2020年高考“计数原理、概率与统计”专题解题分析

范俊明 蒋志方 徐新斌

摘  要：2020年高考数学试卷中有关计数原理、概率与统计的试题聚焦重点内容，注重知识交会，突出理性思维、数学应用和数学探究，全面考查概率与统计的基本思想和方法，以及学生的阅读理解与信息整理能力和数据分析与数学建模素养. 通过对本专题典型试题进行解题分析，总结这类试题的一般解题规律和解题失误，并由此给出教学建议.

关键词：高考数学;概率与统计;计数原理;解题分析;教学建议

综观2020年全国13份高考数学试卷，以计数原理、概率与统计为主的试题，遵循基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，贯彻“低起点、多层次、高落差”的科学调控策略，突出概率与统计内容的应用特色，着重考查学生的阅读理解与信息整理能力，突出数据分析与数学建模素养. 同时，在题型创新上加大力度，如全国新高考Ⅰ卷在新题型多选题中，采用了概率统计与函数交会的试题作为压轴题，江苏卷附加题也采用了概率统计与数列交会的试题等，体现了高考改革的方向，将对中学概率与统计专题的教学发挥积极的引导作用.

《中国高考评价体系》引领下的新高考模式正在逐步推进中. 本文以《普通高中数学课程标准（2017年版）》和《中国高考评价体系》为依据，充分挖掘计数原理、概率与统计在新旧教材内容之间的知识衔接点、共同点和差异点，归纳总结本专题的试题类型、考查特点和解题经验，并给出本专题的教学建议.

一、试题分析

2020年高考数学对“计数原理、概率与统计”内容的考查，均以概率与统计和计数原理的必备知识为载体，突出本专题内容的应用特征，题型涉及选择题、填空题和解答题，主要围绕计数原理、古典概型、概率的基本性质、频率与概率、离散型随机变量分布列、期望及方差、样本的数字特征、相关性分析和独立性检验等方面进行考查.

1. 计数原理

例1 （全国Ⅱ卷·理14）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________.

解法1：4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，第一步先取2名同学看作一组，剩余两人各一组，选法有[C24=6]种;第二步再可看成是3组同学分配到3个小区，分法有[A33=6]种，根据分步乘法原理，可得不同的安排方法为[6×6=36]种.

解法2：设3个小区为甲、乙、丙. 由题意知去3个小区的同学人数一定是2，1，1，所以先考虑第一类：选取2人去甲小区，选法有[C24=6]种，再选取1人去乙小区，选法有[C12=2]种，最后选取1人去丙小区，选法有[C11=1]中，所以根据分步乘法计数原理，这一类的安排方法共有[C24C12C11=12]种;同理，第二类选取2人去乙小区时、第三类选取2人去丙小区时，都有同样的安排方法数. 所以根据分类加法计数原理题中不同的安排方法共有[3C24C12C11=36]种.

【评析】这是一道分组、分配型的组合计数题，源于对教材习题的改编，解决此类问题的一般方法是采用先分组再分配的策略. 在分组时要特别注意平均分组与不平均分组的差异，有时也可以用图表或树状图辅助列举，理清正确分组情况. 此类试题的易错点在于学生對解题策略掌握不牢，正面列举情况不全，或对反面情况把握不准、分类讨论不全等. 类似试题有全国新高考Ⅰ卷第3题.

【评析】此题主要考查二项展开式中指定项的系数，直接法和间接法均可解决问题. 通过对比，发现高考对二项式定理的考查主要集中在两个方面：一是系数问题，包括项的系数、二项式系数、系数和的运算等;二是项的问题，包括常数项、有理项、系数最大（小）项等. 求对应项系数的类似试题有北京卷第3题和天津卷第11题，求常数项的类似试题有全国Ⅲ卷理科第14题等. 此类试题的易错点通常表现为：（1）混淆项的系数与二项式系数的概念;（2）忽视项的系数的正、负问题;（3）出现通项的计算、根式与分数指数幂互化运算等失误. 因此，对二项展开式中项的研究方法要根据通项灵活处理，在运算量不大的情况下，可以直接全部展开，也可以部分展开后再考查目标项的构成.

3. 概率部分

（1）古典概型.

【评析】古典概型是高考命题的重点，试题难度中等，要求学生通过阅读提取信息，并掌握必要的计数方法：枚举法、树状图或者排列组合知识计数原理等. 易错点主要有：（1）对基本事件（样本点）的概念理解不清晰，对样本空间中样本点个数计算出现重复或遗漏;（2）忽视基本事件的等可能性.

解答此类试题，一般分为如下3步.

步骤1：分析已知条件是否满足古典概型.

步骤2：找出基本事件总数以及随机事件包含的基本事件数.

步骤3：代入古典概型的计算公式求解.

