数学大概念视角下的单元教学设计*——以“向量的概念及其运算”为例

刘国祥 姚为荣

(江苏省宜兴中学，214200)

所谓学科大概念是指向学科核心内容和教学核心任务、反映学科本质、能将学科关键思想和相关内容联系起来的关键的特殊的概念[1].本文以“向量的概念及其运算”为例,谈谈大概念视角下单元的设计与教学,供参考.

一、立足要素分析,建构大概念

1.课标分析

课程标准指出，高中阶段学习向量就是以平面几何基本定理为基础,在建立向量概念、向量的运算法则的基础上,利用向量表示几何图形及基本关系,通过向量运算研究几何图形的性质．向量的研究路径为:背景引入(物理背景)→向量的概念与表示(符号与表示)→向量的运算与运算律→向量基本定理及坐标表示→用向量方法解决问题.

2.教材重组

比较人教版教材,对苏教版向量部分教材从知识发生、发展视角作适当调整,整合为两个主题单元:

第一单元:平面向量的概念与运算.内容:向量的概念,向量的加、减、数乘、数量积的运算法则及几何意义．将原教材中向量夹角提前至向量概念中,将向量数量积提前至向量线性运算中,有利于凸显单元的整体思想.

第二单元:向量基本定理及坐标表示.内容为平面向量基本定理及意义,用坐标表达向量运算,利用坐标处理几何问题.

3. 学情分析

要让学生达成共同的课程目标,学情分析是关键． 分析学生知识、能力的起点,特别是学生的思维障碍及突破思维障碍对策,在学生的已有知识与未知知识之间搭建思维支架,让教学贴近学生的“最近发展区”(如表1).

表1：概念认知障碍及其对策

4.单元概念层次分析及大概念的建构

在课标分析、教材分析、学情分析基础上,将向量的概念及运算的单元概念分层次构成一个金字塔(如图1)来进行分析.

塔尖是大概念:向量法．向量的工具性体现在利用向量来解决问题,解决问题的关键是将几何图形及其关系向量化,通过向量的代数运算解决几何问题.发展向量化观念是向量学习重点.

中层是核心概念:核心概念反映的是学科的主要观点和思维方式.这里的核心概念包括类比与概括．类比是一切创造发明的源泉;概念教学的核心是“概括”:将凝结在数学概念中的数学思维活动打开,经历以典型事例为载体,分析事例的属性,抽象概括出共同本质属性,归纳得出数学概念,向量概念及运算教学都经历类比与概括的思维过程.

重要概念:重要概念是知识结构的骨架和主干，这里的重要概念是向量,是研究向量运算性质的出发点.

塔基则是基础概念:向量四种运算法则,构成向量理论的基石，由此可建立知识间的纵横联系.

二、确定学习目标,发展大概念

传统单元学习目标设计以知识与技能为框架 , 以了解 、 理解 、 掌握等为达到知识水平层次的行为动词, 目标是否达成无法为测量提供证据. 在大概念理念下设计概念学习目标可分为三个层面:在知识层面上“知道”;从思维层面上“理解”; 从技能层面上“做”. 例如“向量的概念及其运算”单元学习目标的设计(如表2).

表2：单元学习目标

三、设计教学流程,实施大概念

本单元教学流程设计为:一是情境与任务．设计真实的情境,情境可以是与学生生活实际相关的问题,也可以是学生熟悉的跨学科情境,情境能引发认知冲突,从情境中提炼出与课题相关任务;二是问题驱动,设计学生活动;三是设计评价任务,促进知识迁移.

1.创设情境,引发任务

在向量概念的教学中，需要按照概念发展逻辑设置认知性问题,按照学生思维发展逻辑设置情境,通过类比引发任务(见表3).

