2020年高考“计数原理、概率与统计”专题命题分析

周远方 李冉 徐新斌

摘  要：2020年高考数学对计数原理、概率与统计的考查，通过真实问题情境，落实五育并举，体现时代特色，充分发挥了概率与统计内容的育人价值. 命题立足基础，贴近教材，注重通性、通法，突出统计思维，考查关键能力，充分展示了数学在生活中的科学价值、应用价值和文化价值. 试题体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，科学实现了本专题内容的甄别功能和积极导向作用，对今后复习备考有良好的指导价值.

关键词：高考数学;概率与统计;计数原理;命题分析;复习建议

概率论是研究随机现象规律性的数学学科，概率是随机事件发生的可能性大小的度量;统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的一门科学，它可以为人们制定决策提供依据. 学会收集、整理和分析数据，从生活中的随机性问题分析出内在的稳定性，提升学生的数学抽象、数据分析、数学建模及数学运算和逻辑推理等素养，是高中阶段学生学习计数原理、概率与统计的基本要求. 历年高考中考查计数原理、概率与统计多以基础题、中档题出现，考查的重点是古典概型、计数原理、二项式定理、样本估计总体等主干知识.

2020年高考，山东省、海南省分别首次使用教育部考试中心命制的不分文、理科的新高考全国Ⅰ卷和新高考全国Ⅱ卷;北京市、上海市、天津市、浙江省、江苏省仍为自主命题，且都不分文、理科，共5套数学试卷;其余各地区均使用教育部考试中心命制的全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷和全国Ⅲ卷的文、理科数学试题，共3套6份试卷. 因此，2020年的高考共有10套13份数学试卷，每份试卷都对计数原理、概率与统计进行了考查. 本文将对13份试卷中的计数原理、概率与统计的考查情况进行分析，总结试题特点和规律，以便对2021年复习备考提供参考.

一、考查内容分析

2020年高考命題以《中国高考评价体系》为指南，落实立德树人根本任务，贯彻德智体美劳全面发展的教育方针，坚持知识为基、能力为重、素养导向和价值引领的命题原则，充分发挥了数学试题的区分选拔功能和正确导向作用. 2020年计数原理、概率与统计试题以科学的生产生活情境为背景，通过创新试题情境，着重考查了学生的数学阅读理解和信息整理能力，以及数学抽象、数据分析、数学建模和数学运算等核心素养. 试题在保持总体稳定的前提下，大胆创新，既突出了数学的通用性和基础性，又体现了数学的文化价值，彰显了育人功能.

统计表明，2020年计数原理、概率与统计的考查特点，主要体现在以下几个方面.

（1）注重考查基础知识、基本技能和基本数学思想方法的基础题. 例如，古典概型、样本数据的计算、二项式定理特定项系数的计算等问题.

（2）注重考查计数原理、独立事件概率的计算等稍具综合性的中档题.

（3）突出科学价值和育人功能的情境题. 例如，种子发芽率问题、工厂加工决策问题、空气质量问题、信息熵问题等.

在2020年的13份高考数学试卷中，关于概率、统计与计数原理的试题，客观题主要考查样本数据的计算、选择和数学建模，以及二项式定理等内容. 主观题则通过实际应用考查数据处理和数学运算等为主. 突出应用性的同时，重在考查学生建立模型、分析和处理数据的能力，有效地检测了学生对统计推断、数学建模等数学思想与方法的掌握程度.

1. 考点布局合理，题型一应俱全

2020年全国各地高考试题总体来看，对概率、统计与计数原理的覆盖面广，既重点考查了古典概型、建立概率模型、二项式定理等必备知识，又通过处理样本数据、用频率估计概率、样本估计总体和独立性检验等知识载体，有效地考查了学生的基本数学思想方法、关键能力和学科素养. 从题型上看，选择题、填空题、解答题三种题型，一应俱全.

2. 题量分值各异，文、理科差异减小

2020年的13份数学试卷中，涉及概率、统计与计数原理的试题，大多数试卷保持大小兼顾，只有上海卷和浙江卷中没有出现解答题，具体分布情况如表1所示.

统计表明，三套全国卷的文、理科相关试题数量及分数值差异不大，其中全国Ⅰ卷文、理科及全国Ⅱ卷和全国Ⅲ卷的理科均为“两小一大”，全国Ⅱ卷和全国Ⅲ卷文科均为“一小一大”，分值在17 ～ 22分之间. 其他试卷题量各不相同，客观题数量从一道到三道，主观题数量从零道到一道，各有差异，分值6 ～ 27分各不相同.

