高中数学教学中运用合情推理模式初探

严佳云

[摘  要] 在数学教学改革与新课程改革的双重攻势下，数学核心素养已经占据到一个十分重要的位置，学生创新能力的培养受到了极大的关注. 培养创新能力的途径众多，笔者认为，若想将学生的创新能力培养落到实处，就需将合情推理能力的发展置于首位. 文章介绍了概念、公式、定理和法则教学以及解题教学中合情推理的应用，从而帮助学生积淀合情推理的活动经验，以促进学生的创新能力.

[关键词] 高中数学;合情推理;创新能力;活动经验

合情推理是人们重要而又常见的一种思维形式，同时也是核心素养中的一项重要推理形式，因此合情推理能力的培养是数学教育的核心内容之一[1]. 所谓合情推理，就是指从已有知识经验、能力水平出发，置于某种情境及认知过程中，去经历观察、归纳、猜想、类比的过程，继而推出合情合理结论的一种思维方法. 高中教材中也多处呈现合情推理的教学，日常教学中，不少教师也沟通了合情推理与演绎推理的教学，有意识地去培养学生的合情推理能力，却无法有序系统地实施. 如何展开教学？从哪些角度切入去培养合情推理呢？本文着重对此进行了论述，旨在将合情推理应用到數学教学中，积淀合情推理的活动经验，以促进学生的创新能力的发展.

让学生经历概念活动过程，积淀合情推理的活动经验

学生对数学概念的深度理解，就需要将其纳入原有认知结构中，在使新旧知识发生同化的过程中，才能实现真正意义上的理解，这种意义上的同化是一种实质性的联系，是合情合理的. 因此，在数学概念的教学中，要使学生真正理解数学概念的最直接方法莫过于将合情推理纳入概念的教学中，从而逐步渗透概念本质.

案例1：以“等比数列的概念与性质”的教学为例.

等差数列的概念与性质是学生建构等比数列概念的基础. 据此，笔者首先创设问题情境：还可以考察什么数列呢？由于认知结构中已有等差数列的知识基础，学生深入思考，较易联想到与等差数列相关的数列. 为了促进知识的自然生成，笔者试图引导学生将所需探究的问题自然引出. 学生的思路很快形成，有的学生提出与等差数列相关的一些具体数列，也有一些学生能类比“差”得出“和”“积”“比”等数列. 接下来自然是引导学生列举说明，进而在学生展示思维过程中，充分挖掘出其中的规律，并与教材中的相关知识相融合，提高对概念本质的深度和全面认识，利于学生联系合情推理的数学思维与意识.

案例2：以“双曲线的标准方程与性质”的教学为例.

高中生都有着数十年的数学学习经验，也掌握了一定量的数学知识，自然也有了自己的认知结构与知识结构. 在“双曲线的标准方程与性质”的教学中，教师宜用类比来充分发挥学习先行组织者的作用. 考察双曲线时，将双曲线的性质与椭圆的性质、双曲线的研究方法与椭圆的研究方法进行类比，来勾画知识框架，为双曲线的学习提供知识经验. 在整个过程中，需要我们教师通过点拨、引导和启发来培养学生的观察力和洞察力，让学生感受到性质的相似性，从而使获得的知识呈现系统化和结构化.

让学生经历公式、定理和法则的探究过程，积淀合情推理的活动经验

众所周知，数学家们提出数学的公式、定理和法则的过程都充满趣味，也富含合情推理的精彩演绎. 在教学公式、定理和法则的过程中，教师可以设计数学家们的探究历程，让学生重蹈伟人的“发现之路”，让学生在扮演“数学家”的模式下，体验思维困惑，创造数学发现，形成思维冲突，在不断归纳、发现、观察、猜想中，逐步领悟合情推理的方法.

案例3：以“二项式定理”的教学为例.

问题1：尝试去计算（1+10%）10的结果;再试一试，是否可以计算出（a+b）n的结果？

问题2：计算（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4，观察计算结果，是否有发现？

问题3：从刚才一系列探究规律中，可以得出（a+b）n的计算结果吗？

设计意图：问题1直接抛出所需探究的问题，引领学生经历n=1，2，3，4的探究过程，并期待学生可以从特殊到一般的规律中归纳得出（a+b）n展开式的结果;问题2以简单问题为起点，设计一系列连续问题，并在对计算结果的探究过程中，发现展开式的字母、系数、项数和指数之间的关系;问题3旨在启发学生的数学思考，总结和归纳发现的规律，进一步提炼得出二项式定理. 在启发探究的过程中，在以上3个“问题链”的引导下，以及教师的追问和点拨中，让学生建构一个从一般问题转化到特殊问题，再从特殊问题到实现一般结论的归纳，从而得出结论.

