聚焦函数零点 求解参数范围*——从一类高考题谈起

蔡海涛

(福建省莆田第二中学，351131)

已知函数的零点个数求参数的取值范围，这类高考题在近几年高考中频频出现，成为高考的热点.如2014全国卷Ⅰ理科第11题，2016全国卷Ⅰ理科第21题，2017全国卷Ⅰ理科第21题，2017全国卷Ⅲ理科第11题，2018全国卷Ⅰ理科第9题，2018全国卷Ⅱ第21题等.本文举例探讨解决这类问题常用策略.

一、直接分离参数

(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;

(2)若函数f(x)的导函数f′(x)在(1,4)上有三个零点,求实数a的取值范围.

二、部分分离参数

例2(2020年泉州市高三质检题)已知函数f(x)=(x2+ax+1)ex.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若函数g(x)=(x2+1)ex-mx-1在[-1,+∞)有两个零点,求m的取值范围.

评注本题对参数部分分离,转化为函数h(x)=(x2+1)ex与函数φ(x)=mx+1图象的交点问题.一个函数不含参数容易求导,另一个含参函数的图象是一条直线,观察它们图象的变化趋势,找到临界的位置,易求得参数的取值范围,使得运算简化.一般地,分离参数究竟是全部分离还是部分分离,要视分离后函数哪个更简单而定.

三、不分离参数

例3(2020年福州市高三质检题)已知函数f(x)=cosx+ax2-1.

(2)若f(x)在R上有且只有一个零点,求a的取值范围.

解(1)略.(2)① 当a=0时,f(x)=cosx-1.令cosx-1=0,解得x=2kπ(k∈Ζ),所以函数f(x)有无数个零点,不符合题意.

② 当a<0时,f(x)=cosx+ax2-1≤ax2≤0.当且仅当x=0时等号成立,故a<0符合题意.

③ 因为f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,又因为f(0)=0,故x=0是f(x)的零点.

当a>0时,f′(x)=-sinx+2ax,记g(x)=f′(x)=-sinx+2ax,则g′(x)=-cosx+2a.

因为f(x)是偶函数，所以f(x)在R上有且只有一个零点.

总之,处理已知函数零点个数求参数取值范围问题,基本思路都是一样的,通过判断函数单调性,利用数形结合思想,将函数的趋势图象作出来,然后根据题意作出合适的函数图象，得到关于参数的不等式.运算过程中,需要思考的是研究哪个函数比较简单,从而选择对参数分离，还是部分分离，还是不分离，做到以上这些,解决这类问题就不难了.