如果基本事件的个数比较少，可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来. 如果基本事件个数比较多，列举有一定困难，可以用树状图法进行辅助. 类似的试题有江苏卷第4题.

（2）概率的基本性质.

例4 （全国新高考Ⅰ / Ⅱ卷·5）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（    ）.

故该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.

例5 （全国Ⅰ卷·理19）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.

【评析】这两道试题主要考查概率基本性质的运用和独立事件概率的计算. 两道试题都以与学生生活密切相关的体育运动为背景，巧妙地将概率问题融入实际生活之中，分别以人数占比、参赛人的获胜概率设问，重点考查学生对古典概型、事件的关系和运算、事件独立性的掌握情况，对事件进行分析、分解和转化的能力，以及分类与整合的思想和逻辑思维能力.

解决这类问题的基本步骤如下.

步骤1：把随机事件符号化. 即把每个随机事件用符号表示清楚.

步骤2：把各随机事件关系化. 即把随机事件之间的关系研究清楚，对和事件、积事件、互斥事件、对立事件、相互独立事件等要有清晰的认知和准确的辨析.

步骤3：合理选择运算方法. 即运用概率公式和性质进行概率运算.

步骤4：对结果的合情解释. 解答这类试题要充分理解概率的基本性质，熟练运用或然与必然思想.

常见的易错点有：随机事件表述不准确，事件间关系不清晰，概率基本性质不熟，对实际问题理解不到位，找不到解答的方向等. 类似试题还有天津卷第13题.

（3）频率与概率.

例6 （北京卷·18）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相應的活动方案：方案一、方案二. 为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如表1所示.

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.

（1）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率;

（2）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率;

（3）将该校学生支持方案二的概率估计值记为[p0，] 假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为[p1]，试比较[p0]与[p1]的大小.（结论不要求证明.）

说明：样本体现出男生支持方案二的比例高于女生. 一年级的男女比例高于样本中学校的男女比例，所以去掉一年级学生的支持率，其他年级的支持率会降低.

【评析】频率与概率的区别与联系是高考试题中考查学生数据分析、数学建模素养的重要知识点，解答这类题需要学会分析数据，从中获取有用的信息，计算频率，然后用频率作为概率的估计值建立数学模型. 易错点主要有对频率与概率的联系不清晰、数据分析错乱、运算出错等.

（4）离散型随机变量分布列、期望及方差.

【评析】该题一题双空，增加了得分点，降低了试题难度，是近几年高考中常用的题型. 这类试题的易错点主要有：混淆不放回取样和放回取样，导致样本点计算、概率计算出错;忽视对分布列的概率和为1的验证等. 解答这类题要做到具体问题具体分析，并深刻理解两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布等分布列之间的区别与联系.

求离散型随机变量分布列的一般步骤如下.

步骤1：确定随机变量所有可能的取值.

步骤2：写出随机变量的每个取值所对应的随机事件.

步骤3：计算随机变量所对应的每个事件发生的概率.

步骤4：以列表形式写出分布列.

4. 统计部分

解法2：一般情况，样本数据的分布越集中，其方差越小，标准差也越小;样本数据的分布越分散，其方差越大，标准差也越大. 所以对比4个选项中样本数据的均值都为2.5，数据分布中与均值相比最集中的是选项A，其方差和标准差最小，最分散的是选项B，其方差和标准差则最大.

【评析】此题主要考查比较标准差的大小、方差公式的理解与应用和计算能力. 用数据说话并计算其数字特征值（如平均数、方差、标准差等）是概率与统计试题的有效考查方式. 解决此类问题的一般方法是正确理解图表中数据所代表的实际意义和各个数字特征的具体含义. 而公式的记忆、运算技巧是学生的易错点. 类似试题还有全国Ⅲ卷文科第3题、江苏卷第3题、上海卷第6题和天津卷第4题等.

（2）相关性分析.

（3）由（2）知，各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物的数量差异很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得对该地区这种野生动物数量更准确的估计.

【评析】相关性分析问题是近几年高考的热点问题，其题型特点是数据准备阶段的步骤略有减少，呈现的一般是规范的数据格式或数据回归模型，采取“重心后移”的策略，把考查的重点后移到对数据的分析、理解和找规律等方面，减少了繁杂的数据运算，突出对概率统计思想方法的理解和运用的考查. 解决这类试题的关键是准确理解题意和数据分析，提高数学阅读和理解能力. 类似的试题还有全国Ⅰ卷文（理）科第5题.

因此有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.

【评析】独立性检验是近几年高考中概率统计的必考题型. 解决这类题首先要克服恐惧心理，排除干扰数据，理清数据与所求量之间的关系. 这类题型主要包括数据分析中的整理数据、提取信息、构建模型、进行推断、获得结论等重要过程. 易错点为包括以下几个方面.

