向量值子空间上弱Gabor对偶超标架的刻画

贾慧芳,蔡婉亭

(山西大学 数学科学学院，山西 太原 030006)

0 引言

标架的概念是1952年Duffin和Schaeffer在研究非调和傅里叶级数时提出的[1]。1946年,Gabor在L2()中引入了Gabor系的概念[2]。对其严格的数学分析开始于Janssen在1980 年左右的系列论文[3-4]。近年来，Gabor标架理论在图像识别和信息处理等领域有广泛的应用[5-7]。向量值空间上的标架也称为超标架,超标架的概念是由Balan[8]和Han等[9]引入的。因其在多路复用技术领域有广泛的应用价值,超标架引起了众多数学学者和工程专家的关注。现有的关于超标架的理论研究大都集中于L2(,L)和l2(S,L)上的小波标架和Gabor标架[10-15]。在实际应用中，我们常常需要处理的信号是落在某个子空间上的。此时我们希望在保留观测数据全部特征的同时,能以更有效的方式来进行信号的Gabor分析或小波分析[16-21]。

设H是一个可分的希尔伯特空间,{ei}i∈I是H中的至多可数序列。若存在两个正的常数C1,C2使得：对任意的f∈H,均有不等式

(1)

supp(f)={x∈:f(x)≠0}

显然，在相差一个零测度集的意义下,它是唯一确定的。对f∈L2(,CL),定义调制算子Mx0和平移算子Tx0如下(x0∈):

Mx0f(·)=(e2πix0·f1(·),e2πix0·f2(·),…,e2πix0·fL(·)),

Tx0f(·)=(f1(·-x0),f2(·-x0),…,fL(·-x0))。

显然,这两个算子都是酉算子。对任意实数α>0,我们称上的任一正测度集S是α-周期的,是指对任意的n∈,有S+nα=S。给定这样的周期集S,我们定义L2(S,L)为：

L2(S,L)={f∈L2(,L):supp(f)⊂S},

易知它是L2(,L)的一个闭子空间。对g∈L2(,L),定义由g生成的Gabor系为:G(g,α,β)={MmβTnαg:α,β>0,m,n∈Z}。如果G(g,α,β)构成L2(,L)上的超标架,则称其为L2(,L)的Gabor超标架。两个Gabor系(G(g,α,β)，G(h,α,β))称为L2(S,L)的一组Gabor对偶超标架是指：G(g,α,β)和G(h,α,β)是空间的两个超标架且满足对任意的f∈L2(S,L),有：

下面我们引入L2(S,L)上弱Gabor对偶超标架的定义:

定义1给定g,h∈L2(S,L),(G(g,α,β)，G(h,α,β))称为L2(S,L)的一组弱Gabor对偶超标架是指存在L2(S,L)的一个稠子集V,使得对任意的有：

其中上述级数是绝对收敛的。此时我们也把(G(g,α,β)，G(h,α,β))称为L2(S,L)上一组与V相关联的弱Gabor对偶超标架。

注若G(g,α,β)和G(h,α,β)都是L2(S,L)上的超Bessel序列,那么(G(g,α,β)，G(h,α,β))是L2(S,L)上的Gabor对偶超标架。因此,弱Gabor对偶超标架是Gabor对偶超标架的推广。

给定α>0, 且S是上的α-周期子集。记

1 辅助引理

本节将给出一些辅助引理,以便为后面的证明作铺垫。

引理1给定g∈L2(,L)及,L)，则有

(2)

且对任意的m∈,有

〈f,Mmβg〉。

(3)

(4)

进而可得

证毕。

引理2给定β>0,以及g,h∈L2(，L),则对任意的，L)有：

(5)

其中左端的级数是绝对收敛的。

证明根据引理1,我们可得对任意的m∈,有：

〈f,Mmβg〉=

记

则上式可写成：

根据(2)式,我们易有

由Lebesgue控制收敛定理,可得：

证毕。

引理3给定α,β>0,以及g,h∈L2(,L),则对任意的,L)有：

(6)

其中上述左端的级数是绝对收敛的。

(7)

〈f,MmβTnαg〉=〈M-mβT-nαf,g〉,

(8)

因此，由(8)式可得(6)式成立。证毕。

2 主要定理

定理1给定α,β>0,以及S是上一个α-周期子集。假设g,h∈L2(S,L),则有(G(g,α,β)，G(h,α,β))是L2(S,L)上一组与L∞(S,L)相关联的弱Gabor对偶超标架等价于对所有的l∈,1≤i,j≤L及有：

(9)

成立。

(10)

(11)

因此,(0,α)上几乎处处的点都是

的Lebesgue点。结合零测度集的性质,对任意的1≤i,j≤L,l∈,固定x0为

和χS(x)的Lebesgue点。当i≠j时,固定l0∈,1≤i0≠j0≤L,对取,L)满足：

(12)

当i=j时,不妨设i=j=i0，固定l0∈, 1≤i0≤L,对取,L)为：

代入(11)式可得：

根据Lebesgue点的定义,令ε→0,我们可有:

(13)

综合(12)式和(13)式,根据x0,l0,i0的任意性,我们可得(9)式成立。证毕。

注：该定理推广了文献[23]中的定理3.1。这一推广是非平凡的,因为向量值子空间上的内积结构几何性质较复杂。