生成比预设更可贵

王慧

[摘  要] 学习是一个以学生为主体的知识结构生成的过程，知识的习得是一个涉及感性认知、理性总结以及实践运用的动态生成过程，如何平衡教学预设与学生自主知识生成之间的矛盾一直以来是令教师们头疼的难题. 笔者认为从教学的本质目的出发，教师的课堂预设固然重要，学生的内在生成过程才是教师最应该关注的，文章选取了一个较为成功的教学案例作为具体阐明观点的事例.

[关键词] 生成性教学;课堂预设;解三角形;高考题改编

前言

研究认知心理学以及现代教学理论的结论可知，学习是一个以学生为主体的知识结构生成的过程. 知识和单纯的信息不同，它需要知识接收者的主观参与，知识的习得是一个涉及感性认知、理性总结以及实践运用的动态生成过程，因此知识本身是不能被简单传递的，知识的传授需要教师结合学生的认知能力和实际的教学情况灵活调整教学策略，教师需要化主导为引导，提供线索以帮助学生内生出对于知识的理解和感悟.

为了把握教学进度，保证一定的课堂效率，教师需要在课前备课并对教学过程以及教学效果进行一定的预设，如何平衡教学预设与学生自主知识生成之间的矛盾一直以来是令教师们头疼的难题. 笔者认为从教学的本质目的出发，教师的课堂预设固然重要，学生的内在生成过程才是教师最应该关注的，即要更多地关注学生得到了什么，而不是只盯着自己教了什么. 笔者也为解决此问题做出了很多尝试，本文中笔者选取了一个较为成功的教学案例作为具体阐明观点的事例，以一道高考改编题的多种解法为切入点，希望能给各位读者就如何平衡预设与生成这一问题带来一些启发.

改编问题与课前预设

1. 原题再现

原题：已知△ABC中，若已知AB=2，AC=■BC，则S△ABC的最大值是______.

原题解法：解决本题的常用方法有两个，第一种方法是利用解三角形中的余弦定理，将本题转化为关于边BC的函数最优化问题，这种方法在思维上十分自然，绝大多数学生都会采用这一思路来解题，不过此方法也会带来较大的计算量;第二种方法是运用数形结合思想，由■=k（k>0，k≠1）联想到C点的轨迹是一个阿波罗尼斯圆，通过建立直角坐标系以解析几何的方法计算出面积的最大值，第二种方法虽然巧妙，但是很少有学生能够想到.

2. 例题改编与教学预设

若△ABC是一个等腰三角形且以BC为底边，现已知某一腰上的中线长为2，试求该三角形面积的最大值.

新旧问题关系：中线将大三角形分成面积相等的两部分，因此求大三角形面积的最大值可以转化为求任一小三角形面积的最大值，而求小三角形面积的大致思路与原题呼应，而通过模糊边长的具体数值，突出其比例关系，笔者希望能够引导学生回忆起阿波罗尼斯圆的概念，并积极应用有关方法解决问题.

课堂预设：由于学生平时对于解三角形的知识方法较为熟悉，故学生的第一反应是利用余弦定理解决问题，同时教师需要给出适当的提示和点拨，学生才能想到建系，利用阿波罗尼斯圆的思想转化问题，本节课的重点放在阿波罗尼斯圆方法的介绍上.

课堂教学过程展示

笔者先讓学生进行了一段时间的自主思考，然后让学生分享自己解决本问题的方法. 和预期一样，第一位发言的学生A提出了基于余弦定理的解法：

如图1所示，设AD=a，AB=2a，则可得cosA=■=■，根据A∈（0，π）以及同角三角函数关系可知sinA=■，所以S■=■·2a·2a·sinA=■■，同时根据三角形三边之关系可得■

在学生A展示完方法后，学生B提出通过同角三角函数关系计算sinA比较麻烦，可以换一种思路转化问题：由cosA=■=■可知a2=■，则S=■·2a·2asinA=■（0

即A=α0时，S■取得最大值，则可得此时sinA=■，（S■）■=■.

这种方法虽然也从余弦定理出发，却采用了一种很巧妙的转化，一定程度上减少了计算量，同时结合了导数的知识，将问题结构体现得更加清楚，这有些出乎笔者的意料. 紧接着，学生C提出不利用导数的知识也可以解决该问题：

得到S=■后可直接通过万能公式将其转化为S=■，再由基本不等式可知，当且仅当tan■=■时，S■=■.

笔者在课堂上并没有着重强调万能公式，这位学生却能够将其内化并灵活使用，这着实让笔者感到惊喜. 此时课堂时间已经过去将近一半，学生们反应热烈，仍不断有学生举手示意，想要分享自己的解法，笔者还没有按照课堂预设介绍阿波罗尼斯圆的方法，但由于坚信多给学生一些自主生成的空间能带来更好的教学效果，笔者没有打断学生的交流.

学生D提出还可以利用重心挖掘数量关系：如图2所示，连接顶点A与BC的中点E，与BD相交于G，易知G是△ABC的重心.

因为BD=2，则由重心的性质可知，GD=■，GB=■. 设∠DBC=α，由于△ABC等腰且E是底边BC的中点，所以∠AEB=90°，则BE=■cosα，BC=■cosα，则可得S■=2S■=2×■×DB×BC×sinα=2×■×2×■cosα×sinα=■sin2α.又0<α<■，所以0

这位学生注意到了等腰三角形三线合一的几何性质，跳出了余弦定理的思路，转而利用重心带来的比例关系解决问题，不失为一个新颖有效的方法，笔者表扬了这位同学并借机引导学生向他学习，广泛联想，学会挖掘出题目中的隐藏信息.

此时学生E提出可以利用解析几何的方法求该最值：

如图3所示建立平面直角坐标系并设B（-m，0），C（m，0），A（0，n），则可得D■，■. 因为BD=2，所以可得■+■=4，即9m2+n2=16. 又9m2+n2≥6mn，当且仅当3m=n时取得等号，所以6mn≤16，mn≤■，则S■=■×2m×n=mn≤■，最大值为■.

紧接着学生F提出在学生E的思路上，可以用三角代换的方法更准确地刻画S■的变化：

在9m2+n2=16中，可令3m=4cosθ，n=4sinθ，即m=■cosθ，n=4sinθ，则面积可以表示为S■=mn=■sinθcosθ=■sin2θ，易知θ可以取到■，则S■=■.

这两位同学吸收了数形结合的思想方法，他们分享的两种解法引起了其他学生的极大兴趣，但可能是由于思考时间较短的问题，学生没有再提出新的解决方法. 见学生思考遇到了瓶颈，笔者顺着前面两位学生的方法，引导学生继续沿着数形结合的思想探索下去，并提示他们关注AB=2AD这一条件，很快思路被打开的学生想到了阿波罗尼斯圆的方法：

沿BD方向为横轴正方向，以其中点为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，则可得B（-1，0），D（1，0）. 设A（x，y），由AB=2AD可得■=2，即■=2，化简后可得x-■■+y2=■，即A的运动轨迹是一个以■，0为圆心，■为半径的圆（不包含与横轴的交点），对于△ABD，轨迹上的点到BD的最长距离为■，所以（S△ABD）max=■，即（S△ABD）max=■.

一节课下来笔者只完成了对一道改编题的探究，若是以课堂预设为标准，本节课必然称不上是高效的，但是课堂教学的目的不是简单地传递信息，而是引导学生内生出对于知识的理解. 本节课上学生的思维被充分激发，且课堂讨论氛围十分热烈，绝大多数学生都在积极参与思考，从这个角度观察，本节课实际上是颇有成效的.