2020年高考“选考内容”专题命题分析

周妍 吴丽华

摘  要：通过对2020年高考数学试卷中选考内容试题的分析，概括命题特点，解析命题思路，通过对比教材及历年高考的部分试题，对典型试题的命制和思想方法进行评析，分析选考内容的命题趋势，对2021年高考备考提出复习建议.

关键词：选考内容;考点分析;复习策略

2020年高考数学的13份试卷中，全国Ⅰ卷（文、理）、全国Ⅱ卷（文、理）、全国Ⅲ卷（文、理）和江苏卷对选考内容进行了考查，而北京卷、浙江卷、天津卷、上海卷、新高考全国Ⅰ卷（Ⅱ卷），由于均为实施《普通高中课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）下的新高考，均不涉及对这部分选考内容的考查. 全国Ⅰ卷（文、理）、全国Ⅱ卷（文、理）、全国Ⅲ卷（文、理）和江苏卷对此部分内容的考查立足基础知识，注重能力立意，考查数学思想和核心素养.

一、考查内容分析

1. 难度适中、难度平衡，有利于选择公平性

全国Ⅰ卷（文、理）、全国Ⅱ卷（文、理）、全国Ⅲ卷（文、理）中的选考内容试题难度适中，容易入手，注重考查核心概念及通解、通法，对应的两道试题难度平衡，体现了选考的公平性.

2. 注重基础性和创新性，注重对数学本质的考查

以往这部分高考试题大多数考查的是学生比较熟悉的曲线、直线、圆、椭圆等. 2020年全国Ⅰ卷、全国Ⅲ卷考查的曲线学生并不熟悉，面对新的曲线，试题更侧重考查坐标系和参数方程中的核心概念，考查用方程解决解析几何问题的思想，在新情境中考查学生解决问题的能力，试题具有一定的创新性.

3. 注重知识的全面性

坐标系、参数方程部分的4道试题都涉及三种方程形式：曲线的普通方程、曲线的参数方程、曲线的极坐标方程，让学生充分感受到同一曲线可以有多种表达形式，它们之间可以相互转化，试题涉及的主要考点有：极坐标的概念、参数方程的概念、极坐标方程和普通方程的互化、参数方程和普通方程的互化、求曲线与曲线公共点坐标、求简单图形的极坐标方程.

不等式选讲部分的4道试题侧重考查绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式的应用、简单的不等式证明，主要考查比较法、综合法、分析法. 淡化技巧性问题，没有复杂的恒等变换.

二、命题思路分析

2020年高考选考内容部分的试题对知识的考查比较稳定，题型比较常规，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，试题注重基础性、应用性和创新性，试题命制具有以下特点.

1. 注重对数学核心概念的考查

（1）对参数方程概念的考查.

参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式. 某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，学习参数方程有助于学生进一步体会解决问题中数学方法的灵活多变.

参数方程的概念：在直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标[x，y]都是某个变数[t]的函数[x=ft，y=gt，] ①并且对于[t]的每个允许值，由方程组①所确定的点[Mx，y]都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的曲线方程，联系[x，y]的变数[t]叫做参变数，简称参数. 参数是联系[x，y]的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数.

例1 （2020年全国Ⅲ卷[∙]文 / 理22）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为[x=2-t-t2，y=2-3t+t2]（t为参数且t ≠ 1），C与坐标轴交于A，B两点.

（1）求[AB];

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.

【评析】此题已知某一条曲线的参数方程，这个参数方程并不是学生所熟悉的曲线的参数方程，学生可以通过参数方程与普通方程的转化，得出此曲线方程为[x2+y2+2xy+4x-12y=0，] 进而分别令横坐标、纵坐标为0，解出点[A，B]的坐标，完成这个问题的求解. 但解决这个问题更好的方法是借助参数是沟通[x，y]的桥梁，通过求出与坐标轴交点的参数解出点[A，B]的坐标，在此过程中学生也能更深刻地体会到参数在参数方程中发挥的作用，以及由曲线形式多样性带来的解决问题方法的多样性. 在解析几何内容的学习中，学生已经掌握了用方程性质研究曲线性质的方法. 在此题的解决过程中，我们看到借助参数方程也可以直接分析曲线的性质. 例如，曲线与坐标轴交点的个数，曲线上点横、纵坐标的取值范围，对类似性质的分析比借助普通方程研究更方便.