由于在《普通高中数学课程标准（实验）》和考试大纲中，文、理科对于概率、统计与计数原理的要求有所差别，同时新高考相较原来课程内容有一定的更新，导致对应的文、理科试卷有较多的姊妹题出现，同时又存在一定的差异;各卷试题虽然题量分值差异较大，但试题的背景及知识点同根同源.

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）中对于概率、统计与计数原理的考查不再有文、理分科的区别，因此全国6份试卷中文、理科完全相同的题量增加，传递了新高考命题文、理科同题的信号.

3. 总体难度稳定，突出通性、通法

2020年高考数学试题根据学科特点，科学调控试卷难度，充分体现了“低起点、多层次、高落差”的科学调控策略. 13份数学试卷中的概率、统计与计数原理试题总体难度平稳、层次清晰，突出对基础知识、基本思想和关键能力的考查;情境真实，背景丰富，突出运用概率与统计知识和方法考查理性思维、数学应用等学科素养的特点. 例如，全国Ⅰ卷文科试题将概率问题的考查从18题变为17题，其中第（1）小题考查的是利用频率估计概率的问题，第（2）小题考查的是利用平均数来进行决策的问题，两道小题的设计都遵循低起点和低难度，从数学概念、数学方法等方面入手，面向全体学生，体现注重考查基础知识、回归教材的特点. 这些做法充分体现了在考查必备知识的基础上，突出对通性、通法的考查.

二、命题思路分析

2020年高考数学概率、统计与计数原理试题，面向全体学生，以丰富的背景为依托，重点考查学生的数据分析、数学建模、数学抽象、逻辑推理和数学运算素养. 命题重视计数原理、概率与统计的重点内容和主干知识，加大对核心概念和思想方法的考查力度;命题在遵循基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求的同时，加大对试题情境的创新力度，多数试题背景源于社会生产实际，令人耳目一新，体现了数学与生活的密切关联;命题通过具有浓厚时代气息的现实问题，加大对数学阅读与理解能力、信息提取与整合能力、语言表达与运用能力的考查力度，全面检测学生的概率、统计与计数原理的必备知识、关键能力和学科素养.

1. 注重基础考查，突出主干内容

2020年的13份高考数学试卷中都有关于概率、统计与计数原理的基本内容的考查，主要涉及建立模型、样本数据的计算、数据分析、古典概型、计数原理等，都以容易题和中档题出现. 这种做法既体现了高考聚焦数学概念、强调基础性的命题指导思想，又有利于学生形成用数学的方式思考问题的习惯.

【评析】此题主要考查利用散点图选择回归方程模型的问题，是统计的主干知识. 学生需要分析散点图后结合函数图象的知识选择合适的回归模型. 该题围绕主干内容，文、理同题共用，考查基本的数学概念、思想和方法，既考查了学生对基础知识的掌握情况，又体现了高考试题文、理趋同的变化.

【评析】此题主要考查平均数和中位数的概念与计算，要求学生根据已知条件，列出关于a，b的方程，从而求解. 此题在考查学生基础知识的掌握情况的同时，又需要学生具备基本的数据分析和数学运算素养，充分体现了《标准》对通性、通法的考查要求.

【评析】此题主要考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查学生的运算求解能力，能让大多数学生得分，属于基础题. 解决此题既可以利用标准差的计算方法直接计算比较大小，又可以通过分析数据的离散程度判斷标准差最大的一组. 通过基础知识考查了不同学生处理数据水平的差异，较好地发挥了高考的区分功能.

2. 注重贴近教材，引导教学回归

教材是实现数学课程目标、发展学生数学学科核心素养的重要学习资源. 高考试题千变万化，对教材习题的改编却始终是高考试题的重要组成部分. 在立足于《标准》的基础上，对教材题型的改编体现了新高考命题回归教材、贴近教学改革的命题思路，从而使高考命题有了良好的教学导向，也可以较好地达到考查学生对学习目标的掌握情况的目的.

【评析】此题由人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2—3）》第一章复习参考题A组第8题第（4）小题改编而成，主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式. 学生只需对通项中的指数赋值就能作答，考查学生运用转化与化归思想分析和解决问题的能力. 这种设计源于教材、素材取自于教材的试题还有很多，这些试题充分诠释了教材的重要性，重在引导中学教学遵循教育规律、回归课堂，用好教材，避免超纲学、超量学，引导学生回归数学学习的本真.