表3：认知性问题及任务

2.设置关键问题，驱动概念进阶

问题是课堂教学的重要思维载体,以关键问题驱动概念教学,可以让学生超越知识与技能层面,进入思维层面,让思维在“问题链”中“浅入深出”．本单元关键问题的设计如下：

(1)向量的概括

①你能举出既有大小又有方向量？哪些只有大小，没有方向的量？如何理解自由向量？(建构向量的定义)②结合线段、有向线段表示，如何表示向量？(建构向量表示)③类比实数集中特殊元素，从向量长度视角来看有哪些特殊向量？(建构单位向量、零向量)④类比线段平行，从方向角度来看有哪些特殊向量？(建构平行向量、相等向量，相反向量)⑤类比线段相交，向量夹角如何定义？范围如何确定？(建构向量夹角)

(2)向量的加法、减法、数乘

①类比位移的合成，作向量的和(建构三角形法则)；类比力的分解，作向量的和(建构平行四边形法则).②用作图法证明向量加法的交换律(建构作图法证明结论).③类比实数减法法则，思考如何定义向量减法(建构向量减法).④思考如何定义向量λa的方向与长度(建构数乘).⑤分析向量λa与a的关系(建构向量共线定理).

(3)平面向量的数量积

①类比物理中功抽象出向量的数量积(建构数量积定义).②分析数量积与数乘向量的区别与联系(比较中凸显问题的本质).③数量积运算几何意义(建构向量的投影概念).④探究数量积的交换律、结合律、分配律、消去律(建构运算性质，强化概念理解).

3.设置评价任务,促进迁移应用

大概念体现的是学生对知识的深度理解,学习评价重点是在评价中将知识迁移到新情境中解决问题.评价任务设计要着力考虑以下因素:一是本任务是否为学生高层次思考?二是本任务是否联系到概念?三是该任务是否体现本单元关键技能?四是本任务是否解决真实情境中问题.

四、运用教学反思，巩固大概念

1.立足要素分析

进行课标分析,构建研究路径,重在价值引领;做好教材分析,特别是不同版本比较分析,重点研究知识联系,按照知识发展顺序构建知识结构图谱;从学情出发,分析学生认知障碍,寻求新概念的固着点,搭建思维支架,在已知与未知之间架设桥梁,构建思维主线．大概念重点体现在通过本单元学习留给学生的观念,如本单元向量法是解决问题的重要工具,有广泛应用;核心概念是思维主线,贯穿每一节课;重要概念是处于概念核心位置,是引发其他概念的出发点;从大概念出发,将重要概念、基础概念连接成统一整体,形成稳定的知识、方法结构,促进知识迁移.

2. 明确学习目标

单元学习目标有清晰指向:发展学生的大概念,如本案例发展学生向量法思想．在大概念视角下单元学习目标设计要求:一是课标分析、教材分析、学情分析是设计的依据;二是站在学生立场和角度考虑,对学生达到程度描述;三是学习目标要清晰,在课堂教学中可以测量、可以评估学生达到水平层次．从知识、思维、技能三个层面设计学习目标,能知道事实性知识,重点是记忆知识;能理解知识背后的思维方法,重在知识理解;能将知识用到新情境中去解决问题,重点在知识迁移.

3.完善教学流程

大概念教学让学生经历从真实情境提出问题、建构理论、解决问题的闭环过程,让学生感觉知识意义及价值．教学流程设计围绕四个关键问题(情境、任务、核心问题、教学评价)来展开．设计一个真实的、有趣的、与实际生活紧密联系的情境,让学生主动进入情境,情境能与所学知识联系起来,促进数学任务的完成,同时又为学生推理、意义建构提供机会;用数学的眼光观察情境,探究出“方向性”问题,将问题整合形成与课题相关的任务,任务为学生创造性思考提供氛围;将任务分解成几个探究性核心问题,在核心问题驱动下设计学生活动,经历概念概括的探索性过程,帮助学生用数学思维分析问题;围绕与课题相关的新的情境设置评价任务,重点评价知识迁移与应用,经历概念从提出、建构、应用的完整过程,帮助学生用数学的语言表达问题,提高核心素养.

总之，核心素养导向下的数学大概念，反映了数学学科的主要观点和思维方式，构成数学学科的骨架和主干，是数学思想的载体.利用大概念，可以建立起不同知识之间的纵横联系，将零散的知识整合，使知识体系结构化，实现知识与方法的有效迁移，促进知识向能力的转化.围绕大概念进行单元教学设计，可帮助我们从数学目标出发，将数学活动的每一个环节放到单元教学大系统中去考量，突出教学内容主线与知识之间的联系，对提高教学效果是十分有益的.