【评析】此题第（1）小题考查极坐标的基本概念和点在极坐标系中位置的确定，极坐标[ρ，θ]与极坐标[ρ，θ+2kπk∈Z]表示同一个点，特别地，极点[O]的坐标为[O0，θθ∈R.] 与直角坐标不同，平面内的一个点的极坐标有无数種表示形式. 如果规定[ρ>0，0≤][θ<2π，] 那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标[ρ，θ]表示，同时，极坐标[ρ，θ]表示的点也是唯一确定的.

第（1）小题中，如果将[θ=π6]代入[ρ=4sinθ]中，[ρ2]的值少解，主要问题源于对极坐标系中极点坐标表示的理解出现问题，极点的极径为0，极角任意，所以如果用极坐标的方法，需要单独检验极点是否在曲线[C]上.

第（2）小题，求解公共点是解析几何中最常见的问题，将曲线方程联立，求解方程组即可.

学生往往习惯求解普通方程组的解，不习惯用曲线的其他形式联立方程组求解，在学生学习了极坐标和参数方程后，应该发展他们关于曲线交点的更多表示方法. 类似试题如下.

（2015年全国Ⅱ卷·文 / 理23）在直角坐标系[xOy]中，曲线[C1： x=tcosα，y=tsinα]（[t]为参数，[t≠0]），其中[0≤α<π，] 在以[O]为极点，[x]轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线[C2：ρ=2sinθ，] 曲线[C3：ρ=23cosθ.]

（1）求曲线[C2]与[C3]交点的直角坐标;

（2）略.

此题第（1）小题如果用极坐标联立，一定要注意对[ρ=0]和[ρ≠0]的两种情况进行分类讨论，否则容易漏掉极点.

2. 注重对基础知识和基本方法的考查

（1）考查普通方程、极坐标方程和参数方程之间的相互转化.

高中选修系列中的极坐标与参数方程在学生已了解的曲线普通方程的基础上，又介绍了参数方程和极坐标方程，曲线的普通方程和參数方程是在同一坐标系下的不同表示形式，曲线的极坐标方程是在不同坐标系下的表示形式，学生可以对曲线的三种不同表现形式进行相互转化，从而使问题得以解决，并在此过程中体会曲线方程形式的多样性.

例3 （2020年全国Ⅰ卷[∙]文 / 理22）在直角坐标系[xOy]中，曲线[C1]的参数方程为[x=coskt，y=sinkt]（[t]为参数）. 以坐标原点为极点，[x]轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线[C2]的极坐标方程为[4ρcosθ-16ρsinθ+3=0.]

（1）当[k=1]时，[C1]是什么曲线？

（2）当[k=4]时，求[C1]与[C2]的公共点的直角坐标.

【评析】此题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与普通方程的互化，结合同角正弦函数与余弦函数的关系消去参数，得到普通方程，第（1）小题是学生熟悉的圆的参数方程. 第（2）小题曲线[C1]消去参数后的方程学生可能有些陌生，[C2]转化为直角坐标方程是直线方程，进而将两条曲线在同一坐标系下公共点的问题转化为求解方程组的问题，此方程组中含有无理方程，平方的过程中扩大了未知数的取值范围，产生了增根，要注意舍解，求公共点问题是解析几何中的常见问题. 第（2）小题的曲线[C2]在教材第26页第5题第（2）小题中有所体现.

（教材第26页第5题第（2）小题）根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程：[x12+y12=a12]，设[x=acos4φ]，[φ]为参数.

（2）注重考查绝对值不等式的理解和转化.

不等式选讲这部分内容要求学生掌握绝对值不等式的求解，绝对值不等式可以有如下三种常见解法：① 写成分段函数求解;② 利用函数图象求解;③ 利用绝对值不等式的几何意义求解. 这类问题体现了对基础知识、基本方法、基本能力的考查，突出基础性.

例4 （2020年全国Ⅱ卷[∙]文 / 理23）已知函数[fx=x-a2+x-2a+1.]

（1）当[a=2]时，求不等式[fx≥4]的解集;

（2）若[fx≥4]，求[a]的取值范围.

【评析】试题以学生熟悉的绝对值函数为背景，可以应用绝对值函数的图象或不等式方法求解问题. 此题的第（1）小题求解一个给定的绝对值不等式，属于常规问题;第（2）小题需要转化为求函数最值的问题，分段函数、绝对值的几何意义、绝对值的三角不等式都能解决这个问题. 虽然两个绝对值函数的零点均含有参数，但是参数大小关系确定，即使按零点分段讨论借助分段函数单调性研究最值也相对容易. 此题考查了学生对绝对值函数的运算求解能力，考查了函数与图象的关系及数形结合思想. 此题与2018年高考全国Ⅱ卷文（理）科第22题比较相似.

