关于解三角形的问题探究与教学思考

周云霞

[摘  要] “解三角形”是学生需要重点掌握的数学知识，以其为基础命制的考题涉及三角形的众多性质特征，以及相关的几何定理，其中正弦定理和余弦定理是解题突破的重要工具，在解三角形的考点问题中有着广泛应用. 文章对解三角形问题进行剖析，结合实例探究考点问题的解析策略，并开展教学思考，提出相应的建议.

[关键词] 解三角形;余弦定理;正弦定理;面积形状

问题综述

解三角形是高中数学的重点内容，以其为背景命制的考题涵盖了三角形的边、角、面积、三角函数、正弦定理、余弦定理等诸多知识，是综合性较强的问题. 解析时需要灵活运用正弦、余弦定理及其变形公式来转化求解. 教学该部分内容时对学生提出以下三点要求：一是强化知识联系，灵活运用关联知识处理综合问题;二是重视数学思想，关注几何背景下数形结合思想、方程与函数思想的运用;三是提升建模能力，能够结合实际问题来抽象几何模型.

考点探究

解三角形是高考的必考知识，相对而言问题难度不大，类型较为多样，但其中存在一些较为常见的考点，对该部分内容进行探究时需对其考点进行总结，提炼解法，形成相应的解题思路，下面结合实例对其考点进行探究.

考点一：直接利用正弦、余弦定理解三角形

正弦、余弦定理是解三角形问题的重要定理，常作为解题工具出现.实际运用时需要关注定理本身和相应的变形公式，加以灵活运用来转化简答.

例1：已知△ABC的内角分别为A，B，C，且内角所对的边依次为a，b，c，若sinB+sinA（sinC-cosC）=0，a=2，c=■，试求C的角度.

解析：本题目给出了三角形内角的三角函数关系以及两边长，求角C的大小. 首先需要从三角函数关系中提炼出三角函数值，然后利用正弦定理来求角C的三角函数值，从而确定角C的大小.

由sinB+sinA（sinC-cosC）=0可得sin（A+C）+sinA·sinC-sinA·cosC=0，进一步整理可得sinC（sinA+cosA）=0. 由于sinC≠0，所以sinA+cosA=0，则tanA=-1，考虑到角A的取值范围为（0，π），则A=■π.结合正弦定理可得sinC=■=■，又知0

评析：上述求解过程中，先由三角函数关系提炼出三角函数值，从而确定三角形的一个内角，然后基于正弦定理进行转化，推理出角C的大小，其中涉及三角形中的边角转化. 实际上运用正弦、余弦定理解三角形有两种转化思路：一是利用定理进行“角化边”，用以求解一些与数值相关的问题，如角的三角函数值、比值或边长等;二是利用定理进行“边化角”，可以求解与角大小相关的问题.

考点二：利用正弦、余弦定理判断三角形的形状

三角形的形状与三角形的边和角有着直接联系，利用上述两点可以直接确定三角形的形状，如若三边长满足a2+b2=c2或A=90°，则可直接确定三角形为直角三角形. 实际上解题时可以利用正弦、余弦定理转化出与角或边相关的条件，进而分析三角形的形状.

例2：在△ABC中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2■=■，分析△ABC的形状.

解析：题干给出了与角相关的三角函数，需要结合该条件来转化出与角或边有关的条件.

由于sin2■=■=■，所以cosB=■，根据余弦定理可知■=■，整理可得a2+b2=c2，故△ABC为直角三角形.

评析：解析时利用已知条件，结合余弦定理提炼出满足勾股定理的三边关系，从而确定了三角形的形状. 利用定理来分析三角形形状有两种思路：一是由关系条件来求解角的大小，二是根据条件来分析三角形的三边关系，尤其关注是否存在等边关系或满足勾股定理.

考点三：利用正弦、余弦定理求解三角形面积

利用三角形的两边长以及两边夹角的正弦值可以求解三角形的面积，而推理角的正弦值或计算边长时可以引入正弦、余弦定理. 实际解析时首先确定所求三角形的面积模型，然后基于模型来探寻所需条件，完成面积求解.

例3：已知△ABC三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2B=2sinAsinC，试回答下列问题.

（1）若a=b，试求cosB的值;

（2）若B=90°，a=■，试求△ABC的面积.