（1）对分类变量的取值范围认识不清，数据分析时，统计不完整，概率估计计算出错.

（2）对频率与概率的概念模糊不清，误认为频率就是概率.

（3）对符号表示的意义不能正确理解，在解答中容易出现符号表达错误.

（4）不能准确理解临界值表的意义，不能将有95%的把握转换为犯错误的概率是[0.05].

在信息化时代，信息整理能力十分重要，它包含信息的获取与识别、信息的处理与分析等. 数学信息整理能力表现为用数学眼光发现问题，用数学思想方法准确地概括和描述问题、理性地分析和解决问题. 此题以当前社会关心的空气质量状况和在公园进行体育锻炼为背景，给出数据表，考查学生对概率统计基本思想、基本统计模型的理解和运用;试题的第（3）小题考查数据整理、分析、建模和应用，以及统计结论的解释等多方面的内容和要求，引导学生关注生活中的数学问题，并应用数学知识和方法整理信息、解决问题. 相似试题还有全国新高考Ⅰ卷（Ⅱ卷）的第19题.

二、解法欣赏

2020年高考数学对计数原理、概率与统计的考查特点突出，主要聚焦在图表类型、生活语言文字类型和复杂数学关系类型上，进一步凸显了时代特征、真实情境和数学应用. 特别是一些有代表性的典型试题，通过不同层次、不同类型的试题和不同知识的交会，借助多种形式、多个角度和多种解法，达到了考查阅读、应用、建模能力的目的.

例11 （全国Ⅱ卷·文4 / 理3）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1 200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压. 为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作. 已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概括不小于0.95，则至少需要志愿者（    ）.

【评析】此题以志愿者参加某超市配货工作为背景设计问题，考查学生对基础知识的掌握程度及运用所学知识解决问题的能力. 试题背景是学生十分熟悉的疫情期间大规模的网购、配货，是发生在学生身边的真实事情. 试题考查概率的基础知识和基本方法，学生只要能读懂题意即可得到正确答案，对稳定学生的考试心态和提高学生的获得感都有良好的作用. 试题情境具有鲜明的时代气息，体现志愿精神，具有积极的教育意义. 试题重在考查学生分析问题和解决问题的基本能力，体现了对核心素养与关键能力的考查要求. 解法1和解法2是从正面直接分析，通过方程，可以直接找到临界值，而通过不等式可以直接找到“至少”的答案. 解法3则是通过选项直接计算判断哪个更加符合“至少”这一特征. 在古典概型中，常常需要灵活运用事件间的互斥、对立关系来化解复杂的计算，当问题中出现“至少、至多、不小于”等特征词语时，也要注意灵活运用间接法、排除法等特殊方法.

【评析】此题作为多项选择题的压轴题，以信息熵为背景，通过给出信息熵的数学定义，结合对数函数知识，编制了与信息熵性质相关的4个数学命题，考查学生对新知识的获取能力、对新概念的理解能力和对新问題的探究能力. 对于选项A，求得[HX，] 由此判断出选项A的正确性. 对于选项B，利用特殊值法进行排除. 对于选项C，计算出[HX，] 利用对数函数的性质可判断其正确性. 对于选项D，解法1是先直接计算出[HX，HY，] 再利用基本不等式和对数函数的性质判断出对错;解法2是利用对数的运算性质，将对数的大小比较转化为指数的大小比较，要求熟练掌握指对数的运算性质，运算量较大;解法3是将复杂的计算问题特殊化处理，转化为前面的选项A和选项B，再直接利用前面的计算结果找到反例，否定该结论，较大程度上降低了计算量. 通过求解试题，学生能充分体会到数学的应用价值，提高数学学习的兴趣，对培养学生探究未知的精神有着积极的引导作用.

【评析】此题是江苏卷的压轴题，考查古典概型、概率中的递推关系、构造法求数列通项、随机变量的分布列与数学期望等，综合考查了学生的逻辑分析求解能力. 此题将高等数学知识与高中数学知识有机融合，是继2019年全国Ⅰ卷理科第21题后再次将概率与数列交会，涉及高等数学中的随机过程背景，与“赌徒输光”和“酒鬼漫步”等概率模型相似，属于马尔科夫链（Markov Chain）. 试题将马尔科夫链和一个二阶齐次线性递归数列相联系，虽然思维跨度较大，但构造等比数列的形式在结论中已经给出，降低了难度. 与2019年全国Ⅰ卷理科第21题相比，此题降低了对概率问题的理解要求，更侧重概率与数列知识的交会，缺少了对结果的分析和解释. 解题的思维难点在于：（1）理解[pn]和[qn]的含义;（2）将概率问题转化为数列问题. 解题的基本对策在于理解题意，提取有效信息，用初等数学知识消化高等数学背景.

