立足课堂教学 提升核心素养——“平面向量基本定理”教学设计与实施

吴 云

(江苏省南京市第十三中学，210008)

随着新课改进一步深化,如何立足数学课堂,有效提升学生核心素养成为热题.本文以“平面向量基本定理”一课的数学设计与实施为例,对此进行探究.

一、教情学情

1.内容分析

平面向量基本定理深刻揭示了平面向量的基本结构,是继续深入研究向量的基础.同时,平面向量基本定理充分体现了化归的数学思想方法,即在应用向量解决实际问题时,我们可以选择适当的基底,将问题中涉及的向量化归为一组基底的线性组合,从而解决问题.

2.学情分析

授课班级是南京市某校高一年级的一个普通班,学生基础不够扎实,内秀胆小偏多,课堂氛围不够活跃.特别是刚进入高中,数学推理归纳能力、抽象能力不到位,数学表达比较欠缺.

3.教学重难点

教学重点是平面向量基本定理的认识和形成过程及应用.教学难点是实数对(λ1,λ2)的确定及理解.

二、课堂实录

1.回顾引入——一箭数雕

师:首先我们一起回顾前面所学的相关内容.

(1)一个人从点A到点B,再从点B到点C,则两次的位移之和是什么?

(2)向量的共线定理是什么?

(3)共线定理中的λ值是怎么确定的?这个值唯一吗?

特别通过追问:

(4)在a≠b的前提下,由a能够表示出哪些向量?

(5)若向量b与a不共线,还可以由向量a表示出来吗?

设计意图一是借助复习向量加法的三角形法则和平行四边形法则，为即将展开的平面向量基本定理的实践活动做准备.二是通过复习向量共线定理,特别是λ值的唯一性，为后面平面向量基本定理中的实数对的唯一性做好铺垫.三是通过两个追问,引发同学们的深度思考,现在面临着一个困境:由向量a(a≠0)可以表示出所有与a共线的向量,可是平面向量不仅仅只有与向量a共线的向量;若向量b与a不共线,则无法由a(a≠0)表示出来怎么办?

2.走出困境——架路铺桥

师:我们现在类比一下当初在代数中面临的一个类似困境:数轴上的点与实数之间是一一对应的,平面内的点与什么一一对应呢?

生:建立平面直角坐标系,平面内的点与实数对一一对应

师:很棒,现在一个平面向量a(a≠0)无法表示出与之不共线的向量,怎么办呢?能不能类比实数以及实数对给出想法呢?

生:再找一个向量帮忙.

师:找一个什么样的向量帮忙呢?与向量a(a≠0)共线的向量b可以吗?

生:不行,这样还是只能表示出与向量a(a≠0)共线的向量,所以这个向量一定与向量a不共线.

师:好的,如图1，请用不共线的向量e1,e2表示出向量a.

师:请问这里的λ1与λ2的值唯一确定吗?

设计意图(1)由“数轴上的实数过渡到平面直角坐标系中的实数对”类比到“由平面向量共线定理到平面向量基本定理”,由一维到二维的推广,使得平面向量基本定理的生成水到渠成.(2)课堂教学中教师应激发学生学习的积极性,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验.”(3)通过问题串的层层递进,由浅入深,由此及彼,培养学生类比能力以及化归能力,激发学生学习的兴趣和自主探索的精神

3.深入剖析——直击本质

师:如图2，能不能由不共线向量e1,e2表示出向量b(≠a)呢?

学生动手画图并展示.

师:能不能由不共线向量e1,e2表示出其他向量呢?(边说边用三角板绕着O点旋转得到一系列向量)

师:大家认为可以，那么请具体说说能够表示出哪些向量?

生:能够表示出与向量e1,e2共线的向量可以,因为共线向量定理就能够保证了;不共线的向量也可以,与刚才作图过程一致就能得到了.

师:很好,也就是说由向量e1,e2能够表示出平面内所有的向量.能不能请一位同学按照自己的语言陈述我们得到的结论呢?

生:如果向量e1,e2不共线,就能表示出平面内所有向量,且这样的实数对唯一.

这时,教师展示出完整定理(内容略).

师：请一位同学结合刚才我们作图的过程,说出这个定理中的关键词是什么?

生(顺利答出):不共线,任一向量a,有且只有一对实数.

