基于高考新方向，探析立体几何解题思路

周鹏

【摘 要】 立体几何系列内容隶属形象思维考查核心考点。训练学生立体几何解题思路，要立足“奠基、形象、图解、取巧”四个方面进行培养，在实战训练中养成逻辑清晰的思路，在高考中，学生才能“扣核心，抓重点，费时少”，达到高效解题的目的。

【关键词】 高中数学;立体几何;解题思路

在近几年高考数学习题中，立体几何占据的比重呈增长趋势，已引起广大教师的关注。在常规演练中，对于立体几何数学问题，“抽象易混淆”是出现在学生思维上较为普遍的现象，因此，如何指导学生进行立体几何求解过程，便成为教师需要研究的问题。培养学生解题思路，教师应突破常规，尝试引导学生摸索客观规律，采用模型建构、类比转换等取巧方式，高效进行求解。

一、梳理剪切，建构模型

“外接”“内接”是现今立体几何试题中出现频率较高的数学问题，且在高考数学中也常有应用。针对试题的发展方向，教师应因时制宜，探析新型解题思路，模型建构便应运而生，能够有效梳理学生的解题思路，厘清头绪，直击考点核心。

例如，在2017年全国卷中有题：“已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径。若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为多少？”学生在解决这道题时，通常采用“臆想”的思维解决，这便会出现思维片面或混淆不清的情况。笔者便建议学生先尝试根据题意画出“简图”，再依据简图考虑符合题意的“点”“面”存在几种情况，之后尝试套用题中已知内容，解决问题。这类习题属于典型的“接切”问题，学生便在引导下先画出简图，再利用已知条件找出球心，算出半径长度为3，再利用球表面积公式得出结果为36π。

“外接球”是立体几何的考点核心，其考查范围也是比较稳定的，题目的类型虽然多样，但万变不离其宗，其重点便是“找球心，算半径”。学生建构起解题的框架模型，利用这种思路去解决未知问题，能够大大提高解题效率。

二、渗透文化，换算单位

高考试题内容越来越贴近生活，趋于“抽象的外壳，朴实的内在”，将简单的问题扩展到难以求解的地步。针对这种情况，笔者便引导学生采用“透析表象”的形式，弱化题目的难度，渗透文化观，简化求解问题。

例如，在2015年全国卷中有题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”学生在接触到问题时，在厘清题意时便十分吃力，其实此类问题的重点在于单位的换算，这属于传统文化类型题，其余的解题思路便在于审清题意，再运用日常所学知识进行求解。“屋墙内角”，可以读出其实形状就是个圆锥，由弧长便能够求出底面半径为，求出体积V=。题中给出的选项单位是“斛”，此时便需向学生渗透文化知识，如“斛”与“尺”，1斛米的体积为1.62立方尺，这便是学生解决此类问题的关键点，学生了解这种单位之间的关系，通过常规运算便能迅速得出答案。

高考试题逐渐向“实用”转化，一些传统的数学知识也会划分到高考内容中，所以在日常指导学生形成立体几何解题思路时，要渗透一些单位的知识内容，使学生在练习中熟练运用，在高考中才能不会被“表象”击倒。

三、巧妙转化，寻求最简

所谓“取巧”，便是转换思想的体现方式，将三维的几何图形转换为二维层面去考虑，学生在解题中才能更加具体直观地思考问题。

例如，在2018年全国卷中有题：“某圆柱高为2，底面周长为16，圆柱表面点M在正视图中A位置，表面点N在左視图点B位置，求解MN之间的最短距离（圆柱三视图略）。”学生观察发现，点A在正视图左上角位置，点B在左视图右下角位置。学生经过“头脑风暴”后，直接得出最短距离为高线2，这便是学生“轻视”问题导致的现象。此类题型，笔者建议学生分析题意，首先将三维立体图形转化为二维平面图形，通俗讲便是采用裁剪圆柱，画出侧面展开图，探究点位置。学生作出侧面展开图简图，将点A、点B的位置注明，这时便适当引导学生，联系二维展开图和三维立体图，观察标注位置是否符合题意，学生在正确注明位置后，便发现原本复杂的内容其实就是“勾股定理”的简单应用，点B位置位于底边的处，运算即可得出结果。将这种方式作为处理问题的一般步骤，学生在解决问题中便能做到“精准、高效”。

经过巧妙的转化，学生能弱化立体几何图形的抽象效果，寻找到简洁的求解方式。在高考试题中，立体几何题型通常为选择题型和填空题型时，对于解题过程要求并不单一。因此，要简单高效地得出正确结果，便需锤炼学生的解题思路，选择最简方式。

高考题每年都会改变，但核心内容其实是基本一致的。学生的解题思路均是源自“透析表象，紧抓实质”，能够抓住问题的关键点，问题就已经解决了一大半。训练学生关于立体几何的解题思路，通过建模、渗透、转化方式方法，学生能够充分理解问题，掌握解题技巧，从而在高考立体几何考查中使其成为个人的“优势点”。

【参考文献】

[1]张进义.浅谈高中数学解题思路以及解题能力的训练[J].数学学习与研究，2020 （02）.

[2]赵密密.从一道课本例题谈分式的化简求值问题[J].初中生世界，2016（15）.