凸显数学核心素养的课堂教学设计*——以“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”为例

潘巧玲

(广东省东莞市麻涌中学，523000)

2016年以来,“核心素养”成为教育界关注的一个焦点.《普通高中数学课程标准(2017年版)》,明确提出数据分析、数学运算、数学建模、直观想象、数学抽象、逻辑推理等六大数学核心素养,这引发了教学一线的广泛关注.核心素养视角下的教学,更强调设计先行.本文以“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”为例,对基于数学核心素养的课堂教学设计进行了分析与反思.

一、教学内容分析

普通高中课程标准实验教科书《数学》人教A版必修4第三章三角恒等变换3.1.2“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的内容在高中三角函数中占着很重要的位置,它是学习三角恒等变换的基础,是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸,同时为学习倍角、半角等公式作铺垫,对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有着重要的作用.

通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导证明,了解它们的内在联系,揭示了两角和、差的三角函数与两角的三角函数的运算规律,加深学生对数学公式的推导，证明方法的理解.因此本节课是培养学生数学抽象、数学运算、数据分析和逻辑推理等数学核心素养的重要内容,对学生的探索精神和创新能力培养有着十分重要的意义.

二、教学目标与学科素养

1.教学目标

(1) 知识与技能:

使学生能用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦,并推出两角和与差的正弦、正切公式;让学生初步学会简单的三角函数式的化简、求值和公式的逆运用等基本技能 .

(2) 过程与方法:

通过教学活动,使学生理解两角和与差正弦、余弦、正切公式的形成过程;通过公式的灵活运用,培养学生的转化思想和变换能力.

(3) 情感、态度与价值观:

通过问题的自主探究,小组交流学习,并解决问题,使学生掌握寻找解决数学问题的方法和规律,提高学生的观察能力,培养学生的应用意识,提高学生的数学核心素养.

2.数学学科素养

(1)数学抽象:推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式;

(2)逻辑推理:运用公式解决三角函数式的化简、证明等问题;

(3)数学运算:运用公式解决基本三角函数式求值、求角等问题;

(4)直观想象:借助三角函数图象理解公式;

(5)数据分析:通过三角函数值,判断角的大小;

(6)数学建模:体会到一般到特殊,化归转化、换元等数学思想.

三、教学重难点

重点:两角和与差的正弦、余弦、正切公式的探究及公式之间的内在联系;

难点:灵活运用所学公式进行求值、化简、证明等.

教学过程中,学生运用公式进行求值、化简、证明会遇到困难,不能灵活运用.主要原因有以下两个可能:一是前面学习的知识没有掌握好,忘记了正弦与余弦之间存在的一些关系；二是公式比较多,容易混淆,公式不知如何灵活运用.要解决这一问题,需要教师在教学中引导学生选择适合的公式解题,区分记忆公式,从而进一步加深学生对公式的记忆.

四、教学过程

1.复习引入,提出问题

(1)诱导公式:奇变偶不变,符号看象限.

(2) 两角差的余弦公式:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

(3) 两角差余弦公式的应用:cos 15°=______.

设计意图引导学生回顾已有知识和解题技巧,设置相关的旧知识,采用提问的方式进行复习, 符合学生的认知规律,也为推导两角和的余弦公式作一个方法上的铺垫.

问题1cos 75°=?由两角差的余弦公式C(α-β),你能推导出C(α+β)?

设计意图通过两角差的余弦公式,引出两角和的余弦公式,培养学生数据分析、逻辑推理等数学核心素养.

2.探究新知,推导公式

问题2请比较α+β与α-β,观察它们之间有何联系?

问题375°,105°,165°等是否可用类似的方法求余弦值?

设计意图采用适当的变式,强化公式Cα±β,提高学生的数学运算能力.

问题4余弦和正弦之间可以互化,请根据C(α+β)，C(α-β)及诱导公式五(或六)推导出C(α+β)与S(α-β).

问题5对比分析公式

C(α-β),C(α+β),S(α-β),S(α+β)能否推导出T(α-β)与T(α+β)?

问题6通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tanα，tanβ的形式呢?

问题7这个公式对任意的α,β都成立吗?

设计意图引导学生将求正弦转化为求余弦,降低思维难度,同时让学生体会转化、换元等数学思想.理解公式才能准确应用公式,引导学生用α,β的正切来表示α±β的正切,为推导公式指明了变形的方向.通过设问，提示公式中α,β,α±β的取值范围,培养学生严谨的逻辑思维.

