高中数学圆锥曲线解题技巧探析

马天怡

摘 要：圆锥曲线问题是高中的数学课程之中重要部分，本文根据现阶段的考试重点以及学生的学习特点对高中数学圆锥曲线不同问题的解题技巧进行分析，其中包括圆锥曲线之中动点轨迹方程问题、判断圆锥曲线与直线的位置关系问题以及中点弦问题，为今后数学教学以及圆锥问题解决提供理论依据。

关键词：高中数学;圆锥曲线;解题技巧

引言：在我国实现现代化进程之中，随着我国对于教育的不断重视，高中数学之中圆锥曲线问题是高中数学的主要部分也成为了众多学生学习过程之中的难点问题，对待不同的数学圆锥曲线问题采用不同的解题技巧可以起到事半功倍的效果，所以对高中数学圆锥曲线的解题技巧进行研究分析具有重要的实际意义。

一、求圆锥曲线之中动点轨迹方程问题

对于高中数学圆锥曲线之中求一点或多点轨迹方程问题来说，题目内部的解题条件较为灵活，所以这就要求学生在解题过程之中应该依据题目中的条件为基础，适当改变解题方法，提高解题效率。但是总体来说，求动点轨迹方程实质上就是将动点的x轴横坐标以及y轴纵坐标罗列出来，然后找出其中的等量关系再经过一系列化简得出方程式，常用的方法主要有以下几种：

（1）直接化简法

若在题目之中出现了直接的等式对应关系，并且条件较为简单，那么则可以直接将条件转变为方程式，然后通过基础的代数化简，便可以得到动点的轨迹方程式，由于此种方法不用任何解题的技巧，步骤也较为简单，所以称此种解题方法为直接化简法。直接化简法求动点方程轨迹的解题主要有以下几个步骤：首先，根据题目条件构建平面直角坐标系。其次，假设动点p的坐标为（x，y）。再次，罗列出题目条件之中的代数等式，将p点坐标带入。最后，将代数等式化简得到动点的轨迹方程式[1]。

此题由于解題条件较为简单，所以可以使用直接化简法进行解答，解题过程如下：

（2）曲线定义法

若在解题过程之中发现题目所求动点符合某些曲线的基本定义，例如双曲线、椭圆等等，那么解题时便可以根据相关的曲线定义和题目之中的条件得出动点的轨迹方程，解题时只需要将题目条件带入基本方程之中便可以得到方程式。

根据此题条件可以看出M点为标准的椭圆方程，所以便可以将题目之中所罗列的条件带入基础的椭圆方程，得到轨迹方程，解题过程如下：

二、判断圆锥曲线与一直线的位置关系问题

在高考的考纲中明确要求学生应该可以判断曲线与直线的位置关系，并且可以利用各种函数以及等价转化的数学建模思想解决数学问题，就此来看，在高考题目之中会出现判断曲线与直线位置关系的问题，此种问题具有较强的综合性，并且在解题过程之中有可能会涉及到韦达定理，一元二次方程的判别式以及向量等数学知识，可以考察学生的数学分析能力以及函数运算能力[2]。

对于判断圆锥曲线与一直线的位置关系问题最常见的方法就是将直线的方程Ax+By+C=0和圆锥曲线M（x，y）的方程联立，即可得到a+bx+cx2=0.此时便可以对曲线和直线的位置关系进行直观判断，当c=0时，二者联立后的方程便是一个一元一次方程，则曲线与圆锥是相交关系，有且只有一个交点。当c>0或者c<0时，便可以得到一个一元二次方程，根据此方程解的个数便可以判断直线与曲线的交点个数，进而判断曲线与直线的位置关系。

三、中点弦问题

在圆锥曲线问题之中涉及到的中点弦问题主要有以下几种类型：第一，求弦中点的轨迹方程。第二，求中点弦直线的方程式。只要题目中存在中点弦斜率的相应条件不论何种问题都可以使用点差法进行解答。使用点差法应该首先假设出端点的相应坐标，然后根据斜率公式与重点坐标公式，寻求弦斜率与重点坐标之间的关系。例如：在平面直角坐标系之中，存在一椭圆方程为1=y2+，并且MN是椭圆之中的一组弦，两条线相互平行，而且KMN=2，问MN中点的轨迹方程式？

结论：综上所述，对于高中圆锥曲线的解题技巧来说，需要解题者根据不同的解题类型，选择合适的方法对其进行解答，本文主要对较为常见的圆锥曲线之中动点轨迹方程问题、判断圆锥曲线与直线的位置关系问题以及中点弦问题进行分析，列出较为简单的解题方法，提高解题效率。

参考文献

[1]赵淑贤.高中数学圆锥曲线解题思考与探究[J].数学学习与研究，2019（15）：136.

[2]李勇，周会娟.从高考题看高中数学圆锥曲线解题技巧[J].数学学习与研究，2019（04）：95.