遵循“思意数学”教学设计原则的教学实践

林伟 梁春霞 陈峥嵘

摘要：“思意数学”教学设计依据学习理论、教学理论、传播理论，按照以陈述性知识为主、以程序性知识为主和以策略性知识为主的设计思路，遵循目标性原则、互动性原则、系统性原则，探索公式课教学设计，解决教师的“教”与学生“学”的关系，从而落实数学核心素养。

关键词：思意数学;教学设计;教学原则;基本不等式

一、“思意数学”教学设计理论基础

（一）“思意数学”教学设计依据学习理论当代学习理论主要有行为主义学派和认知学派这两大学派。行为主义学习理论重视控制学习环境，尊重学生自定步调的个别化学习的策略，重视客观行为与强化的思想，特别是在行为矫正（即态度的学习）方面，强调外部刺激的设计，如果学生出现正确的反应，应及时予以强化，主张在教学中采用小步子呈现教学信息。

（二）“思意数学”教学设计依据教学理论

学习理论虽然本身并不研究教学，但教与学联系非常紧密，为教学设计提供了许多有益的启示。揭示教学的本质和规律是教学理论的任务。进行教学设计要重视教学系统的实效研究，不仅要有正确的学习观，还要对教学规律有清楚的认识。

（三）“思意数学”教学设计依据传播理论

传播理论探讨的是人的认知共同规律。传播理论不仅仅研究教学现象，师生之间、生生之间的交流就是一种双向信息传播的过程，借助传播理论解决教与学现象，从中可以寻找一些教与学的规律。

基于依据上述理论，“思意数学”教学设计思路主要有以下三方面。

1.以陈述性知识为主的教学设计。该设计思路主要是让学生提取与回忆重点知识，理解新旧知识之间的联系，建立学生的认知结构的过程。在设计中要体现出学生的活动过程和活动内容。注重学生获取知识的过程。

2.以程序性知识为主的教学设计。该设计思路主要是按照一定操作规程而获得新知识。设计从中包括设计思想、教材分析、学情分析、教学目标、过程设计、多媒体及教学实践活动后的反思等内容。

3.以策略性知识为主的教学设计。该设计思路主要是根据学生自身的认知水平，自我调节认知活动的策略，所设计的教学过程必须符合所教学生的实际情况，具有可操作性和实效性。

它们之间关系如下。

根据上面的理论和思路，“思意数学”教学设计主要遵循以下几方面原则。

二、“思意数学”教学设计遵循的原则

（一）“思意数学”教学设计遵循目标性原则

现代教学理论强调教学设计的个性化原则，这一原则注意整体与个体之间的关系，突出个性化。因此，在设计课堂教学目标时要处理好班级整体目标与个体目标之间的关系，应当把个体学习作为教学设计的重要目标。

例如，“古典概型质”教学目标设计。

【教学目标】

1.知识与技能

（1）理解古典概型的含义、特征及其概率计算公式。

（2）会判断哪些随机事件为古典概型，并掌握用列举法解决概率计算的问题。

2.过程与方法

根据本节课的内容和学生的实际水平，通过创设问题情境让学生理解古典概型的概念及其特征。通过实验探究古典概型特征的过程，培养学生的观察、类比、归纳、总结的能力。

3.情感态度与价值观

通过模拟实验和探究类比，帮助学生树立辩证唯物主义观点——从具体到抽象和从特殊到一般，让学生用随机的观点来理解世界，增强学生数学思维意识，使学生维持积极的学习数学的态度。

