利用“垂径定理”重观圆锥曲线中一类对称问题

◇ 广东 朱清波

在圆锥曲线性质中，探究曲线上是否存在两点关于某直线对称是一类常见的问题，也形成了较为固定的解题模式，在探寻其是否具有其他解法的过程中，笔者发现这类问题与圆锥曲线的一个性质密切相关.因此，笔者在思考其本原的同时根据该性质也设计了几个问题，以期读者对这类对称问题的本质有着更为清晰的理解.

例1设椭圆直线l：y＝4x＋m，则当m 为何值时，椭圆C 上有两点关于l对称?

解法1设椭圆上A，B 两点关于直线l 对称，不妨设直线代入椭圆方程整理得

由Δ＝4t2－13(4t2－12)＞0，解得

设AB 的中点M(x0，y0)，则

又点M 在对称轴l上，则y0＝4x0＋m，即，则故

解法1是一种通法，其主要思路是利用对称轴这一条件结合垂直和中点，最后利用判别式求得参数范围.该解法思路清晰，但给人一种意犹未尽之感.下面我们换一种思路，先探求中点规律，再利用垂直条件.为此先引入椭圆的一个小性质，因为该性质与圆的相关性质类似，故也被称为椭圆的垂径定理.

证明如图1，不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由

将两式作差后整理可得

图1

记直线AB 和直线OM 斜率分别为k1，k2，则

解法2利用上述垂径定理，本题中椭圆的两相关斜率之积为，若斜率为的平行线束与椭圆相交，则所有弦中点的轨迹必为去掉两端点的线段，如图2所示，则直线l：y＝4x＋m 只需与该线段有交点即可(这时l 是过交 点 且 斜 率 为的弦的对称轴)，故

图2

上述思考方式是先确定对称点的所在弦中点需具备的条件再考虑垂直，利用数形结合来解题，这种思维方式有利于学生直观感悟这类对称问题的本质，也有利于学生形成直观想象的核心素养.通过研究发现，在其他圆锥曲线问题中，也有类似的性质和对应的解题方法.

例2已知抛物线y＝x2上存在两点关于直线y＝2x＋m 对称，则实数m 的取值范围是.

我们先证明抛物线与之对应的性质：

[抛物线的垂径定理]如图3，抛物线x2＝2py (p＞0)中，AB 是抛物线的弦，M 是AB 的中点，则

图3

证明不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则＝2py1，＝2py2，作 差 得＝2p(y1－y2)，整理后为故

图4

如图4，则只需直线y＝2x＋m 与该射线有交点即可(这时直线y＝2x＋m 是过交点且斜率为的弦的对称轴)即

例3已知双曲线和直线l：y＝kx＋m，当m∈R时，曲线C 上总存在唯一两点关于l对称，则斜率k 的取值范围是.

我们先给出双曲线的垂径定理.

图5

图6

图7

上述三个例题均是在对称轴所在直线斜率确定(或假设确定)的情况下进行研究，若对称轴所在直线过定点，则可利用先求临界直线方程的方式处理相关问题.

例4已知抛物线y＝x2上存在两点关于直线y＝m(x－3)对称，则m 的取值范围是.

图8

图9

例5已知椭圆和直线l：y＝kx＋m，若对于任意k∈R，曲线C 上不存在两点关于直线l 对称，则实数m 的取值范围是.

先考虑一种临界情况，如图10，作椭圆切线与直线l 垂直，设切点为P，且P 关于原点的对称点P′刚好落在直线l上(这样PP′可视为定斜率弦的中点轨迹，与直线l 的交点刚好在边界上).令P(x0，y0)(x0≠0)，利用切线知识得其斜率为而直线l 斜率为由因为x0≠0，则y0∈(－b，b)，由题意可知该等式不成立，则需有

图10

圆锥曲线的许多性质均具有统一性，本文中的对称问题就反映了这个观点.对一个问题进行反复思考和多角度研究，才能有机会让我们真正理解其本质特征，才能逐步培养自身做一道题会一类题的能力，同时这个探究过程也让我们深刻感受到了数学独特的规律之美.