解析：（1）求B的余弦值，可以利用余弦定理，通过“角化边”来求解，根据条件可得b2=2ac. 又知a=b，可解得b=2c，a=2c，由余弦定理可得cosB=■=■.

（2）B=90°，因此△ABC为直角三角形，根据勾股定理可得a2+c2=b2，由（1）可知b2=2ac，因此有a2+c2=2ac，解得a=c=■，所以S△ABC=■a·c=1，即△ABC的面积为1.

评析：上述在求解三角形面积时根据条件可直接确定三角形为直角三角形，故后续只需求边长即可. 而对于一些一般三角形的面积问题，则可以根据已知角的大小或边长来构建模型，利用正弦、余弦定理来提炼所需条件.

考点四：考查解三角形的综合能力

教材对该部分内容的另一教学要求是使学生掌握从实际问题中抽象几何模型的方法，而在考查时常结合生活实际进行，该类问题突破时需分两步：第一步，依据实际场景来构建三角形模型;第二步，结合相关定理来完成条件转化.

例4：如图1所示，点A和B位于河岸的同一侧，而A和B两点无法直接达到，现需要测量A，B两点之间的距离，测量员首先在河对岸选定两点C和D，测得CD=■km，又測得∠ADB=∠CDB =30°，∠ACD=60°，∠ACB=45°，试求点A和B之间的距离.

解析：求A和B之间的距离需要构建相应的几何模型，转化为求线段AB的长，根据题意可绘制图1，根据信息可确定∠DAC=60°，所以AC=DC=■km.而在△BCD中，已知∠DBC=45°，根据正弦定理可得BC=■·sin∠BDC=■km. 在△ABC中使用余弦定理，可得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos45°=■，从而可解得AB=■（km），即A和B两点之间的距离为■km.

评析：上述测量两点之间的距离，获得了相关线段长和角度的测量数据，进行实际计算时构建了相应的三角形模型，利用正弦、余弦定理来进行条件推导，最后利用余弦定理的变形公式求得了线段长. 正弦、余弦定理是对三角形中的角大小和边长关系的描述，是对两者关系的解读，在解析时要充分利用、合理转化.

■教学思考

上述是对解三角形问题的探讨与考点剖析，其中正弦、余弦定理是解题突破的核心工具，在解三角形相关问题中均有着重要的作用，下面基于考点问题提出以下几点教学建议.

1. 认识定理内涵，形成解题策略

正弦、余弦定理是求解三角形问题的核心知识，是实现边角转化的基础定理，而在教学中首先需要引导学生对定理的内涵有着深刻的认识，然后再开展定理的变形探究，使学生掌握两个定理的多种形式，可以适当结合变形训练来强化学生记忆，提升学生在解题应用中的灵活性. 解三角形问题一般按照“角化边”和“边化角”两种思路进行突破，教学中需要引导学生认识两种思路的异同点，以及解题应用的注意点，帮助学生形成求解三角形问题的方法策略.

2. 突破思维定式，注重解题联想

学生在学习解题时容易陷入思维定式，采用照搬套用的方式来解题，这样的解题方式有着极大的弊端，容易偏离解题方向，造成错解、漏解. 对于解三角形问题，如不能把握问题核心，使用定理则会遇到思维障碍，教学中需要引导学生关注问题特点，采用类题剖析的方式来进行解法剖析，同时注重学生联想思维的发展. 例如对于涉及与三角形内角相关的sinA、sinB或sinC时，可引导学生联想正弦定理进行关系转化，而涉及cosA、cosB或cosC时，则联想余弦定理开展边角转化，联想教学的方式有助于拓展学生的解题思维.

3. 关注数学思想，提升综合素养

上述解三角形问题中涉及数形结合、边角转化、构建模型等过程，实际上是对数学思想的解题应用，即可以通过几何图像来充分认识问题，利用化归转化思想来转化问题条件，在实际问题中利用模型思想来构建解题模型，因此只有掌握数学的思想方法才能从根本上提升学生的解题能力. 在教学解三角形内容时需适度渗透数学的思想方法，結合数形结合思想引导学生完成定理的证明，使学生充分认识运用定理开展“边角转化”的思想内涵，在综合运用阶段使学生体验模型构建的过程，从而深刻感悟数学思想，通过发展数学思想来提升学生的综合素养.