（二）“思意数学”教学设计遵循互动性原则

班级集体授课方式目前主要是师生互动、生生互动或生机互动。互动就是为了让学生有积极学习的良好状态，教师对每一个学生都要作出正确的判断和及时调整教学策略。

例如，“指数函数的概念”的两种教学设计比较。

第一种设计：

（1）教师先让学生看书，然后讲解指数函数的定义。

（2）教师设计一些例子，让学生按照指数函数的定义辨别哪些是指数函数，哪些不是指数函数——教师引导和示范的过程。

（3）教师设计练习，让学生模仿刚才的方法辨别哪些是指数函数——学生自主学习的过程。

第二种設计：

有人说，给我一张足够大的纸，我就能登上月球！是真的吗？

请大家拿出一张纸，设面积为1的纸对折x次后，问题1：请写出纸的层次y与次数x的关系;问题2：请写出面积y与次数x的关系。

学生分组讨论

请问：这两个对应关系能否构成函数，为什么？若是，请分析这两个函数有什么共同特征？与同伴交流。

对两种设计的评价：第二种设计是利用生活情境的例子让学生实验探索来认识和理解指数函数概念。通过问题情境让学生从中归纳出其中所蕴含的一般数学规律;同时，通过与同伴探索交流，并用数学语言表述自己的发现，让学生感受到了数学来源于生活，又应用于生活，领悟学习数学的价值。

（三）“思意数学”教学设计遵循系统性原则

在教学过程的系统设计中，要考虑教学内容的组织与安排、教学方法和教学媒体的选用、学生的已有水平及课堂教学结构的安排等，在设计过程中，必须注意课堂教学系统各要素以及整个过程中各环节之间的联系，从教学目标设计到教学过程设计，再到教学评价，每个环节相互联系、相互影响，环环相扣，每个环节的设计都要符合教学要求和学生实际情况，只有这样，才能获得最好的设计方案。

再以“指数函数的概念”教学设计为例。

2000年10月8日，美国一城市的日报以醒目标题刊登了一则新闻：“市政委员会今天发布本市垃圾的体积达到50000立方体”。副标题是：“垃圾的体积每三年增加一倍”。教师在数学课上宣读了这则新闻，并且利用这条新闻引入指数函数的学习。

任务：把三年作为垃圾体积的加倍周期，要求学生填写下表：

研究：（1）设想报纸标题所述城市垃圾的体积每三年持续加倍，24年后本市垃圾的体积是多少？

（2）根据上面提供的信息，你估计三年前的垃圾的体积是多少？

（3）如果n=一2，这时的n、V表示什么意思？

（4）写出n与V的函数关系，并画出函数图象。

（5）曲线可能会与横轴相交吗？为什么？

评析：学生从具体实际问题人手，背景材料新颖并且来源于生活，容易吸引学生的注意力，通过这样的教学设计，让学生逐步探讨指数函数的概念、一般形式、图象及性质。一环扣一环，形成了一个有机的整体。在这样的过程中，学生既掌握了数学知识，还能自然而然联系到环境污染、废物利用、生态环境保护等问题一发展了学生社会意识。

三、“思意数学”课堂教学实践

在教学活动的设计中，依据数学新课标的要求，充分体现新的学科教学理念，要充分体现出学生的自主学习、探究活动、合作交流过程，让学生拥有学习的主动权，挖掘开发出学生潜在的能力。建立一种平等、和谐、理解、沟通的师生关系，有利于师生主体的发展。

下面以“向量加法运算及其几何意义”的教学为例进行教学设计。

本节内容：普通高中课程标准实验教科书（人教A版）《数学必修4》第二章《平面向量》的第二节“平面向量的线性运算”的第一课时——向量加法运算及其几何意义。

下面，笔者从内容和内容解析、目标和目标解析、教学问题诊断分析、教学支持条件分析、教学过程设计、目标检测设计六个方面对本节课的教案设计加以说明。

【内容和内容解析】

向量的加法是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运算，其主要内容有向量加法的定义，向量求和的三角形法则和平行四边形法则，向量加法满足的运算律及向量加法的实际应用。向量的加法让学生进一步加强对向量几何意义的理解，还为接下来学习向量的减法奠定基础，起到承上启下的重要作用。

数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法。借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义。结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则。联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律。

培养数学的应用意识是当今数学教育的主题，本节课的内容与实际问题联系紧密，应强化数学来源于实际又应用于实际的意识，培养学生数学建模思想。在本节课的学习中，由于涉及两个向量有共线和不共线这两种情况，因此有利于渗透分类讨论的数学思想。“向量的加法”蕴含数形结合、类比的数学思想，因此在概念的教学中不但要注重知识的学习，而且要把它作为一个载体，通过概念的获得培养学生的抽象概括、数学建模等能力，领会数形结合、类比等数学思想。