3. 注重统计思维，考查关键能力

统计思维是基于问题、收集数据、分析数据、解读数据的过程，是在获取数据、从数据中提取信息、论证结论可靠性等过程中表现出来的一种思维模式. 只有具备统计思维才能掌握数据分析的关键，才能养成阅读、理解、辩证思考统计信息及做出决策的统计素养. 在概率、统计与计数原理内容的考查中，注重以现实问题为背景、以统计数据为载体，将关键能力与统计思维有机结合，突出统计推断、数学建模和数学化等思想方法，考查学生对概率与统计思想方法的理解、掌握和运用程度.

【评析】此题以沙漠治理为背景设计，选取生态问题切入，提取并分析数据，利用样本估计总体，计算野生动物数量的估计值，然后根据数据选择合适的抽样方法，主要考查学生的数据处理能力和创新应用能力，以及分析问题和解决问题的能力. 沙漠治理问题是一项长期而艰巨的任务，治理效果可以通过植被状况和生物多样性来反映，这种真实的问题情境既具有现实意义，又是学生运用所学知识能够解决的问题，试题研究结论既反映了我国在环境治理方面的成就，又体现了立德树人的教育宗旨.

【评析】此题以判断到公园进行体育锻炼的人次与当天的空气质量状况是否有关为背景，给出某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次的数据表，重点考查学生运用概率与统计思想解决统计模型的能力. 试题通过计算对应空气质量等级出现的频率，用频率估计概率、用频数分布表来估计总体的平均数，是一道考查统计推断方法的好题. 同时需要学生利用建模的思想，根据频数分布表建立2 × 2列联表模型，判断锻炼人次与空气质量的相关程度. 试题设问梯次递进、衔接自然，展示了数据整理、显示、分析、建模和应用，以及统计推断的全过程，引导学生关注生活中的数学问题，学会用统计思维解决实际问题.

4. 注重情境创新，考查数学应用

创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭源泉，是引领发展的第一动力. 创新试题情境设计新颖灵活、不落俗套，脱离一般的解题套路，采取多样化的形式、多角度的设问、不唯一的答案，真实地考查数学应用. 2020年概率、统计与计数原理试题体现了创新导向，通过创新试题的素材背景、呈现形式和设问方式，将统计思维作为重点目标，将应用性作为重点要求，突出考查学生的统计思维、创新能力和数学应用. 大多数试题以概率、统计与计数原理的基础知识为载体，借助开放性、探索性和创新性问题，让学生从不同的角度认识问题，鼓励学生主动思考、发散思维，激发学生的想象力和思想的张力，把学生从标准答案中解放出来，而不是注重刷题和训练的技巧.

【评析】此题以信息论之父香农（C.E.Shannon）提出的“信息熵”的概念为背景，给出了信息熵的数学定义和计算信息熵的数学表达式，要求学生结合对数运算、对数函数的性质和不等式的基本性质，判断信息熵的相关数学性质. 学生需要提取条件信息，在理解信息熵的数学定义的基础上，分析信息熵具有的非负性、对称性、确定性和单调性等性质，对学生借助已有知识获取新知识的能力、对新概念的理解能力和对新问题的探究能力都有较高要求. 信息熵在数学上量化了通讯过程中信息漏失的统计本质，具有划时代的意义. 因此，试题对激发学生学习数学的兴趣、体会数学的应用价值、提高探究能力都有着积极的引导作用.

【评析】此题将概率知识与数列问题有机结合，具有一定的创新性，主要考查古典概型、概率中递推关系、构造法求数列通项、数学期望公式等知识和方法，考查学生的综合分析求解能力. 需要学生通过探索第n - 1次操作后的结果与第n次操作后的结果的递推关系构造新数列，体现了实践能力和创新意识在解决问题中的重要性. 此题的知识与方法跨度较大，平时不多见，对学生的综合能力要求较高，对学生的数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养水平有较好的检测和区分功能，是难得的好题.

5. 紧跟时代步伐，展现育人价值

知识来源于生活，也服务于生活，数学学习离不开生活. 概率、统计与计数原理是数学与其他领域交叉最多的主题内容，2020年高考数学试题中不乏见到与生活息息相关的实际问题，这些实际问题的背景丰富多彩，体现了数学在科技生活中的应用价值，有助于学生养成用数学眼光发现问题、用数学方法提出问题、用数学思维解决问题的习惯.

例10 （全国Ⅱ卷·理3 / 文4）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1 200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压. 为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作. 已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概括不小于0.95，则至少需要志愿者（    ）.

