一个常用不等式引发的思考

朱阳帆

(江苏省扬中高级中学，212200)

一、问题的提出

笔者在高三二轮复习的教学中,遇到这样一道题目:

证明过程如下:

二、寻根溯源

一道看上去并不算难的题目，并且是教师预料正确率应该较高、但批阅结果却不尽如人意,一定不能责怪学生,而是要和学生深入交流，查找原因,反思自己的教学哪里需要注意.

1.问学生

首先，学生是解题的操作体验者,笔者通过课后交流发现,学生之所以想不到,或者不会做，主要存在以下三个问题:(1)如果是单纯的不等式问题,以分式结构呈现会想到,但是本题受到了数列背景的干扰；(2)部分学生看到数列,构造放缩不等式时没想到直接用,想复杂了；(3)一轮的时候复习过这个不等式,但是练习不多,忘了.

2.查资料

俗话说:“给学生一碗水,自己要有一桶水”.对于一个知识点,教师自己掌握了多少数学思想,对它有多少见解,应该怎样处理等,和自身对此知识点的掌握深浅有关．为了找到自己教学不足的原因且对这个不等式有更深的认识,笔者查阅了关于此不等式的一些资料.

(1)这个不等式问题编入了人教版各种不同时期的教材.

旧教材过渡教材新课标教材 高中中学课本代数下册高级中学教科书第二册(上)高中课程标准试验教科书选修4-5

此不等式从不同知识层次、不同的思维角度,可以得到不同的证法:

(2)从学段角度来看

初中高中大学 构造三角形或矩形,用相似三角形或矩形面积知识证明用函数或直线、椭圆、双曲线或正弦定理等知识证明定积分知识证明

(3)从数学模块角度来看

代数几何解析几何三角微积分 函数不等式三角形、矩形直线、椭圆、双曲线、正弦定理定积分

(4)从数学证明方法角度来看

直接法间接法 比较法、分析法、综合法、换元法反证法

(5)从变式推广来看,此题的结论以及变式可以在多种题型情形下应用,在此不一一举例.

笔者查阅资料后发现这个不等式与中学阶段的许多定理和知识模块都相关.例如，用正弦定理、双曲线等知识证明此不等式是自己以前不熟悉的,这大大影响了自己对于此不等式的教学.

3.作比较

笔者把这道题目在备课组会议上提出来讨论,发现有些班级正确率和自己的班级差不多,有的班好一些,做出来的大部分学生都是用的不等式放缩．询问同事平时是怎么讲授这个不等式的,和自己对于这个不等式的教学有哪些异同．发现那个同事在讲正弦定理和利用函数单调性证明不等式时,都用过此不等式的证明作为例题.相比而言,笔者嘴上强调实则平时重视程度不够.

三、教学反思

通过寻根溯源,笔者反思自己在讲授这个不等式以及自己的认识，发现有以下不足之处.

1.对知识点的理解

对于此知识点,笔者了解得比较片面,虽然口口声声说这个不等式多么重要,多么经典,多么实用,其实对它的认识讲解只存在于一些特定题型的解决,而对它的本质,它所涉及的数学内部知识点的联系,并未能深入研究,所以那怕再怎么在课堂上强调,学生其实也就记得讲的哪几种题型背景,不会联想迁移,更升华不到数学思想方法层面．这要求以后加强对业务的学习．因此在以后的教学活动中,课后要多搜集一些教学中所遇到的经典的不等式,方程,以及例题等,不仅仅是它们的证明,在哪些题目的处理上可以用到,还要了解它们在教材中的地位,在中学数学乃至大学数学各模块体系中的应用,证明方法所涉及的数学思想等,这样才能使自己的教学游刃有余.

2.对学情的把握

虽然这道题目错误率高，笔者首先想到的是自己教法的原因,但是凡是认为学生应该都会，实则没几个做对的现象出现在自己的教学过程中，其实就是自己对学情的错估,也是对自己教学方法的盲目认可.分析这道题目,背景简单,想到用放缩处理也不难,但是两者结合,学生拿到手立刻想到用固定的不等式模型就不容易了．作业的评价方式不只是批阅题目的对与错,还要和学生进行交流,询问错因,特别是对于错误率高的简单题,一定要倾听学生的声音,为什么解错了,那时候是怎么想的，等等.这样也是积累教学经验的一种手段.

3.与同事的交流

笔者往往和同事交流取经都是在教学过程中所遇到的难题、关键题的讲解,而对于简单的学生易错的题型却很少探讨、交流.其实，对于简单易错题也是非常值得拿出来探讨的,但是往往很多同行被忽略了．每次大考后统计试卷各班各小题的均分,总有班级在个别题型中遥遥领先其他班级,每个班级都有自己的“拿手项目”.每个题目均分高背后都有着深层次的原因,和同事的教学方法、教学理念肯定是有关的.一定要具体题目具体分析比较,向每位同事学习,取长补短.