三、教学建议

通过以上试题分析和解法欣赏，可以发现2020年高考数学对计数原理、概率与统计的考查以现实生活为背景、以必备知识为重点、以基本问题为载体进行交会命题，全面考查了统计与概率、计数原理的基本思想方法，以及学生的关键能力和学科素养. 基于此，对本专题的教学提出如下建议.

1. 依托教材内容，准确把握基本概念的教学规律

2020年计数原理、概率与统计的高考考查对象表明：（1）基本概念的考查面广，必考点和轮考点交替命题. 必考点涉及排列组合、古典概型、随机变量的分布、期望与方差、正态分布、统计图表、样本的数字特征、线性回归方程、独立性检验;轮考点涉及二项式定理、概率的性质、几何概型、随机抽样等. （2）基本技能的考查难度恰当. 如计数原理避免排列组合的复杂技巧，只需简单的分类讨论和列举法就可以解决问题;二项式定理重点考查通项公式;概率与统计突出考查古典概型、概率的简单性质和数字特征. 这些试题基本都与教材例、习题的难度相当.

概率与统计的思维方式与逻辑推理不同于其他数学内容，对结论的判断标准也不一样，而这些差异都与理解基本概念密切相关，因此，对基本概念的理解在计数原理、概率与统计部分显得尤为重要. 基于此，在教学中教师首先要善于认真钻研教材，准确把握计数原理、概率与统计的基本概念的教学策略，要特别注重这些概念和方法的产生和形成过程，要将概率中的概念和统计中的概念进行对比说明;其次，要突出重要概念的实际意义，突出用概率与统计方法解决实际问题的基本思想，突出知识的综合应用，让学生将抽象的概念与具体的生活实际相结合，从而帮助学生进一步理解这些概念的内涵.

2. 注重知识交会，有效落实相关内容的纵横联系

2020年高考数学计数原理、概率与统计的考查问题表明：（1）问题的纵向联系紧密. 试题往往注重通过图表的形式给出数据，再进行数据分析，并体会数据分析的决策作用.（2）问题的横向联系频繁. 试题常常联系函数性质分析单调性、联系数列知识确定通项等.

教学时要注重本专题知识的内在联系，兼顾知识内部的交会整合. 例如，计数原理是古典概型的基础，概率既具有决策的作用，又具有统计的意义. 又如，在直方图中求中位数和平均值，在茎叶图中求平均值与方差，线性回归方程中相关公式的变形和数据处理等. 同时，还要注重本专题知识与其他内容的相互联系，适当体现跨专题、跨学科的交会综合. 例如，二项式定理可与二项分布相联系，概率性质可与集合的交、并、补相联系，几何概型可与平面几何、立体几何知识相联系等，在这些知识的交会处，可适度拓展延伸，有效落实相关内容间的纵横联系.

3. 捕捉时代气息，真实提升数学阅读与理解能力

2020年高考数学中的计数原理、概率与统计试题表明：（1）通过真实的问题情境，体现我国的科学防疫成果、建设成就和制度优势，具有鲜明的时代特色，充分发挥了数学试卷的育人功能.（2）进一步采用非连续文本的方式，加强对数据整理、加工分析和统计推断的考查，突出数学建模能力、信息处理能力和阅读理解能力的考查力度.

教学时要重视数学抽象、数学建模、数据分析这三大核心素养在解决概率与统计问题中的支撑作用，要加强培养学生用数学概念解读具体问题、提取数学信息的能力，要加强培养学生对文字语言、符号语言、图表语言的相互转换能力，使学生逐步掌握“读懂、理清、弄通、会做”的四个步骤，要善于与时俱进地捕捉时代气息，借助具有真实情境的数学问题，在全方位培养学生的数学阅读与理解能力的过程中，提升学生的数学素养.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]教育部考试中心. 以评价体系引领内容改革  以科学情境考查關键能力：2020年高考数学全国卷试题评析[J]. 中国考试，2020（8）：29-34.

[3]赵轩，任子朝. 中学数学中概率的相关概念辨析：从一道高考题谈起[J]. 数学通报，2018，57（12）：1-4.

[4]任子朝，陈昂，赵轩. 加强数学阅读能力考查  展现逻辑思维功底[J]. 数学通报，2018，57（7）：8-13.

[5]范美卿，赵志菊，张晓斌. 2019年高考“概率与统计、计数原理”专题命题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2019（9）：37-44.

[6]金克勤. 2018年高考“概率与统计、计数原理”专题命题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2018（9）：31-38，63.

[7]曹宇辉，吴丽华. 2017年高考“概率与统计、计数原理”专题命题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2017（10）：35-41.