（A）10名 （B）18名 （C）24名 （D）32名

【评析】此题以疫情防空期间志愿者参加配货工作为背景设计，立足于考查概率与统计的基础知识、基本方法和基本能力，要求学生能读懂试题内容，理解信息、提取信息，并能建立概率模型分析问题和解决问题. 试题紧扣疫情期间大规模网购配货的真实情景，学生十分熟悉，体现了生活中处处有数学，展现了数学的科学价值、应用价值和育人价值. 试题的情境具有浓厚的时代气息，弘扬了志愿精神，具有积极的教育意义.

例11 （全国Ⅰ卷·文17）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为A，B，C，D四个等级. 加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元;对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元. 该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务. 甲分厂加工成本费为25元 / 件，乙分厂加工成本费为20元 / 件. 厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下.

（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;

（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？

【评析】此题以厂家生产工作为背景，需要学生建立模型，利用平均数分析两个分厂的生产利润，契合社会热门的利用大数据服务生产生活的话题，体现数学在现实生活和劳动教育中起着至关重要的作用. 试题以产品标准、产品质量和平均利润为依据，将劳动教育与数学课程有机结合，有利于促进学生树立正确的劳动观念、劳动态度和劳动精神.

6. 贯彻评价体系，落实五育并举

《中国高考评价体系》（以下简称《体系》）是高考命题的理论基础和实践指南，贯彻高考评价体系要体现立德树人、服务选才、引导教学的核心功能，要结合学科特点，全面落实“五育并举”的要求. 2020年高考数学计数原理、概率与统计试题，贯彻落实高考评价体系学科化的具体要求，将我国社会主义建设成果、社会生产劳动实践、体育运动项目等问题情境与数学基本概念有机结合，在体现运用计数原理、概率与统计的知识、思想和方法，考查逻辑推理、数学建模、数据分析等学科素养的同时，全方位考查学生的数学阅读理解能力.

例12 （全国Ⅰ卷·理19）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.

经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空. 设每场比赛双方获胜的概率都为[12.]

（1）求甲连胜四场的概率;

（2）求需要进行第五场比赛的概率;

（3）求丙最终获胜的概率.

【评析】此题以羽毛球比赛为背景，将概率问题融入羽毛球比赛的约定赛制之中，意在考查學生对概率基础知识的掌握程度，对事件进行分析、分解和转化的能力，以及逻辑思维能力. 需要学生根据赛制建立模型，列出符合题目条件的基本事件，再进行解答. 羽毛球一直是中国的体育运动强项，以此为背景，有利于增强学生的民族自豪感与自信心. 类似的还有全国新高考Ⅰ卷（Ⅱ卷）第5题，以学生喜爱的足球和游泳运动为背景设计了简单的计算问题，考查学生对统计数据的理解和应用能力，有利于体现数学在体育运动中的应用，激发学生参加体育运动的兴趣.

【评析】这3道试题分别以精准扶贫工作、垃圾分类宣传和做场馆志愿者为背景设计计数问题，考查学生对计数原理的理解程度，充分体现应用题贴近时代、贴近社会、贴近生活的特点. 试题的情境时代特色鲜明，设计源于教材、注重基础，充分体现了立德树人的教育理念.

三、复习备考建议

1. 立足于数学内容本身，构建知识结构体系

《标准》要求，高考数学试题要围绕数学本身，强调基础性. 2020年高考概率、统计与计数原理命题，进一步强化对“四基”的考查，进一步体现基础知识在考试中占有重要地位.

在复习中，要重视对基本概念、定理、方法的理解和运用，突出通性、通法，既不能只将目光集中在具体的问题上，也不要人为地拔高要求，而应该注意把握核心概念的内涵和外延，强化对知识的梳理，在系统地掌握基础知识和基本技能的基础上，加强基本思想方法的渗透，形成计数原理、概率与统计的网络化知识结构体系，提高解题能力.

2. 立足于精准落实基础，发挥教材引领功能

数学教材为教学提供学习主题、基本线索和具体内容，是实现数学课程目标、发展学生数学学科核心素养的重要资源. 同时，教材也是高考数学命题的重要素材. 特别是针对本专题的新增内容，教师要在深入研究教材内容变化的基础上，充分发挥教材的引领功能，可以在教材的基础上进行引申、推广、变通和拓展. 回归教材是高效备考的重要途径，要高屋建瓴地审视高中概率与统计的内容，做到吃透教材、用活教材，真正发挥教材的根基作用.

