创设问题情境 凸显核心素养

周秋斓

(浙江省湖州市双林中学，313000)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》首次提出高中数学学科六大核心素养:数学抽象、数学运算、数学建模、直观想象、逻辑推理、数据分析.同时指出“发展核心素养是党的教育方针的具体化、细化”[1].各学科基于本学科凝练的学科核心素养,明确了学生学习该学科课程后应该达成的价值观、必备品格和关键能力.

李邦河院士说过,“数学根本上是玩概念的,不是玩技巧,技巧不足道也”[2].在数学概念教学中,如何设计有效的问题情境,充分调动学生参与思维的积极性,引导学生探究规律,得出新的数学概念,这是数学概念教学研究的重要问题,也是在数学概念教学中落实数学学科核心素养的重要策略.本文结合案例进行探究,旨在抛砖引玉.

一、逻辑推理,创设观察分析的问题情境

案例1“基本不等式”教学片段

在基本不等式一节的教学中,可设计如下两个应用问题,引导学生分小组自主探究这两个问题,找出其中的不等关系,从中发现基本不等式.

问题1某商家用一个两臂之长有差异的天平称量售出物品.为示公平公正,售货员每次都将物品放在左、右两个托盘中各称一次,再将两次结果相加并除以2计之,问这种计量准不准确?如不准确,吃亏的是商家还是顾客?试说明理由.

师:这种计量准确吗?

生:肯定不准确!

师:既然不准确,吃亏的是商家还是顾客?

生:肯定是顾客,无商不奸嘛.

师:为什么?能分析一下其中的道理吗?

师:(适时点拨) 如果你是顾客, 买了一件重量为G的物品, 在两臂不等的天平两边各称一次, 结果会怎样?

设在左、右两边称出的重量分别为A与B, 联想到物理学上杠杆平衡原理, 需对两臂作出假设, 设两臂长分别为L1，L2, 至此基本完成数学化过程，问题由抽象变得具体.

生:商家应该把两次的结果乘起来,再开方就行了.

师 为什么?请继续.

生:(多种方法来证明)

师:等号何时成立?

生:当a=b时.

师:正确,但在本题中,有相等的可能吗?

评价在不等式教学中,学生常常感到很抽象,但利用以上两个应用问题情境,一个是经济生活中的问题,一个是物理中的问题,贴近生活,贴近实际,显得十分简单自然.它给了学生动手、动脑的时间与空间,使学生认识到了数学的社会价值与作用.

二、温故知新,创设比较归纳的问题情境

案例2“复数概念”的教学片断

师:我们一起回顾一下已经历过的数集扩充有哪几次?

生:正整数、自然数、非负有理数、有理数、实数

师:上述数集扩充的原因是什么?

生:实际问题的需要使得在已有的数集内有些运算无法进行.

师:数集的扩充过程体现了哪些规律?

生:每次扩充都增加规定了新元素.

生:在原数集内成立的运算规律,在数集扩充后的更大范围内仍然成立.

生:扩充后的新数集里能解决原数集不能解决的问题.

师:请哪个同学将上述几个同学的理解作一个概括?

生:由于实际问题的需要使得在已有的数集内有些运算无法进行,为此对数集必须进行扩充.在扩充过程中体现了如下规律:(1)每次扩充都增加规定了新元素;(2)在原数集内成立的运算规律,在数集扩充后的更大范围内仍然成立;(3)扩充后的新数集里能解决原数集不能解决问题.

师:负数不能开平方的事实说明实数集不够完善,因而提出将实数集扩充为一个更为完整的数集的必要性.那么,怎样解决这个问题呢?(有了上述准备后,教师提出问题.)

师:借鉴上述规律,为了扩充实数集,引入新元素,并作出两条规定.(略)

上述教学,通过引导学生回顾数集是如何扩充的?扩充的原因是什么?扩充过程体现了哪些规律?每次扩充都增加了哪些新元素?学生对i的引入不会感到疑惑,对复数集概念的建立也不会觉得突然,使学生的思维很自然地步入知识发生和形成的轨道,为概念的理解和进一步研究奠定基础.