教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量。

【目标和目标解析】

1.通过对向量加法的探究，使学生掌握向量加法的概念，结合物理学实际理解向量加法的几何意义。能正确领会向量加法的三角形法则和平行四边形法则的几何意义，并能运用法则作出两个已知向量的和向量。

2.在应用中，理解向量加法满足交换律和結合律以及表述两个运算律的几何意义。掌握有特殊位置关系的两个向量之和，比如共线向量，共起点向量、共终点向量等。

3.通过本节的学习，培养学生类比、迁移、分类、归纳等数学方面的能力。

【教学问题诊断】

向量的加法可以通过数的加法类比而得，但是向量既是代数的对象，又是几何的对象，其加法涉及方向，对于方向相反的两个向量相加，学生可能对其较为陌生。

向量加法的三角形法则和平行四边形法则通过物理学中位移和力的合成推导而出。三角形法则的实质是首尾相接连端点。平行四边形法则的实质是起点相同连对角。对不共线向量相加，两个法则都可以选用。由共线向量的加法总结出三角形法则适用于任意两个向量的相加，而平行四边形法则仅适用于不共线向量相加。

教学难点：对三角形法则的理解;方向相反的两个向量的加法。主要是让学生认识到三角形法则的实质是，将已知向量首尾相接，而不是表示向量的有向线段之间必须构成三角形。

【教学支持条件分析】

1.多媒体技术中flash动画的运用，能直观地表现向量的平移、相等向量的意义，更能说清两个法则的几何意义及运算律。

2.让学生利用三角板在黑板上自己画图证明向量加法的结合律，培养他们探索问题、解决问题的能力，感受成功的喜悦。

3.利用实物投影仪投影学生自己探究的问题，并且给予适当的评价与鼓励。

【教学过程】

数学学习过程是学生在原有认知基础上的主动建构，学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生经历知识的形成与发展过程。为了更好地使不同层次的学生形成自己对课题知识的理解，结合本教材的特点，笔者设计了如下的教学过程，启发学生逐步认识向量加法的定义及其几何意义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，掌握向量加法运算律的交换律和结合律，初步形成用向量加法运算解决实际问题的能力。

（一）问题情景，引入概念，开启思维

1.复习与回顾：向量的基本定义和其相关概念内涵

强调：向量是具有大小和方向的量，长度相等且方向相同的向量是相等的。所以，要探讨的向量是自由向量，其与起点没有关联。换句话说，即所有的向量在不更改大小、方向的条件下都可以移动。

2.情景设置

（1）小华同学从教室出发，先去学校门卫室拿快递，再去图书馆借学习资料，他先向东走100米，接着向西走200米，那么他所走的路程是

，位移是____;

（2）由于2020年新冠肺炎疫情形势比较严重，在春节期间从广州出行到台北没有直飞航班，如果要搭乘飞机，则要先从广州飞到香港，然后从香港飞到台北，那么这两次位移合成的结果是什么？

[设计意图]作为一名数学教师，要学会从现实生活中的相关问题作为引导，激发学生浓厚的学习及研究兴趣，让学生深入其中去感知向量加法的直观意义，并初步感知数学建模素养。

（二）激学导思，形成概念，交流思维

1.探究活动一（课本P80实验）

图a是橡皮条在F1和F2两个力的作用下，沿着GC的方向伸长了EO，图b是橡皮条受到力F的影响下沿着相同的方向伸长相同的长度，那么F与F1、F2之间的关系是怎样的呢？引导学生交流讨论。

交流结果：

（1）力F对橡皮条产生的作用，与力F1、F2共同作用产生的结果一致;

（2）力F于将F1、F2作为邻边的平行四边形的对角线，并且大小是等同于平行四边形的对角线长;

