向量值多线性奇异积分算子在广义Morrey空间上的有界性（英文）

摘要本文主要讨论向量值多线性奇异积分算子在广义Morrey空间上的有界性.

关键词奇异积分算子；向量值多线性奇异积分算子；有界平均振动空间；广义Morrey空间

The multilinear singular integral operator TA was first introduced by Cohen and Gosselin， which is defined as follows：

TA（f）x=∫RnRm+1（A；x，y）|x-y|mk（x，y）f（y）dy，

where Rm+1（A；x，y）=A（x）-∑|α|≤m1α！DαA（y）（x-y）α， α=（α1，…，αn） denotes a multiindex and |α|=α1+…+αn denotes the order of α. Dα A denote the partial derivative αAα1x1α2x2，…，αnxn，α！=α1！α2！…αn！ and （x-y）α=（x1-y1）α1…（xn-yn）αn.

The Lp（p>1） boundedness of the multilinear singular integral operator is proved by the authors of [13]. Later， Hu and Yang proved a variant sharp estimate for the multilinear singular integral operators in [4]. In 2010， Liu considered the multilinear singular integral operators on classical morrey space in [5]. Recently， Du and Huang studied the boundedness of vectorvalued multilinear singular integral operator on variable exponent Lebesgue spaces in [6]. The vectorvalued multilinear singular integral operator is defined as follws：

|TA（f）（x）|s=（∑∞i=1|TA（fi）（x）|s）1s，

where TA（fi）（x）=∫Rn∏lj=1Rmj+1（Aj；x，y）|x-y|mK（x，y）fi（y）dy， and Rmj+1（Aj；x，y）=Aj（x）-∑|α|≤mj1α！DαAj（y）（x-y）α. Let mj be positive integers （j=1，…， l）， m1+…+ml=m， and Aj be functions on Rn （j=1，…，l），10， |TA|s is nontrivial generalizations of the commutator. It is well known that multilinear operators and commutators are of great interest in harmonic analysis and have been extensively studied by many authors[13，710].

The classical Morrey spaces were originally introduced by Morrey in [11] to study the local behavior of solutions to second order elliptic partial dierential equations. The classical Morrey spaces are defined by the norm ‖f‖Lp，λ：=supx∈Rn，r>0r-λp‖f‖Lp（B（x，r））， where 1≤p≤∞，0≤λ≤n.

When λ=0， Lp，0（Rn）=Lp（Rn）. When λ=n， Lp，n（Rn）=L∞（Rn）. If λ<0 or λ>n， then Lp，λ={0}. The generalized Morrey spaces Mr，φ（Rn） were first defined by Guliyev in [12]. The generalized Morrey spaces recover the classical Morrey spaces， which will be explained in next section.

湖南师范大学自然科学学报第38卷第5期俞飞：向量值多线性奇异积分算子在广义Morrey空间上的有界性1Preliminaries

In this section， we will give some basic definitions and lemmas， which will be used in the proof of our main results.

Definition 1.1Fix ε>0. Let S and S′ be Schwartz space and its dual， T：S→S′ be a linear operator. If there exists a locally integrabal function K（x，y） on Rn×Rn＼{（x，y）∈Rn×R：x=y} such that T（f）（x）=∫RnK（x，y）f（y）dy， for every bounded and compactly supported function f， where K satises |K（x，y）|≤C|x-y|-n and |K（y，x）-K（z，x）|+|K（x，y）-K（x，z）|≤C|y-z|ε|x-z|-n-ε， if 2|y-z|≤|x-z|. Throughout the paper C will denote a positive constant which may be different from line to line.

Definition 1.2Let mj be positive integers （j=1…，l）， m1+…+ml=m， and Aj be functions on Rn （j=1，…，l）. For 1

|TA（f）（x）|s=（∑∞i=1|TA（fi）（x）|s）1s，

where TA（fi）（x）=∫Rn∏lj=1Rmj+1（Aj；x，y）|x-y|mK（x，y）fi（y）dy and Rmj+1（Aj；x，y）=Aj（x）-∑|α|

Definition 1.3Let φ（x，r） be a positive measurable function on Rn×（0，∞） and 1≤p<∞. For any f∈Lploc， denote by Mp，φ the generalized Morrey spaces， if

‖f‖Mp，φ=supx∈Rn，r>0φ（x，r）-1|B（x，r）|-1p‖f‖Lp（B（x，r））<∞.

Note that if φ（x，r）=rλ-np， then Mp，φ（Rn）=Lp，λ（Rn）.