评价这类数学概念教学的问题情境创设的关键是揭示相关概念的扩充发展的背景及其规律,从而引发新的数学概念的产生.同时，可进一步理解概念与概念之间的联系,在学习中化繁为简,形成一般性的思考问题的习惯.

三、直观感受,创设抽象概括的问题情境

案例3“函数的单调性” 教学片段

在函数的单调性的概念教学中, 为突破函数的单调性概念的产生和形成这一教学难点, 可以创设以下问题情境，首先向学生展示某地某年元旦这一天24小时内的气温变化图(如图1), 引导学生观察图象, 提出问题:

问题1说出气温在哪些时段内是逐步升高或下降的?

问题2如何用数学语言描述上述时间段内“随着时间的增加气温逐渐升高”这一特征?

通过引导学生解决问题2, 使学生对于单调递增函数的特征有一定直观认识, 进一步提出问题3.

问题3对于任意的t1,t2∈[4,16],当t1

学生通过观察图象和计算机模拟演示实验,正反对比,发现数量关系,由具体到抽象,由模糊到清晰逐步归纳、概括、抽象出单调递增函数的本质属性,并尝试用数学符号语言初步表述.教师引导学生归纳他们表述的关键词“区间内”、“任意”、“当x1

问题4类比单调递增函数概念,你能给出单调递减函数的概念吗?

通过类比,学生不难得出单调递减函数的概念.

为让学生进一步理解函数单调性的概念,及时地引导学生对概念进行运用,提出问题5.

问题5① 你能找出气温图中的单调区间吗?② 你能说出你曾经学过的函数的单调区间吗?请举例说明.

学生通过熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数等函数的相关特征,从图象上加深对函数单调性概念的理解.对于确定的函数,可以从图象上判定函数的单调性和单调区间,而对于一般函数又应该怎么去判定函数的单调性呢?于是提出问题6.

学生通过相互讨论,尝试进行函数单调性的证明,教师引导学生归纳总结用定义证明函数单调性的一般方法和操作步骤.

评价能通过对日常生活中的实际问题的分析对比,观察归纳,建立函数模型,让学生直观感受函数的单调性,并进一步发现自变量与函数的内在联系,概括归纳得出增减函数的定义.

四、动手操作,创设实验探究的问题情境

案例4“抛物线的概念” 教学片段

(1)活动:让学生准备长方形纸片,并在纸片2厘米处设置一点,如图2所示方法,按下面的要求将纸片进行折叠:折叠时,让AB所在的边始终经过点F,将纸折20到30次,形成一系列折痕,它们整体地勾画出一条曲线的轮廓.

(2)学生通过观察、猜想,发现众多折痕围出一条抛物线.

(4)利用几何画板动态演示折纸过程及抛物线.

(5)活动:(图3)画三条平行于y轴的直线,折纸发现1:其反射线经过y轴上的一个定点.

(6)利用几何画板演示这一过程(证明可后面完成).

(7)概念形成:焦点——一组平行于y轴的直线经抛物线反射后汇聚到焦点,由焦点出发的直线经抛物线反射后成一组平行线.

(8)发现2:抛物线上的点到焦点的距离等于到纸边的距离,定义准线.

(9)形成定义:学生概括,教师补充(平面内到一定点的距离和到一定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线).

评价在上述实验过程中,抛物线的概念、性质不是作为结果直接告诉学生的,而是通过学生动手操作、合作探究获得的,这是一个主动建构的过程.这类数学概念的形成一定要学生动手操作实验,仔细观察,并能根据需要适当变换角度来抓住问题的特征,通过抽象概括归纳以解决问题，培养学生敏锐的观察力是解决这类问题的关键.除了真实的实验外,还可以充分利用现代教育技术设计一些仿真实验,让学生通过实际操作学会观察、学会发现,在活动中发展能力，提高素养.