巧用阿氏圆解距离和差的最值问题

李慧华 张艳宗

(浙江省海盐县元济高级中学，314300)

我们知道,在高考的复习过程中,我们经常会碰到有关阿波罗尼斯圆的问题.如果条件中直接给出阿氏圆的定义式,相信大多数学生是能很快发现此圆的,从而解决问题.但是如果条件中阿氏圆比较含蓄,则可能此题的难度就大大增加,让很多学生束手无策.

此类问题,大部分人可能会运用设点P坐标的方式,再通过一定的代数变形来解决:

突破方法2构造完成后，根据构造函数和题目中出现的自变量值进行代入尝试，题目中看起来“莫名其妙”的代数式自然就找到了对应的函数值.

例3已知f(x)定义域为(0,+∞)，f′(x)为f(x)的导函数,且满足f(x)<-xf′(x),则不等式f(x+1)>(x-1)f(x2-1)的解集是( )

(A)(0,1) (B)(1,+∞)

(C)(1,2) (D)(2,+∞)

解析构造函数g(x)=xf(x),则g′(x)<0,所以g(x)为(0,+∞)上减函数,观察自变量为x+1及x2-1,则构造的不等式为(x+1)f(x+1)>(x2-1)f(x2-1),此时需两侧同时乘以因式(x+1),考虑定义域,解决符号问题,则将不等式转化成为g(x+1)>g(x2-1),问题解决.

构造法解决抽象函数不等式的过程关键在于构造,构造的过程类似于积分求原函数的过程,既要满足条件,又要能完成单调性的判断.所以在解决本类问题时应熟练掌握常见函数及其四则运算的导数,能迅速找到还原信息,并能抓住题目给定条件或待求式的自变量特征,将其与构造函数关联,从而完成问题求解.

此时点P为线段CD与圆C的交点.

这里还有几个结论:

(1)圆心与两定点共线;

(2)短线段对应的定点在圆内,长线段对应的定点在圆外.

这样,我们就可以借助动点P所在的定圆方程,利用待定系数法反解出定点E的坐标,从而将带有一定技巧性的代数变形转化为纯粹的代数计算.

很显然,相对来说,利用阿波罗尼斯圆找出定点E的坐标更加快捷、方便.

下面我们用此法再来看一道题.

解如图2，由于圆心C(1,0),故直线CA方程为:y=3x-3.

即x2+y2+(4-4t)x+(18-12t)y+2t2+2(3t-3)2-13=0.

在高考综合复习中,我们经常会碰到以圆为背景的向量问题．当我们建系后发现问题可转化为求解有关距离问题的,就可以尝试用此法解决.

有关阿波罗尼斯圆的试题虽然不常出现,但是一旦出现了,如果我们能选择合适的方法,会让我们的解题事半功倍.