3.知识小结,揭示规律

问题8对比分析公式C(α-β),C(α+β),S(α-β),S(α+β)的结构特征，思考如何灵活运用公式?

问题9你从公式的推导中体会到哪些数学思想方法?能否举例?

设计意图梳理知识,完善知识体系,用框图的形式表示,引导学生从结构上理解公式,正确把握公式的本质,为下一步公式的灵活使用打好基础,从而培养学生逻辑推理、数学抽象等核心素养,增强学生自主学习、独立思考能力,并把握本节课中蕴含的数学思想方法.

4.应用新知,示例练习

设计意图例1是运用和差角公式的基础题,主要是为了训练学生思维,逐步培养良好的思维习惯,也是为解决练习(3)提供一个参考.引导学生建立基本的解题思路,同时掌握基本的书写格式.在教学过程中,可以去掉“α是第四象限的角”这个条件,留给学生课后思考,让学生学习分类讨论思想,提高表达能力.

练习: 利用和(差)角公式计算下列各式的值.

(1) sin 72°cos 42°-cos 72°sin 42°;

(2)cos 20°cos 70°-sin 20°sin 70°;

设计意图练习(1)，(2)是最简单的公式逆用,请学生直接报答案,目的是加深学生对公式的理解,大部分同学会将tan 15°的值直接代入第(3)问进行计算,这样运算量会比较大,可以引导学生观察例题1的第(3)问，找出它们的相同之处,让学生学会逆用正切公式和感受特殊角的三角函数值在三角恒等变换中的妙用,从而突破难点.

设计意图例2能力提升题,引导学生面对新问题如何运用已学知识和方法解决,有意识地对学生的思维习惯进行引导,培养学生分析问题和逻辑推理能力.

变式训练引导学生看教材中的章头图,某城市的电视塔建在市郊的一座小山上,小山高约为30米,在地平面上有一点A,测得A,C两点间的距离为67米,从A观测电视发射塔的视角∠CAD约为45°,求这座电视发射塔的高度.

设计意图本题是解三角形问题,在必修5中已作专门的探究,这里用到的仅是与三角函数诱导公式、和差公式有关的问题,难度不大，学生可以自己阅读、探究、讨论解决.对有困难的学生，教师可引导学生分析题意和理清三角形各角之间的内在联系,从而找出解决问题的方法.

5.解题小结,培养能力

问题9回顾本节课的例题学习中,最重要的解题思想是什么?解题方法是什么?解题过程中应注意什么?

设计意图引导学生在面对数学问题时,首先要认真分析条件,明确要求,再选择公式解题.另外数学不能只看结果而不顾过程表述的准确性、简洁性等,还要重视思维过程的表述,因为这些都是培养三角恒等变换能力所不能忽视的.

6. 布置作业，理论迁移

A组 基础检查

1.求值

(1)sin 72°cos 18°+cos 72°sin 18°;

(2)sin 15°;

(3) sin 34°sin 26°-cos 34°cos 26°；

B组 思考提高

设计意图针对学生学习水平的差异进行分层训练，不仅能让大部分学生掌握基础知识，并且给学有余力的学生留出自由发展空间，培养学生创新意识和探索精神，同时也为下一节的备课提供了一个思考方向.

五、教学反思

本节课是典型的公式教学模式，在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具两角和与差的正弦、余弦和正切公式.考虑到学生的实际水平，本节课采用启发式教学，辅以观察法、发现法、讲练结合法，通过师生配合，共同进行探究活动来完成.在公式的推导中，教科书都有对照、比较有关的三角函数式，譬如比较cos(α-β)与cos(α+β),又譬如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们有的是

教学要以人为本，让学生大胆尝试并主动探索数学知识发生、发展的过程，充分挖掘他们的潜能.数学核心素养下的数学教学方式的应用，要求教师在课堂教学环节注重调动学生的积极性.因此本节课教案的设计流程是“提出问题→转化推导→分析记忆→例题讲解”，引导学生利用旧知识推导证明新知识，同时教给学生发现规律、探索推导、获取新知的方法，并灵活运用公式解决实际问题，培养学生数据分析、数学运算、逻辑推理等核心素养，让学生真正体验到自己发现探索数学知识的喜悦和成功感.教学中教师应当有意识地对学生的思维习惯进行引导并重视思维过程的准确表述，单墫老师曾说过，“数学课首先要讲数学”，成功的教学设计一定要体现“真数学”.只有这样才能真正实现教学相长，着眼于学生长远的发展，教会学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言描述世界.