Definition 1.4[10]We call function Φ（t） a Young function， if function Φ（t） is a contious， nonnegative， strictly increasing and convex function on [0，∞） with Φ（0）=0 and Φ（t）→∞. The Φaverage of a function f over a cube Q is defined as

‖f‖Φ，Q=inf{λ>0：1|Q|∫QΦ（|f（x）|λ）dx≤1}.

The examples here are Φ（t）=etr-1 and （t）=t logr（e+t）， ‖·‖expLr，Q and ‖·‖L（log L）r，Q denote Φaverage and average.

In the following， we give some lemmas which will play important roles in proof of our main results.

Lemma 1.1[6]Let 1

‖|TA（f）|s‖Lp≤C∏lj=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）‖|f|s‖Lp.

Remark 1. This Lemma can get from Theorem 2 in [6].

Lemma 1.2[13]Let 10 such that for all sequences of functions ∑∞i=1fi satisfying

‖|f|s‖L1（Rn）<∞， {∑∞i=1（∫Rn|fi（y）|dy）s}12≤C∫Rn{∑∞i=1|fi（y）|s}1sdy.

Lemma 1.3[3]Let A be a function on Rn and DαA∈Λq（Rn） for all α with |α|=m and q>n. Then

|Rm（A；x，y）|≤C|x-y|m∑|α|=m（1|（x，y）|∫（x，y）|DαA（z）|qdz）1q，

where is the cube centered at x with edges parallel to the axes and having diameter 5n|x-y|， Λp（Rn）={f（x），x∈Rn：Λp=supx∈Q（1|Q|∫Q|f（t）|pdt）1p<∞}.

Lemma 1.4[14]（1）For all 1≤p<∞， the following is true

‖b‖BMO≈supB（1|B|∫B|b（y）-bB|p）1p.

（2）Let b∈BMO（Rn）. Then there exists a constant C>0 such that

|bB（x，r）-bB（x，t）|≤C‖b‖BMOlntr

for 0<2r≤t.

Lemma 1.5[7]Let rj≥1 for j=1，…，l and 1r=1r1+…+1r1，b∈BMO. Then

1|Q|∫Q|f1（x）…fl（x）g（x）|dx≤‖f‖expLr1，Q…‖f‖expLrl，Q‖g‖L（logL）1r，Q

and

‖b-bB‖expL，B≤C‖b‖BMO， where bB=1|B|∫Bb（x）dx.

Remark 2. If we use the ball instead of cube， the above results still hold.

2Main result and its proof

Theorem 2.1Let 1

∫∞rlnl（e+tr）φ1（x，t）dtt≤Cφ2（x，r），

then |TA|s is bounded from Mp，φ1（Rn） to Mp，φ2（Rn） for all ‖|f|s‖Lp（Rn）<∞.

ProofSet B=（x0，r）， 2B=B（x0，2r）. Without loss of generality， we may assume l=2. Let j（x）=Aj（x）-∑|α|=mj1α！（DαAj）Bxα， then Rmj+1（Aj；x，y）=Rmj+1（j；x，y） and Dαj=DαAj-（DαAj）B for |α|=mj. We split f into two parts， f=g+h={gi}+{hi}={fiχ2B}+{fiχRn＼2B}.

‖（∑∞i=1|TA（fi）（x）|s）1s‖Lp（B）≤‖（∑∞i=1|TA（gi）（x）|s）1s‖Lp（B）+‖（∑∞i=1|TA（hi）（x）|s）1s‖Lp（B）：=I+II.

For I， by Lemma 2.1 then we have

I≤‖（∑∞i=1|TA（gi）（x）|s）1s‖Lp≤C∏lj=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）‖|g|s‖Lp=

C∏lj=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）‖|f|s‖Lp（2B）.

On the other hand，

‖|f|s‖Lp（2B）≈rnp‖|f|s‖Lp（2B）∫∞2rdttnp+1≤Crnp∫∞2r‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt.

Then we can get

I≤C∏lj=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）rnp∫∞2r‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt.