（3）力F可看作是F1、F2之和，也就是说力的合成也可看作是向量的加法。

师生合作完成探究实验：（并请学生上台一一展示，学生交流探讨，发现规律）

[设计意图]学生比较难理解向量的大小和方向相加，借助物理中的位移和力的合成，抽象概括出数学中向量的加法意义，使学生更容易接受向量之间的关系。

向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

思考1：怎样可以求出这两个向量的和？（引导和提示学生联想力的合成）

2.平行四边形法则（起点相同）

已知非零向量a、b有相同的起点，且OA =a，OB=b，作AC∥OB，BC∥OA，则向量OC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b= OA +AC= OC。

练习1：求下列向量的和向量，并叙述作法。

作法：已知向量a、b。在平面内任取一点O，作OA =a，OB=b，作AC∥OB，BC∥OA，则向量oc叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB +BC=AC。

3.三角形法则（首尾相接）

问题1：两个向量的和的表示，除了平行四边形法则外，是否还有其他方法？（提示：情景设置中的位移是怎样合成的？）

位移的合成是两个向量首尾相接得到的第三个向量，从而得到向量加法的三角形法则：已知向量a=OA，b=AB，则向量OB叫做a与b的和，记作a+b，即a+b：OA +AB：OB。

学生通过实践和实验结果来考虑向量求和方法。教师演示了向量求和方法，并给出了向量加法的直观含义和作图方法。

[设计意图]学生也可以从现实生活中有效地提取数学模型并进行推理，这是学生易接受的。同时，在这个交流和共同学习的过程中，刺激学生独立探究学习平行四边形法则的规律性和存在性，提高学生的独立操作研究和讨论学习交流的能力。

练习2：已知向量a、b，用三角形法则作出a+b。

（学生自主练习，教师班上巡查，用实物投影仪把学生的答案投影出来并点评。）

思考2：怎样才能求出两个共线向量的和？

共线向量分为同向向量和反向向量，当两個向量AB、BC，方向相同或相反时，将这两个向量的首尾相接，得到一个和向量AC =AB+ BC。所以，加法的三角形法则同样可以用到共线向量上。

[设计意图]要求学生画一个和向量，并考虑是否还有其他方法可以对两个向量求和。（引导学生类比情景设置中小华同学的例子，从而得出三角形法则）

思考3：平行四边形法则和三角形法则有什么相同之处和不同之处？（学生先思考，教师总结）

在几何画板演示过程中，当两个向量逐渐发生改变的时候，使用以上两种法则求出的向量的和是一样的。即不同法则，效果相同。

[设计意图]这两个法则本质是一致的。一方面，学生通过实践巩固了所学知识;另一方面，通过教师的点拨，得出了三角形法则，并总结了三角形法则与四边形法则之间的区别和联系，让学生的观察能力和逻辑思维能力有所提升，也渗透了数学建模思想。

（三）引导释疑，理解概念，提升思维

例1.用两种不同的方法求向量a、b的和，要求有具体的解题过程。

（教师在黑板上板书，演示正确的画法，展示给学生看。）

练习3：（1）采用不同的两种方法，勾画出三个非零向量，要让这三个非零向量的和为0。

（2）已知a+b+c=0，a⊥b且|a|=3，|b|=4，求|c|。

解：如右图，∵a+b+c=0，

∴|c|=|a+b|，∵a⊥b， ∴|c|= 5。

探究活动二：我们都知道，数的加法满足加法的交换律和结合律，那么向量的加法是否也满足呢？

即对任意向量a、b、c，是否有：

（1）交换律：a+b=b+a。

（2）结合律：a+b+c=a+（b+c）。

通过演示验证向量加法满足交换律和结合律，且规定a+0=0+a= a。

（四）点拨提高，深化概念，拓展思维

例2.一船从A点出发以2 √3km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h，求船实际航行的速度的大小和方向。（用与流速间的夹角表示）

（用flash动画演示，引导学生分析这一物理过程中的向量以及求向量和的过程，把实际问题转化成向量问题）

解：设AD表示船向垂直对岸方向行驶的速度，AB表示水流的速度，则平行四边形的对角线AC就表示船实际航行的速度，在Rt△ABC中IABl=2，IBCI=2√3，∴IACl=√|AB|2+|BC|2 =4。