一类具有非线性边界条件的拟线性抛物方程的爆破

丁俊堂,安蕾

(山西大学 数学科学学院,山西 太原 030006)

0 引言

在过去的十多年中,人们对非线性抛物方程的爆破解和整体解做了很多研究,我们向读者推荐文献[1-5]及其中的参考文献。在本文中我们的兴趣集中在以下类型的一类拟线性抛物问题的爆破现象:

(1)

关于具有非线性边界条件的非线性抛物方程解的爆破问题有大量文献(见文[8-25])。为了研究问题(1)的爆破解和整体解,我们主要关注了文[21-22]。在文[22]中，Yin研究了以下问题的爆破解和整体解:

(2)

(3)

这里Ω⊂RN(N≥2)是一个有界区域,∂Ω是光滑的。在一些合适的假设下,他们证明了如果

或

且

a(s)g2(s))< +∞,

那么(3)的解在有限时刻爆破;如果

且

a(s)g2(s))= +∞,

那么(3)的解整体存在。他们的研究在很大程度上依赖于使用比较原理。

本文研究了(1)的爆破解和整体解。我们注意到问题(1)中的a(u,t)不仅依赖解u,而且还依赖于时间变量t,而在问题(2)和(3)中a(u)只依赖于解u,因此文[21]和[22]中的研究方法不适用于研究问题(1)。和文[23,25]一样,我们现在使用抛物极值原理和一阶微分不等式技术来研究问题(1)。使用这种研究方法的困难在于需要构造一些合适的辅助函数。由于文[23,25]中已有的辅助函数不适合于问题(1)的研究,所以必须构造一些新的辅助函数来完成本研究。

1 爆破解

在本节中我们建立一些条件来保证爆破解存在。我们构造如下两个辅助函数:

(4)

(5)

这里我们假定

(6)

注意到

这就保证了P有反函数P-1。利用辅助函数(4)和(5)我们能获得下面的定理1。

定理1 设u是(1)的一个古典解。假定初值u0满足(6)。 此外我们假定函数a和g满足

(7)

以及对任意(s,t)∈R+×R+,

(8)

[a(s,t)(g′(s)-g(s))]s-a(s,t)(g′(s)-g(s))≥0。

(9)

那么u在某个有限时刻T爆破且

(10)

(11)

证明对辅助函数H直接计算可得

(12)

和

(13)

借助于(1)的第一个方程我们获得

(14)

利用(13)和(14)我们推出

aΔH-Ht=

(15)

由(12)可得

(16)

将(16)代入(15)我们有

(17)

由(1)的第一个方程可得

(18)

把(18)代入(17)中我们推出

(19)

由(4)可得

ut=-gH+αge-u。

(20)

我们把(20)代入(19)推出

(21)

由假设(8)和(9)我们可知等式(21)的右端是非负的。因此我们有

(22)

利用(1)的边界条件可得

(23)

根据(6)可知

(24)

由此我们得到下列一阶微分不等式

(25)

(26)

假设(7)和不等式(26)保证了u在有限时刻T爆破。为了获得爆破时刻T的一个上界,我们对(26)取极限t→T可得

由于u在有限时刻T爆破,故对每一个固定的x我们对(25)从t到T积分就有

(27)

从(27)可得

u(x,t)≤P-1(α(T-t)) 。

定理1得证。

2 整体解

本节中我们对非线性函数a,g和u0建立一些条件以保证(1)的解整体存在。我们定义辅助函数

(28)

(29)

这里我们假定

(30)

现在我们有

这就保证了函数Q的反函数Q-1存在。 我们的主要结果如下。

定理2 设u是(1)的一个古典解。 假定初值u0满足(30),函数a和g满足

(31)

和对任意(s,t)∈R+×R+,

as(s,t)≤0,at(s,t)≤0,

(32)

[a(s,t)(g′(s)+g(s))]s+a(s,t)(g′(s)+g(s))≤0,

(33)

那么u整体存在且

u(x,t)≤Q-1(βt+Q(u0(x)))。

(34)

证明对辅助函数J(x,t)使用(12)-(19)的推理过程,我们可得

(35)

假设(32)和(33)保证了等式(35)的右端是非正的。因此我们有

(36)

重复(23)的计算可得

(37)

根据假设(30)我们有

(38)

由此获得下列一阶微分不等式

(39)

(40)

利用(40)我们有

因此我们推出

u(x,t)≤Q-1(βt+Q(u0(x)))。

这就是整体解u的一个上估计。 定理2得证。

3 应用

当a(u,t)≡a(u)时定理1和定理2仍然成立,因此在这篇论文中我们获得的定理1和定理2可以适用于问题(3)。在这个意义下我们的结果是文[21]中结果的推广。下面我们给出两个例子来说明定理1和定理2的应用。

例1 设u是下列问题的一个古典解

容易验证条件(7)-(9)成立。由(6)我们有

根据定理1可知u在有限时刻T爆破且

例2 设u是下列问题的一个古典解

容易验证条件(31)-(33)成立。由(30)可得

根据定理2可知u整体存在且