两个非线性波方程的同时边界控制

武洁琼,张宏伟

(山西大学 数学科学学院,山西 太原 030006)

0 引言

考虑下述问题

(1)

其中v是边界控制函数,f∈C1(R)是一个非线性函数并且满足:存在常数C>0和σ>0使得

|f(s)-f(r)|

(2)

和

(3)

从(3)易得任给ε>0,存在Cε>0使得

|f(s)-λs|≤Cε+ε|s|, ∀s∈R。

(4)

注意到在(1)中有两个受控系统,一个是具有Dirichlet边界控制的波动系统,另一个是具有Neumann边界控制的波动系统。考虑是否可用同一个控制函数,使得系统(1)的两个波动方程都精确能控,也就是系统(1)的同时能控性问题。

令

V={φ|φ∈H1(Ω),φ(x)=0, ∀x∈Γ*(x0)}。

(5)

“同时精确能控性”这个概念是Russell[1]在研究矩形区域中Maxwell方程的能控性时首先提出的。文献[1]中,作者将Maxwell方程的能控性问题转化成两个解耦波方程的同时能控性,其中一个波方程具有Dirichlet边界控制,而另一个具有Neumann边界控制。Lions[2]研究了线性解耦波方程组的同时精确能控性,即(1)中的f(·)≡0。关于波动方程的同时内部能控性,已有不少文献,如文[3-6]。利用唯一延拓性,Haraux[3]证明了矩形区域中一维波的内部同时精确能控性。文献[4-5]分别讨论了线性和非线性解耦波方程的同时精确能控性,其中非线性项f满足式(2)与(3)。利用不动点理论,文献[5]得到了系统的内部同时能控性。文献[4-5]的波动系统均是无阻尼系统,文[6]研究了几个阻尼波系统的同时内部精确能控性。关于波方程能控性的研究还可见文[7]。文[8]研究热弹性板的同时精确和近似能控性。文献[9]研究了两个抽象系统(其中一个是有限维系统而另一个是无限维系统)的同时精确能控性。文[10]研究带有约束条件的同时能控性并给出在同时辨识方面的应用。

注意到,关于带有满足条件(2)-(4)的非线性外力源的非线性波动系统的边界同时精确能控性还没有研究成果。这篇文章做这方面的工作。

为方便起见,先引入如下记号。令μ0是使得下式成立的常数:

(6)

(7)

本文的主要结论如下:

(8)

1 线性化系统

对于任意的p1∈L2(Q)与p2∈L2(0,T;V),引入一个线性系统

(9)

在这一节,将证明系统(9)是同时精确能控的,即

(10)

为证明定理2,先证明一个观测性不等式。为此,引入(9)的对偶系统

(11)

系统(11)的能量定义为

(12)

定理3设T>T(x0),则(11)的解满足

(13)

证明先证明

(14)

在(11)的主方程两边乘以m·φα,α=1,2,在Ω×(0,T)上积分,然后相加,得

(15)

(16)

下面估计(16)中各项。由(6)和E0的定义,我们有

(17)

此外,有

(18)

和

(19)

所以由(16)-(19),得

(20)

(21)

结合(20)与(21),我们得到(14)。

假设χ满足

(22)

令

(23)

则下述方程成立

(24)

当T充分大时,由(14)可得

(25)

其中

(26)

定理2的证明令(Ψ1,Ψ2)满足

(27)

我们定义映射Λ∶F→F′如下

(28)

F的范数定义为

(29)

由不等式(13)和Lax-Milgram定理可得Λ是从F到F′的同构映射,因此系统(9)是精确能控的。

2 非线性系统

这一节将用Schauder不动点定理证明定理1。

定理1的证明令p=(p1,p2)∈L2(Q)×L2(0,T;V),考虑下面的偏微分方程(PDE)系统

(30)

和控制系统

(31)

要完成定理1的证明,只需证明K有不动点。下面先证明K是连续映射。假设(pn)在L2(Q)×L2(0,T;V)中收敛于p。将证明点列(K(pn))在L2(Q)×L2(0,T;V)中收敛到K(p)。由Riesz定理,在(pn)中存在子列(pnj)使得(pnj(x,t))几乎处处收敛到p(x,t)。由(4)和广义勒贝格控制收敛定理,得(f(pnj))在L2(Q)×L2(0,T;V)中收敛到f(p)。

由波方程解的正则性[11],得

C‖λp1,nj-f(p1,nj)-λp1,nk+f(p1,nk)‖L2(Q)

(32)

和

C‖λp2,nj-f(p2,nj)-λp2,nk+f(p2,nk)‖L2(0,T;V)。

(33)

下面证明映射K2的连续性。当α=1时,由文[12]中的定理2.5,我们有

(34)

下面考虑(vnj)。因为Λ是一个同构映射,由(31)得

‖vnj‖L2(0,T;L2(Γ(x0)))≤

(35)

因此(vnj)是L2(0,T;L2(Γ(x0)))上的柯西列,并且收敛到函数v。

当α=2时,利用文献[12]中的定理4.7,可得

(36)

用相似的方法,知(φ2,nj)是柯西列。因此,(φ1,nj,φ2,nj)在L2(Q)×L2(0,T;V)中收敛到(31)关于p的解φ=(φ1,φ2)。故映射K2是连续的。因此,映射K是连续的。

令r>0,Br={z∈L2(Q)×L2(0,T;V);‖z‖L2(Q)×L2(0,T;V)≤r}。我们将证明∀p∈Br,(9)满足(8)的解y仍属于Br。由(4)知∀ε>0,

(37)

由波方程解的正则性和(37)可得∀ε>0,

(38)

则由(38)可得

(39)

对于‖φ‖L2(Q)×L2(0,T;V),利用波方程解的正则性,得

(40)

和

(41)

(42)

结合(39)与(42),得

(43)