复习时要从新旧教材增减内容出发，抓牢“三阶段”，抓准复习节奏，做到落实教材、控制长度;整合教材、缩短宽度;拓展教材、优化深度. 贯通“四环节”，精准落实基础，做到重品章引言、章小结，建构知识结构;重温公式定理推导，提升认知高度;重整教材重点习题，夯实通性、通法;重现教材典型例题，规范解题格式. 最终实现深度复习的“三变”：一变脱离教材为追本溯源;二变题型套路为温故知新;三变过度训练为有效综合.

3. 立足于知识交会综合，发展数学建模能力

2020年概率与统计试题，进一步尝试“重心后移”的命题策略，通过增加思维量，把考查的重点后移到对数据的分析、理解和找规律上. 进一步增加数据阐释的选择性、开放性和多样性，学生只要给出合理的解释都可以得分，鼓励学生创造性地解答问题. 同时以现实生活中的实际情境为背景命题，增加阅读量，并与其他专题相结合，形成综合性的能力考查，注重在不同知识的交会处命题而形成的综合性问题.

复习时应着眼于训练学生的数学阅读理解能力，加强学生用数学的方法理解问题、分析数据的训练，提升从材料中抽象出合适的数学模型的能力. 同时要着重梳理概率、统计与计数原理与其他专题知识的联系，形成知识结构体系.

4. 立足于数学思想方法，提升数据分析素养

本专题内容对于概率与统计的思想、或然与必然的思想和特殊与一般的思想等有较高的要求. 从近几年高考命题可以看出，高考命题正在朝着淡化特殊解题技巧、注重对数学思想方法的理解与运用的方向发展. 近几年概率、统计与计数原理的高考命题趋势，需要学生选择合适的收集数据、统计数据、分析数据的方法，建立合适的数学模型，进行推断、得出结论.

复习时应关注学生对这些数学思想方法的渗透，让学生掌握用概率与统计思想分析问题的习惯，掌握概率与统计问题的一般解决方法，真正养成从数学角度认识世界，用数学思维思考问题，用数学方法解决问题的习惯. 计数原理、概率与统计的复习不能搞题型套路的教学，否则，学生一旦面对新的问题情境，就会显得手足无措和力不从心. 只有站在概率与统计的思想高度来引领复习，才能让学生真正实现举一反三，提高解决实际问题的能力.

5. 立足于研究高考试题，把握数学命题趋势

《体系》引领下的新高考数学命题正在由能力立意向素养导向变革，2020年的高考试卷除旧高考全国卷外均已不再分文、理科，新高考数学在题型和试卷结构上适度创新，引入了多选题和结构不良题，体现了文、理不分科后数学考试的特点. 新高考会进一步体现考主干、考能力、考素养，重思维、重应用、重创新的做法，会进一步展现重视考查学生“四基”“四能”的特点，会进一步实现让学困生有获得感、让中等生有提升感、让优等生有成就感的意图.

计数原理、概率与统计的内容在《标准》中调整最大，地位更加凸显，特别是它在形成学生的统计推断思维、数学建模能力和数据分析素养的过程中有着不可替代的作用. 在2020年的绝大多数高考试卷中，关于本专题的考查达到15分以上，个别试卷关于本专题的考查达到了27分，这充分说明本专题内容在高考中的重要地位. 在不分文、理科的新高考命题中，本专题会进一步加强题量分值的考查力度，加强试题情境的创新力度，加强试题难度的调控力度，真正实现高考的选拔评价功能，助力素质教育发展.

复习时应根据本专题内容的考查特点和命题趋势，采取针对性更强的绿色备考策略，实施贴近教材的深度复习方案，摆脱教辅资料和题海战术的束缚，让教材在复习中发挥更好的作用，揭示数学教学的本来面目，促进高中数学教学真正从“育分”回归到“育人”.

四、模拟试題欣赏

1. 已知随机变量[ξ]的分布列如表7所示.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]教育部考试中心. 以评价体系引领内容改革  以科学情境考查关键能力：2020年高考数学全国卷试题评析[J]. 中国考试，2020（8）：29-34.

[3]赵轩，任子朝. 中学数学中概率的相关概念辨析：从一道高考题谈起[J]. 数学通报，2018，57（12）：1-4.

[4]任子朝，陈昂，赵轩. 加强数学阅读能力考查  展现逻辑思维功底[J]. 数学通报，2018，57（7）：8-13.

[5]范美卿，赵志菊，张晓斌. 2019年高考“概率与统计、计数原理”专题命题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2019（9）：37-44.

[6]金克勤. 2018年高考“概率与统计、计数原理”专题命题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2018（9）：31-38，63.

[7]曹宇辉，吴丽华. 2017年高考“概率与统计、计数原理”专题命题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2017（10）：35-41.