两类带状态依赖脉冲效应的捕食-食饵模型的动力学

刘艳

【摘 要】 文章主要分析了两类带状态依赖脉冲效应的捕食-食饵模型，通过对其进行讨论分析，探究了在投放与不投放天敌状况之下系统周期的稳定性以及存在性问题，获得了对应的控制参数临界值，通过对其进行模拟分析，为相关研究提供参考与支持。

【关键词】 两类;带状态依赖脉冲效应的捕食;食饵模型;动力学

探究两类带状态依赖脉冲效应的捕食-食饵模型的动力学，利用生物数学的方式进行食饵模型的分析，可以达到优化参数的目的。对此，通过分析两类不同的食饵模型，在生物数学的支持之下，研究分析其内在的规律特征，有利于生态保护工作的开展。

一、两类带状态依赖脉冲效应的捕食研究分析

生物数学就是通过数学知识解决生物问题的重要学科，其融合了生物学以及数学专业知识，主要是通过数学方法以及技巧解决生物学的问题，在理论上对其进行深入研究，有利于当代生物学的发展及在各个领域中的广泛应用。生物动力学是生物数学中较为重要的分支学科，通过研究分析生物系统中相关生物以及状态在不同时间中产生变化的规律特征，利用对应的差分方程、时滞微分方程以及脉冲微分方程等相关微分动力系统对生物系统进行描述分析。

随着生态问题日益严重，人们的生产生活也受到了不同程度的影响，通过微分动力系统进行生物模型，可以充分了解生物种群以及生态系统中產生的变化规律，进而为人力保护生态环境、害虫治理以及预防生态系统等提供有效的参考与支持。对此，通过微分动力系统进行生物模型研究具有重要的价值。

二、探究两类带状态依赖脉冲效应的捕食-食饵模型的动力学

根据实际状况分带状态依赖脉冲效应的型捕食-食饵模型，利用首次积分以及数学方式分析讨论此模型的正周期解及其存在的稳定条件，证明了系统正周期解或者不存在及其在存在但是不稳定状况中的状况，表明了此模型在生物脉冲中的必要性，也就是在害虫数量达到特定阈值或者小于某个数值的时候，要投放特定量的天敌，则可以达到控制病虫数量的目的，通过结果分析论证了在产生生物脉冲系统的时候正周期解的稳定条件，在理论上优化了传统的方式。

1.HollingII型捕食-食饵模型分析

治理害虫是生态学以及生物数学中较为复杂的问题，在环境变化、人类行为的作用与影响之下，会造成生物数量出现不同程度的变化，这种变化会产生不同程度的影响。对此，可将动力学系统与脉冲融合，将常微分系统转化处理形成对应的脉冲微分系统。同理，治理害虫中通过喷洒农药以及投放天敌的方式会在短时间中减少害虫数量，这样就会产生对应的带脉冲效应的捕食-食饵模型。多数系统分析的都是固定时刻中产生的脉冲，也就是在固定的时刻中进行处理，每次采取措施的时间也是固定的。在一些生物模型中，在害虫数量达到某个特定阈值的时候才会采取一些措施。对此，一些学生就对状态依赖脉冲微分系统进行了研究分析，在害虫数量达到阈值的同时喷洒农药或者投放天敌，就会忽略杀虫剂对天敌产生的影响，也就是杀虫剂在杀死害虫的同时也会杀死天敌，这样就会增加成本。同时，忽略天敌对害虫产生的控制与影响，只要害虫数量已经达到了阈值就进行处理，此种方式缺乏合理性，主要是因为一些害虫数量虽然达到了阈值要求，但是并没有达到必须要应用杀虫剂控制的时候，可以通过生物方式进行控制，这样就会减少农药造成的污染与影响，也可以有效地控制害虫数量。因此，在不同时刻中投放天敌以及喷洒农药的生物模型便产生了。在害虫数量达到阈值的时候，通过投放天敌的方式可以有效地减少害虫的增加速度;在害虫数量呈现持续增加并达到了更大的阈值的时候再喷洒农药，就会在短时间内减少害虫的数量。在喷洒农药之后也会减少天敌的数量，其主要生物模型如下：

害虫数量在达到一定阈值的时候投放天敌，则害虫数量不变，但是天敌数量增加，就会减少害虫数量增加的速度。在害虫数量增加到一定阈值的时候通过杀虫剂进行控制处理，就会减少害虫的数量以及天敌的数量。

通过构建Poincare的方式映射，通过定性分析的方式进行处理，则可以确定系统在半平凡周期解中存在以及稳定状况之下的正周期解存在的条件参数，为了验证结论是否正确，就要对其进行数值模拟分析。通过分析可以发现，不投放天敌状况之下，每次喷洒杀虫剂数量对于害虫的控制系数较大的时候，可以将害虫的数量控制在（0.3，0.6）的区间范围内，杀虫剂也会对天敌产生影响。因此，天敌数量在时间的推移之下会逐渐趋于零，系统呈现平衡的状态。但是，如果每次喷洒杀虫剂数量较小，其对于天敌的作用不大，在此种状况之下，天敌会呈现自然繁衍状况，害虫则会被有效消灭。而天敌数量的增加也会造成系统崩溃的问题出现，因此，如果想要合理地控制害虫的数量，保持系统平衡性，就要合理控制杀虫剂数量，将害虫与天敌的数量控制在可控的范围内。

通过设置两个脉冲面的方式进行模型改进优化，利用几何方法以及定性分析几何的方式研究系统，是一种全新的方式。

2.一类带脉冲状态依赖的一型捕食-食饵模型的动力学分析

捕食-食饵模型动力学分析是研究的重点内容。为了达到减少病虫数量的目的，人们通过定期喷洒农药或者投放天敌的方式进行处理，通过在固定的时刻中同时投放天敌或者喷洒农药的方式进行处理是研究的重点。但是如果没有分析害虫数量，就盲目地定期处理缺乏实践性，不仅会增加成本，也会造成环境污染。因此，相关学者提出在害虫数量达到一定数值的时候再进行控制的状态依赖脉冲控制系统，此种方式虽然有效，但是因为其没有分析农药对天敌产生的影响，导致农药造成天敌的死亡。分析在不同时刻中喷洒农药以及投放天敌的模型则被提出，如下：

通过带脉冲状态依赖的一型捕食-食饵模型研究论证在不发生生物脉冲状况之下，此系统正周期解或者不存在，分析是否稳定性，利用数值模拟的方式证实分析其结论信息，利用映射或者首次积分的方式获得其发生生物脉冲，通过分析在投放天敌状况之下系统在正周期解的条件之下生物脉冲量属于控制便令，通过证明确定在其小于特定的阈值条件之下系统正周期解是存在的。同时，在其初始值满足特定条件的状态之下，系统正周期解是呈现局部轨道稳定状态的，系统则呈现平衡的状态。

通过分析如何保障系统周期解的稳定性，在系统达到平衡状态之下通过映射以及首次积分、定性分析等方式获得控制变量的临界值。

通过脉冲微分方程描述生物系统构建的模型更加符合实际状况，模型有效性相对较高，主要是因为脉冲微分系统可以综合瞬间的突发状况对于生态系统中各个生物以及状态产生的即时影响，其更为深刻，可以精准地反映此种状况之下生物的变化，符合生物系统。对此，在生物系统中广泛应用脉冲微分系统，在种群生态动力学系统以及微生物连续培养模型、药物动力学模型等领域中应用广泛，效果显著。