Now let us estimate II

‖（∑∞i=1|TA（hi）（x）|s）1s‖Lp（B）=

‖（∑∞i=1|∫Rn∏2j=1Rmj+1（j；x，y）|x-y|mK（x，y）hi（y）dy|s）1s‖Lp（B）≤

C‖（∑∞i=1|∫Rn∏2j=1Rmj（j；x，y）|x-y|mK（x，y）hi（y）dy|s）1s‖Lp（B）+

‖（∑∞i=1|∑||=m11！∫RnRm2（2；x，y）（x-y）|x-y|mD1（y）K（x，y）hi（y）dy|s）1s‖Lp（B）+

‖（∑∞i=1|∑||=m21！∫RnRm2（1；x，y）（x-y）|x-y|mD2（y）K（x，y）hi（y）dy|s）1s‖Lp（B）+

‖（∑∞i=1|∑||=m1，||=m21！！∫Rn（x-y）+D1（y）D2（y）|x-y|mK（x，y）hi（y）dy|s）1s‖Lp（B）：=

I1+I2+I3+I4

We first estimate I1. By Lemma 2.3 and 2.4， we have

Rmj（j；x，y）≤C|x-y|mj∑|α|=mj（1|Q（x，y）|∫Q（x，y）|DαAj-（DαAj）B|qdz）1q≤

C|x-y|mj∑|α|=mj（|3nB（x，y）||Q（x，y）|1|3nB（x，y）|∫3nB（x，y）|DαAj-（DαAj）B|qdz）1q≤

C|x-y|mj∑|α|=mj（1|3nB（x，y）|∫3nB（x，y）|DαAj-（DαAj）3nB（x，y）|qdz）1q+

C|x-y|mj∑|α|=mj（1|3nB（x，y）|∫3nB（x，y）|（DαAj）3nB（x，y）-（DαAj）B|qdz）1q≤

C|x-y|mj∑|α|=mj‖DαAj‖BMO+

C|x-y|mj∑|α|=mj‖DαAj‖BMO（1|3nB（x，y）|∫3nB（x，y）|ln（e+3n|x-y|r）|qdz）1q≤

C|x-y|mj∑|α|=mj‖DαAj‖BMOln（e+|x-y|r），

where B（x，y） is the ball centered at x and has radius r=|x-y|， 3nB（x，y） denote the ball centered at x and has radius r=3n|x-y|.

Notice that x∈B（x0，r），32|y-x0|≥|y-x0|+|x0-x|≥|y-x|≥|y-x0|-|x0-x|≥12|y-x0|. Then by Lemma 2.2，2.3 and 2.4 and Hlder inequality， we have

（∑∞i=1|∫Rn∏2j=1Rmj（j；x，y）|x-y|mK（x，y）hi（y）dy|s）1s≤

C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）（∫Rn{∑∞i=1|ln2（e+|x-y|r）K（x，y）hi（y）s|}1sdy）≤

C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）（∫|y-x0|>2rln2（e+|x-y|r）|f|s|x-y|-ndy）≤

C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）（∫|y-x0|>2rln2（e+|x0-y|r）|f|s|x0-y|-ndy）≤

C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）（∫|y-x0|>2rln2（e+|x0-y|r）|f|s∫+∞|y-x0|dttn+1dy）≤

C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）（∫+∞2r∫2r<|y-x0|

C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）（∫+∞2rln2（e+tr）∫2r<|y-x0|

C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）（∫+∞2rln2（e+tr）‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt）.

So we get

I1≤C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）rnp∫+∞2rln2（e+tr）‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt.

Next， we estimate I2. Applying Lemma 2.2， 2.3 and 2.4 and Hlder inequality， note that 32|y-x0|≥|y-x|≥12|y-x0|，then we obtain

（∑∞i=1|∑||=m11！∫RnRm2（2；x，y）（x-y）|x-y|mD1（y）K（x，y）hi（y）dy|s）1s≤

C∑||=m2‖DA2‖BMO（∑∞i=1|∑||=m1∫Rnln（e+|x-y|r）D1（y）K（x，y）hi（y）dy|s）1s≤

C∑||=m2‖DA2‖BMO∫Rn{∑∞i=1|∑||=m1ln（e+|x-y|r）D1（y）K（x，y）hi（y）|s}1sdy≤

C∑||=m2‖DA2‖BMO∫|y-x0|>2rln（e+x0-yr）|∑||=m1D1（y）||f|s1|x0-y|ndy≤

C∑||=m2‖DA2‖BMO∫|y-x0|>2rln（e+x0-yr）|∑||=m1D1（y）||f|s∫+∞|y-x0|dttn+1dy≤

C∑||=m2‖DA2‖BMO∫+∞2rln（e+tr）∫2r<|y-x0|

C∑||=m2‖DA2‖BMO∫+∞2rln（e+tr）∑||=m1‖D1（y）‖Lp′（B（x0，t））‖|f|s‖Lp（B（x0，t））dttn+1≤

C∑||=m2‖DA2‖BMO∫+∞2rln（e+tr）∑||=m1（1|B（x0，t）|∫B（x0，t）|DA1（y）-（DA1）B|p′）1p′

‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt≤

C∑||=m2‖DA2‖BMO∫+∞2rln（e+tr）∑||=m1（1|B（x0，t）|∫B（x0，t）|DA1（y）-（DA1）B（x0，t）|p′）1p′

‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt≤

C∑||=m2‖DA2‖BMO∫+∞2rln（e+tr）∑||=m1（1|B（x0，t）|∫B（x0，t）|（DA1）B（x0，t）-（DA1）B|p′）1p′

‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt≤

C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）（∫+∞2rln2（e+tr）‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt）+

C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）（∫+∞2rln2（e+tr）‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt）≤

C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）（∫+∞2rln2（e+tr）‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt）.

