想到需要运用和扇形相关的数学知识，只不过用到什么程度还不是十分清晰，处于一种低水平的阶段;学生都知道需要把扇面进行等分，但等分时却是随意的，在随后会发现随意等份数并不能制作出完美的折扇……

2.到有意进行

学生在根据已有的知识经验进行了初步尝试后，会遇到各种问题。教师不要急于对学生发现的问题进行评价，更不要急于告诉学生解决问题的方法，而是对学生遇到的这些问题给予适当的点拨，为学生运用什么知识和策略来解决问题指明方向。

在研究的过程中，学生发现只要是用来引风降温的折扇，尽管规格各不相同，但圆心角都在138°左右。为什么扇形圆心角的度数都在138°左右呢？通过探究，学生发现圆心角的度数是由两个因素决定的：一是适用性，圆心角的度数小了，风量不足;圆心角的度数大了，操作起来不方便。二是美观性，当圆心角在138°左右时，138°÷（360°-138°）≈0.622，0.622非常接近黄金比0.618。

3.向深度迈进

数学特色课程，是教科书的一种补充，更是一种拓展。数学特色课程更重视实际情境的创设，呈现的不是某一个知识点，而是多个离散的知识点，学生需要把这些看似离散的知识点勾连起来，使之结构化。

数学学习的最高境界不是发现而是创造，是能够自主迁移，灵活运用习得的知识、技能娴熟解决现实问题。学生在研究“折扇中的数学”时发现，不仅仅是圆心角和圆周角剩余度数的比是黄金比，扇面的环宽和扇柄长度的比也是黄金比。学生的发现和制扇大师郑宝元的创作不谋而合，他在谈制扇体会时曾说：“制扇通常是凭经验，或者约定俗成，没有科学的理论依据，很难统一，甚至影响美观。我经过反复琢磨，采用数学中的‘黄金分割定律确定扇肩的位置，使扇形发生变化，扇子更加美观。”可见，这不仅是发现，学生还把数学主动运用于折扇的制作。

三、方法灵活，走向有力度的数学综合化学习

1.时空延展

学习时间。特色课程的学习时间不局限于一节课的四十分钟。教师可提前一个星期布置学习任务，这一个星期的时间包含有充分自主权的双休日，这样学生就有了充足的学习时间。一个星期后的四十分钟的课堂教学主要用于交流讨论、展示质疑。

学习空间。数学特色课程具有开放性，课内和课外、校内和校外、线上和线下都是学习的空间。这样的学习不是一种注入，而是一种探究和自主发现，学生可以开展调查研究、实验操作、资料检索，对于大多数学习任务，学生都是在校外完成的。学校还注册了特色课程专题学习网站，学生可以在网站发表自己的见解，提出自己的问题。

学习伙伴。学习不仅仅是个体的行为，学习伙伴是学生根据学习的需要自主寻找的，可能是自己班级的同学，可能是教师（包括其他班级的教师、相近学科的教师），可能是父母，还可能是一些专业人士。有一个学生在交流的时候就提到，他爸爸是高中物理教师，他和爸爸通过实验的方法来探究风量和扇面大小之间的关系，然后确定扇面的大小。

2.过程可见

教师毋庸置疑会对学生的学习产生影响，但不是所有教师都清楚地知道自己什么样的教学行为会对学生产生正向的影响;同样也不是所有的学生都清楚地知道什么样的学习方式会对自己的学习产生正向的促进。新西兰教育家约翰·哈蒂把这样的学习称之为可见的学习，他认为教师要成为自己教学的学习者，学生要成为自己学习的教学者。

做中学。“做中学”不是仅仅关注学生的学习兴趣，或者说仅仅为了提高学生的学习兴趣，也不是更重视学生的操作实践。“做中学”的本质是指让学生真正参与到学习的活动中去，在活动中促进对知识的理解，促进技能的形成。在学习的初始阶段，不要求学生去寻找折扇中的数学元素，而是让学生设计一幅折扇的结构。这是一个比较宽泛的学习要求，但要画出科学完美的折扇结构图，就必须运用相应的数学知识。学生课前自主探究时，有的是通过实验的方法得出结论，有的是通过请教他人得出结论，还有的是通过上网检索得出结论……学生对实验的方法特别认同。

合作学。这里合作有三点要素：一是合作是因为需要，二是合作对象自主，三是成果分享。在学习的过程中，学生发现扇面等份数和扇骨的关系是2n-l，需要根据这个关系将扇形平均分成若干等份，学生仅仅凭借手头的学具是无法实现的。教师在教学过程中，适时引入计算机软件中的几何画板，通过几何画板中的迭代和构造功能，实现了扇形的精确等分。这样，通过人与计算机合作，突破了探究难点。

迁移学。迁移的意识和能力可以给学生带来持续的学习动力和积极性。数学特色课程的学习重点是帮助学生运用已有的学习经验来点化和提升学生的思维水平，继而解决客观世界中的数学问题。因此在教学的过程中，不仅仅着眼于学习的结果，更要着眼于学习的过程，着眼于学习结果成因的判断。要形成迁移的能力，需要关注学生思维能力的培养。思维能力提升后，学生不仅能灵活运用旧知识，而且懂得如何获得新知识，把获得的新知识融人旧知识的体系中去，通过获得新知识来解决旧知识解决不了的新问题。在研究“折扇中的數学”时，学生发现了一些新问题，如扇面的等份数和扇骨的根数是相关的，那扇骨的根数又是由什么决定的呢？新问题虽然具有挑战性，但学生还是自主解决了。这是因为已有问题的解决为新问题的解决提供了可借鉴的脉络，提供了经验基础。

数学特色课程让教师回到教的起点去反思“教什么”和“怎么教”;数学特色课程让学生回到学的原点去体验“学什么”和“怎么学”。数学特色课程的学习更多地关注过程、关注思维、关注生命、关注体验、关注运用，更逼近真实生态的数学学习，真正让学生的数学学习综合化。

（责编金铃）