案例4：以“正弦定理”的教学为例.

问题1：已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，是否可以利用其他的边角表示斜边c？c=■=■=■

问题2：根据以上探究结果，此式是否成立于任一三角形中？

问题3：以实例探究锐角△ABC以及钝角△ABC中，边、角所满足的关系式.

问题4：试归纳概括正弦定理. （任一三角形中，每条边与之相对角的正弦之比相等，即■=■=■）

设计意图：此案例的设计，以执教三角形为起点，设置一系列的探究活动，引领学生去猜想、去证明、去归纳，旨在将问题活生生地展现在学生面前，最终引导学生感知其中蕴含的思想方法，感悟定理的形成过程，促进正弦定理的自然建构，这些都是在学生的亲身体验中发现的，充分体现学生学习的主体性.

让学生经历解题的过程，积淀合情推理的活动经验

波利亚曾说：在解题中，要合情推理，要学会猜想. 由此可以看出，合情推理的思维方法可以为猜想提供依据，可以为解题困顿寻求一条出路. 近年来，合情推理的题型备受青睐，一跃成为高考的热点问题. 在解题活动中，无论思路是否形成，都可以去猜测答案，或是猜测答案的范围、形式，又或是解题方向，通过合情推理，使解题思路逐步显现[2].

案例5：以归纳推理为例.

有5名学生围坐成一圈，并依照次序循环进行“報数游戏”，游戏规定：

①第1名学生首报数字是1，第2名学生首报数字也是1，之后每名学生所报数字都为前两名学生所报数字之和;

②当所报数字为3的倍数时，报出数字的该名学生必须同时拍手一次.

若小红是第1名报数的学生，当5名学生依次循环报至第100个数时，小红共拍手多少次？

设计意图：本题主要是对学生推理能力、运算能力的考查，若以求解斐波那契数列的通项为突破口进行解决，则呈现繁难的情形;若从合情推理的视角着手，以限项1，1，2，3，5，8，13，21，34， 55，89，…即可归纳得出“第5名学生开始所报数被3除的余数为前2名学生所报数被3除的余数之和，因此a4n为3的倍数”. 借助数列{bn}来表示小红依次报出的数字，则有bn=a5n-4，令5n-4=4k，k∈N*，则n=■∈N*，k≤25，k=4，9，14， 19，24，从而得出小红拍手总次数为5次.

案例6：以类比推理为例.

已知数列{an}的通项为an=（2n-1）·2n，试求出该数列前n项和Sn.

解：欲求Sn，借助错位相减法，即Sn=1·2+3·22+5·23+…+（2n-1）·2n，可得2Sn=1·22+3·23+5·24+…+（2n-1）·2n+1. 两式相减，可得-Sn=2+2·22+2·23+…+2·2n-（2n-1）·2n+1，由此可得Sn=（2n-3）·2n+1+6. 再将以上方法类比推广：已知数列{bn}的通项为bn=n2·2n，试求出该数列前n项和Tn.

解：因为Tn=12·21+22·22+…+（n-1）2·2n-1+n2·2n，所以2Tn=12·22+22·23+…+（n-1）2·2n+n2·2n+1. 两式相减，可得-Tn=21+3·22+5·23+…+（2n-1）·2n-n2·2n+1？摇？摇=（2n-3）·2n+1+6-n2·2n+1. 所以Tn=（n2-2n+3）2n+1-6.

设计意图：此题的设计意图是演示和推广“错位相减法”的应用，引领学生在亲身经历中，对此方法有一个深刻的认识，而本题的精妙之处在于它不仅展示了方法，同时还为问题的解决供给了结论.

杜威有句至理名言：一盎司的经验远胜过一吨的理论. 数学教学的过程就是实现经验“改造”的过程. 在合情推理的培养过程中，教师创设开放式的教学情境，给予学生充足的时间和空间，让学生去发现、去观察、去思考、去探究、去类比、去归纳、去猜想，让学生在不断地经历的过程中逐步积淀、充满感悟的经验.

参考文献：

[1]  秦丹丹. 新课标下高中数学合情推理内容教学现状的调查研究[J]. 东北师范大学，2011（12上）.

[2]  于静宜. 新课标下培养学生合情推理能力的教学尝试——基于一节数学课的归纳推理教学设计[J]. 中学数学杂志，2011（03）.