设计意图一是从感性到理性,从具体到抽象,从个体到整体,从正面到反面,让学生全面深刻理解该定理的本质与内涵.二是“没有过程”=“没有思想”,教师通过不断追问,构建了新、旧知识的联系,培养了学生寻根问底的精神.同时多媒体技术演示与学生自己活动实践相结合,水到渠成得出平面向量基本定理,让学生切身体会到定理中的关键词.三是教育过程的规律表明,教师对学生的教育不是简单地给予,不单单是知识的传授，智力的发展、能力的培养、思维品质的形成,都必须通过学生的积极思维活动、积极实践才能实现.

4.典型例题——加深印象

师:一个平面内向量的基底有多少对?

学生们轻松答出:无数对,只要不共线就能构成基底.

给予足够时间,学生顺利解答出.

师:此图中还有哪些向量可以构成基底?

师:很好,你选择的依据是什么?

生:只要不共线的两个向量就能构成基底,而且还能表示出图中其他所有向量.

设计意图通过例题、练习,使学生牢固掌握知识,并转化为能力,巩固了对该定理的理解与运用,为后续学习做好铺垫.

5.反思小结——再度升华

师:通过今天的学习,我们都有哪些收获?

学生在教师的引导下，梳理本节课的主要内容.教师给予肯定，同时展示出课后练习供学生继续学习、探索,加深对定理的理解.

设计意图课堂小结从知识、方法和情感三个维度展开.首先对课堂内容进行提炼和升华,使学生有“会当凌绝顶,一览众山小”的感觉.同时学贵有疑,学贵有思,思才会有收获.再就是在学生最近的发展区提出这个问题，从课内延伸到课外,引导学生去思考、去探索,从而培养学生学习兴趣.

三、课后反思

1.尊重学生的主体地位

尊重学生主体地位,为学生探索新知提供条件，尽量把体验、尝试、发现的机会让给学生.本节课突出了学生“动手、动口、动脑”的主线,搭建学生深度参与环节:“回顾引入”帮助学生复习旧知,引入新知，“走出困境”给学生自主学习空间,鼓励学生类比联想，“深入剖析”层层递进,促进学生构建新知；“典型例题”强化学生感受新知,注重知识深化；“反思小结”促进学生对知识本质认识,对思想方法深入认识.教师心中要有学生,俯下身子“蹲”在学生的角度看待问题,要想学生所想,想学生所惑,想学生所难,只有这样才能切切实实调动学生的主观能动性.

2.尊重学生的学习规律

问题,是驱动学生思维的源泉.教学中,好的问题,可以启发学生的思维,形成有效的数学探究活动.因此,设计的问题要符合学生的实际.如果问题过大、过难,会造成学生无从下手,教师启而不发.当然,问题过小、过碎,也不行.要让学生处于“跳一跳,摘到桃”的状态,从而能持续驱动学生进行探究,激发思维.本节课中很多小台阶的提问，贴近学生的“最近发展区”,起点低,难度小,全体学生能够经历求知过程的体验.而进一步通过追问,让学生步步为营，水到渠成地概括出该定理.本节课中,从开始的困境到定理的形成,都是学生利用已有的知识、方法、思想“同化”出来的,教师帮助学生完成这些知识意义的建构,从感性到理性,从具体到抽象,从个体到整体,符合学生的认知规律,遵循了学生学习规律.

3.开发数学思维，提升核心素养

教学活动的关键就是培养学生的核心素养,课堂教学是落实核心素养的主要途径,而学生是落实核心素养的主体.首先教师要以核心素养为基础和目标,认真钻研新课程标准,多角度、多方式去深度整体把握教材,细心研读教材,挖掘教材、驾驭教材与整合教材;其次,合理安排教学活动,让教学活动真正“动”起来、“活”起来,真正做到“动态生函数名相同，只是角的形式不同，有的包含相同的角但函数名称不同，但是它们都有内在联系，即由α+β=α-(-β)的关系，可用公式C(α-β)推得公式C(α+β).若函数名不同这就要进行函数名的互化，利用诱导公式(5)(6)，即可推得公式S(α-β)，S(α+β)等.

成”,充分让学生理解知识的来龙去脉,享受学习过程中的乐趣,感受到数学的价值与魅力;最后教师要引导学生从数学角度去分析、提出并解决问题,在这过程中开发数学思维,培养学生核心素养,课堂执行做到扎实有效,真正实现课堂教学要以人为本、以培养核心素养为本的目标.