（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程;

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系. 设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和点P的圆的极坐标方程.

【评析】此题的第（1）小题考查参数方程和直角坐标方程的相互转化，曲线[C1]注意[x，y]的取值范围要和参数方程保持一致，曲线[C2]要注意选择合理的消参方法，进而得到曲线[C1]表示的是线段[x+y=4 0≤x≤4，] 曲线[C2]是双曲线[x2-y2=4.] 将参数方程化为普通方程后，曲线[C1，C2]是我们非常熟悉的曲线. 由于与渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点，借助联立法求解点[P]的坐标，将方程研究出的结论与图形相结合，更容易在图形中体会点[P]的位置，最后根据求圆方程的基本方法，求出圆的直角坐标方程，再转化为极坐标方程. 在解决问题的过程中注重与解析几何的联系，注重数与形的结合. 其原型为教材第26页第4题第（3）小题.

4. 注重对数学思想方法和关键能力的考查

选考部分考查的数学思想主要有函数与方程、数形结合、分类与整合和转化与化归，考查的关键能力主要有运算求解能力和推理论证能力.

【评析】此题考查学生对绝对值不等式的理解和应用，考查学生对绝对值函数的运算求解能力. 第（1）小题是常规设问，既考查了学生对分段函数的掌握情况，又有利于第（2）小题的求解;第（2）小题的设问非常有新意，需要学生把不等式的求解问题转化为两个函数[y=fx]和[y=fx+1]图象的位置关系问题，同时也考查学生对函数图象变换相关内容的理解，进而通过求交点坐标，结合两个图象的位置关系写出解集，此题考查函数与方程思想、转化与化归思想和数形结合思想. 类似的试题还有2016年全国Ⅰ卷文（理）科第24题.

【评析】此题考查不等式的基本性质，考查利用均值不等式证明相关不等式. 第（1）小题由所求的结构联想到将[a+b+c=0]两边平方，从而得到[a2+b2+c2]和[ab+bc+ca]间的等量关系，结合[a2+b2+c2>0，] 完成证明，同时第（1）小题也可以代换消元成二元不等式进行证明;第（2）小题以考查均值不等式为目标，设[a]为最大数，借助[b+c]和[bc]的不等关系证明[a]的范围，也可以借助根与系数关系构造以[b，c]为根的方程，进而转化为方程有解的问题，还可以用分析法证明，从结果出发，利用[a3]的代换展开证明，[a3=a2 ∙ a=a21a=][b+c2bc.] 学生可从不同角度分析思考，寻找突破口. 此题主要考查利用综合法和分析法等常规方法证明不等式，考查学生的推理论证能力.

类似题目1：已知[a，b，c∈R，] 且[a+b+c=0，][abc=2，] 求证：[a，b，c]中至少有一个不小于[2.]

类似题目2：已知[x，y，z∈R，] [a>0，] 且[x+y+][z=a，x2+y2+z2=a22，] 求证：[x，y，z∈0， 23a.]

通过以上对2020年高考数学选考部分8道试题的分析，可以看出，考查的都是需要学生掌握的内容，难度上都属于容易题或中档题. 考查的也是这两部分内容中最典型的问题，《标准》中只在主题一设置“等式与不等式性质”“基本不等式”，预计2021年的高考中，选考内容试题依旧会保持稳定状态，侧重对基本概念、基本内容和基本方法的考查，在复习过程中要杜绝偏、难、怪的问题.

三、复习建议

1. 注重对核心概念的复习

很多教师认为高三复习主要是选题、讲题，这个固然是高三复习中非常重要的一部分，但学生在解决问题的过程中出现的问题绝大多数是对概念的理解有误. 例如，对极坐标中极径、极角概念理解不清;对圆的参数方程、直线的参数方程及参数的意义理解不清;对三角函数的概念理解不清;极坐标方程中有极角，圆、椭圆、直线的参数方程中都有角，学生常常混淆它们. 带着错误的概念理解去解决问题只能是事倍功半. 因此，教师一定要把概念的复习放在非常重要的位置上，要让学生深刻理解概念后再去研究具体问题.

