函数思想在高中数学解题中的应用

王鹏

摘 要：函数思想是高中数学教学中的重要思想之一，是数学学习的灵魂，贯穿整个教学过程.新课标改革背景下强调“教师教学过程中除了注重知识传授外，还要关注学生学习方法、思想情感以及价值观的培养，提高学生问题分析与解答能力.”在此背景下，探究函数思想在高中数学解题中的应用，不仅为学生数学学习提供了思想指导，还有利于突出重难点，满足新课标教学要求.为此，本文结合具体解题过程，分析函数思想的应用策略.

关键词：函数思想;高中数学;解题

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2020）22-0051-02

函数是高中阶段数学知识的一项重要板块，在生活形态中属于量与量之间的变换，能够为其它知识学习提供向导作用.为此，利用函数思想优化学生解题过程，提高解题能力，不仅是实现函数思想渗透的一种关键途径，更是高中数学教学的一大特色与魅力.

一、函数思想相关分析

函数是数学的基本概念，是函数思想发展的基础.因此，教师在应用函数思想辅助解题时，必须充分了解函数有关定义及性质，具体包括周期函数、单调递增/递减函数、奇/偶函数、一次函数、二次函数、指数函数（如图1）、对数函数（如图2）等，在此基础上体会函数思想.

在高中数学中，许多知识中都体现了函数思想，包括方程、不等式、线性规划、随机变量、算法等，可谓是无处不在.在解题教学中，教师要注重分析不同知识与函数之间的关系，寻求函数思想运用的切入点.

二、函数思想在高中数学解题中的运用过程

1.引用函数单调性，求解不等式问题

函数与不等式属于两个性质完全不同的知识结构，在高中数学教学中，它们却有着密切的联系.不等式性质很大程度上反映了函数单调性.因此，在解题教学中，教师可以利用函数思想引导学生用函数的观点审视不等式，更好地把握不等式本质特征.为此，在笔者看来，不等式中最值与恒成立问题是函数思想渗透的切入点.相关例题如下：

例1 对任意x∈[-1，1]，f（x）=x2+（a-4）x+4-2a的值大于零恒成立，求a的取值范围.

首先，带着函数思想进行审题，发现该问题的本质可以概述为“在某一闭区间上有参数的二次函数大于零恒成立的问题”.其次，借助分类讨论思想先将x∈[1，1]根据对称轴x=4-a2进行分类，分为1<4-a2、-1≤4-a2≤1、4-a2<-1三大段，讨论它在函数的递增、递减区间上f（x）值的情况，分别求出a的取值范围，综合出a的最终取值范围a<1.由此以来，在解题时不需要再讨论Δ<0的情况，不仅能够使每种情况不被遗漏，还可以提高解题的精确度.

2.引入函数解析式，求解数列问题

高中阶段学习的等比、等差数列本就是一类自变量为正整数的特殊函数，与函数思想有着密切的联系，不同的数列问题中无形中会隐藏着函数的某种特征.利用函数思想求解数列问题也是历年高考中的重点考题.利用函数思想求解数列问题的途径有很多，比如求解等差数列前n项和的最值问题时，可以将Sn看做关于n的二次函数，运用配方法，引入函數单调性知识解决问题.为了从“形”上帮助学生充分认识函数思想与数列知识之间的关系，本节以函数解析式的运用为例，分析相关数列问题的求解.

例2 已知a1=1，a2=a3=a4=0，求数列{an}的通项公式.

从函数思想角度分析来看，数列{an}与n之间存在着某种函数关系，可以将an看做f（n），列出函数解析式：f（n）=0（即an=0），此时n是f（n）=0的根，也可以称作零点.原问题的求解过程就可以设出an的表达式：an=k（n-2）（n-3）（n-4），根据已知条件：a1=1，运用待定系数法，求出k的值为-16，从而得出数列{an}的通项公式.

3.引入函数与方程联系，求解零点问题

函数思想是处理“数学型”问题的一种思维方法，描述的是现实生活中数量之间的变化关系.在问题解决中，从实际情境中建立对应函数模型，运用函数基本知识，实现问题的解决.方程类知识在教学中也孕育了函数思想，它的本质在于研究问题在运动中的等价关系，一般情况下习惯首先明确给出的未知量与已知量之间关系，通过构建方程或方程组，由未知量推导出已知量.虽然两者看起来本质不同，但在实际操作中常常互相渗透，函数间的关系与方程之间可以互相转换.

例3 已知函数f（x）=xlnx-ax2-x（a∈R），讨论函数f（x）的零点情况.

通过审题发现，函数f（x）并不是所熟悉的函数模型，解析式包括对数、幂函数，此时需要首先确定函数定义域x∈（0，+SymboleB@

）.接下来引导学生对原函数进行变形，变为f（x）=x（lnx-ax-1）（a∈R），同时用g（x）表示“lnx-ax-1”，二次变形为f（x）=xg（x）.因为x≠0，因此对函数f（x）零点的讨论可以转为对函数g（x）零点情况的讨论.解题过程进行到这一步时，引入函数思想中与方程之间的联系，将对g（x）零点的讨论等价转化为讨论方程lnx-ax-1=0的根的情况.但方程仍然不是我们熟悉的方程，此时可以重新从函数角度进行审视，将方程转化为lnx-1x=a的形式，求解y=lnx-1x与y=a交点横坐标，从而得出原函数f（x）的零点情况.

综上所述，函数思想在高中解题过程中的运用，不仅展现了函数知识与其它板块知识之间的联系，还为解题提供了新思路，有利于培养学生创新意识，提高解题能力.为此教师要重视函数思想的渗透，优化解题过程.

参考文献：

[1]朱兆轩.函数思想在高中数学解题应用中的再思考和实践[J].数学学习与研究，2018（22）：124.

[2]何介.如何将函数思想融入高中数学教学[J].数学学习与研究，2019（05）：90.

[责任编辑：李 璟]