Then

I2≤C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）rnp∫+∞2rln2（e+tr）‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt.

Using the same method in proof of I2， we can get

I3≤C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）rnp∫+∞2rln2（e+tr）‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt.

Finally we estimate I4， by Lemma 2.2， 2.3 and 2.4 and Hlder inequality， notice that 32|y-x0|≥|x-y|≥12|y-x0|， then we have that

（∑∞i=1|∑||=m1，||=m21！！∫Rn（x-y）+D1（y）D2（y）|x-y|mK（x，y）hi（y）dy|s）1s≤

C（∑∞i=1|∑||=m1，||=m2∫Rn|D1（y）D2（y）K（x，y）hi（y）dy|s）1s≤

C∑||=m1，||=m2∫|y-x0|>2r|D1（y）D2（y）|1|y-x0|n|f|sdy≤

C∑||=m1，||=m2∫|y-x0|>2r|D1（y）D2（y）||f|s∫+∞|y-x0|dttn+1dy≤

C∑||=m1，||=m2∫+∞2r∫2r<|y-x0|

C∑||=m1，||=m2∫+∞2r∫2r<|y-x0|

C∑||=m1，||=m2∫+∞2r∫2r<|y-x0|

（DA2（y）-（DA2）B）|p′dy）1p′‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt≤

C∑||=m1，||=m2∫+∞2r∫2r<|y-x0|

[DA2（y）-（DA2）B（x0，t）]|p′dy）1p′‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt+

C∑||=m1，||=m2∫+∞2r∫2r<|y-x0|

[（DA2）Bx0，t-（DA2）B]|p′dy）1p′‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt+

C∑||=m1，||=m2∫+∞2r∫2r<|y-x0|

[DA2（y）-（DA2）B（x0，t）]|p′dy）1p′‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt+

C∑||=m1，||=m2∫+∞2r∫2r<|y-x0|

[（DA2）B（x0，t）-（DA2）B]|p′dy）1p′‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt：=I14+I24+I34+I44.

For I14， by Lemma 2.5 we have

I14≤C∫+∞2r∑||=m1（‖[DA1（y）-（DA1）B（x0，t）]p′‖expL1p′，B（x0，t））1p′‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1

（‖1‖L（log L）12p′，B（x0，t））1p′∑||=m2（‖[DA2（y）-（DA2）B（x0，t）]p′‖expL1p′，B（x0，t））1p′dt≤

C∫+∞2r∑||=m1‖[DA1（y）-（DA1）B（x0，t）]‖expL，B（x0，t）‖|f|s‖Lp（B（x0，t））

∑||=m2‖[DA2（y）-（DA2）B（x0，t）]‖expL，B（x0，t）t-np-1dt≤

C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）∫+∞2r‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt.

The estimate of I24 is as follows

I24≤C∑||=m2‖DA2‖BMO∑||=m1∫+∞2rln（e+tr）（1|B（x0，t）|∫B（x0，t）|DA1（y）-（DA1）B（x0，t）|p′dy）1p′

‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt≤

C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）∫+∞2rln（e+tr）‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt.

The estimate of I34 is the same as above.

I34≤C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）∫+∞2rln（e+tr）‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt.

Now we estimate I44.

I44≤C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）∫+∞2rln2（e+tr）‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt.

According to the above estimate， we obtain

I4≤C∏2j=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）rnp∫+∞2rln2（e+tr）‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt.

Thus，

‖（∑∞i=1|TA（fi）（x）|s）1s‖Lp（B）≤C∏lj=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）rnp∫+∞2rlnl（e+tr）‖|f|s‖Lp（B（x0，t））t-np-1dt.

Then according to the condition，

‖|TA|s‖Mp，φ2=supx0∈Rn，r>0φ2（x，r）-1|B（x，r）|-np‖|TA|s‖Lp（B（x0，r））≤

C∏lj=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）supx0∈Rn，r>01φ2（x0，r）∫+∞rlnl（e+tr）‖|f|s‖Lp（B（x0，t））dt≤

C∏lj=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）‖|f|s‖Mp，φ1supx0∈Rn，r>01φ2（x0，r）∫+∞rlnl（e+tr）φ1（x0，t）dtt≤

C∏lj=1（∑|α|=mj‖DαAj‖BMO）‖|f|s‖Mp，φ1.

The proof is completed.

References：

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（编辑胡文杰）