2. 注重对典型问题和基本方法的复习

坐标系、參数方程这部分主要考查三类问题：（1）通过极坐标方程、参数方程、普通方程之间的转化，求各种形式的方程;（2）参数方程的应用，即会用参数的几何意义解决问题，会用参数方程求解一些最值、定值问题，这些内容和三角函数定义以及三角恒等变换结合紧密;（3）考查极坐标方程的应用，即会用极角和极径的意义直接求解极坐标方程，同时处理一些有关长度和角度的问题.

解决极坐标与参数方程问题主要有两种方法：（1）将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程通过消去参数化为普通方程求解;（2）利用条件结合参数的几何意义，以及极坐标系下的极角、极径的几何意义直接解题. 由于学生对概念理解得不够深刻，导致其利用第二种方法解决问题的能力相对薄弱. 教师除了要培养学生三种方程相互转化的能力外，还要注重提高他们直接用极坐标方程和参数方程解题的意识，有些问题更能体现用自身方程形式解决问题的优势，进而提升数学思维能力.

综观近几年高考，对不等式问题的考查主要有以下三类.（1）不等式的性质.（2）绝对值不等式的解法，绝对值函数的图象，含参数的绝对值不等式求参数的取值范围等问题. 解绝对值不等式问题主要考查分类讨论思想和运算求解能力，同时也可以用函数的观点认识不等式，数形结合是突破口，考查数形结合、函数与方程思想. 含参数的绝对值不等式求参数取值范围问题，一种方法是利用绝对值的三角不等式转化为求绝对值函数的最值，注意取等条件的分析，另一种是数形结合，分析参数对函数图象的影响，借助图象与图象的位置关系得出参数的取值范围.（3）不等式证明问题主要考查学生分析问题的能力，主要考查的不等式有：基本不等式、柯西不等式、绝对值三角不等式，复习中应该选择一些能提高学生分析问题能力的问题，引导学生发现已知和欲证结论之间的联系，侧重证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法. 总之，对这两部分内容一定要针对典型问题和基本方法进行复习.

3. 针对学生出现的问题设置微专题

教师在高三复习中除了关注教以外，更重要的是关注学生的学，要引导学生独立绘制思维导图，按照自己对各部分问题解决策略的理解进行整理和总结，新课程由原来的知识目标向过程目标转化，目的是要重视学生的活动经验、提倡学生的深度学习，在学习过程中培养学生学会学习的能力. 高三的学生已经具备一定的能力，充分地相信学生，给学生思考、探究、合作、交流的机会，对学生在学习过程中暴露的问题给予及时关注，设计一些有针对性的微专题鼓励学生自主探究，培养他们发现问题和解决问题的能力. 例如，学生往往对曲线方程范围的确定存在问题，那么就可以设置微专题，让学生对这类问题进行探究，对取值范围存在的原因，取值范围求解的方法等方面进行讨论研究，加深学生对问题的理解. 只有学生亲身经历、主动参与 ，有了一定的活动经验，才能实现深度学习.

在第（1）小题的解决过程中容易出现以下两个问题：（1）没有分类意识，直接把直线[l]的方程表示为[y=xtanα+2-tanα.]（2）有分类意识，但分类标准为[α=π2，α≠π2.] 因为题中没有给出[0≤α<π，] 所以不能把这里的[α]理解为直线的倾斜角，因此出现错误. 由此可见，一定要结合具体问题弄清楚题中数学符号的含义.

在借助绝对值的几何意义解决不等式问题时，一定要用文字语言表述清楚绝对值的意义;在用图形语言解不等式的过程中，一定要阐述清楚不等式与图象位置关系的转化，同时要注意图形语言的精准性;用绝对值三角不等式求绝对值函数的最值问题中，要注意在取等条件的表述过程中“当”与“当且仅当”逻辑上的差异. 数学语言的表达既要准确、严谨、完整，又要注意科学性、逻辑性，在选考内容这部分的教学中，教师要努力提高学生用数学语言表达问题的能力.

四、模拟题欣赏

1. 已知椭圆[C]的中心为原点，焦点在[x]轴上，长轴、短轴的长分别为[23，2，] 过原点的动直线[l1]与曲线[C]交于[A，C]两点，过原点的动直线[l2]与曲线[C]交于[B，D]两点，且四边形[ABCD]是菱形. 以坐标原点为极点，[x]轴正半轴为极轴建立极坐标系.

参考文献：

[1]沈婕，纪昌武. 2018年高考“选考内容”专题命题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2018（9）：46-52.

[2]姜思洋，吴丽华. 2019年高考“选考内容”专题命题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2019（9）：53-57.