探析等差数列求和问题

◇ 甘肃 李晓燕

学习贵在思考，知识重在应用.当学完了等差数列的前n 项求和公式后，你是否思考过这个公式应如何应用? 本文就带你一起来探究!

引例设数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n 项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n 项和，求Tn.

分析先求出数列{an}的前n 项的和Sn，而数列是等差数列，故可利用等差数列求和公式求Tn.

解法1设{an}首项为a1，公差为d，则

解法2因为{an}为等差数列，故可设Sn＝An2＋Bn，则

解法1利用基本量法，即在a1，d，an，n，Sn这些量中已知三个就可以求另外两个.而解法2利用了等差数列前n 项和的性质，即Sn是一个常数项为0的二次函数，再采用待定系数法来求解，也是解此类问题的一种通法，解法2比解法1更简捷.

变式1(1)设等差数列{an}的前n 项和Sn＝m，前m 项和Sm＝n(m≠n)，则它的前m＋n 项的和Sm＋n＝.

(2)在等差数列{an}中，前n 项和为Sn，a1＝1，设Tn是数列{bn}的前n 项和，则T99的值是.

分析(1)依据等差数列的前n 项和公式列出方程组，并把方程中的某一部分看成一个整体；(2)先求出Sn，再求an，bn，最后求Tn.

解(1)设Sn＝An2＋Bn (n ∈N*)，则整理得

即Sm＋n＝－(m＋n).

(2)因为数列{an}为等差数列，所以也为等差数列，由题意知它的首项为1，公差为，故即所以an＝n，从而

利用等差数列前n 项求和公式的有关特征解等差数列求和问题，不仅可以帮助我们打开解题思路，而且可以优化解题过程.

变式2等差数列{an}前m 项和为30，前2m 项和为100，求它的前3m 项之和.

分析Sm，S2m，S3m虽然不成等差数列，但却成等差数列.

解由等差数列求和公式的性质知成等差数列，所以解得S3m＝210.

本题也可以利用等差数列前n 项和的另一个性质求解，即Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列.

变式3(1)设等差数列{an}，{bn}的前n 项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n 都有则的值为.

(2)设Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，若则＝.

分析(1)利用等差数列项的性质将化简，进而运用等差数列前n 项和的性质求解；

(2)依据等差数列前n 项和特征，巧设Sn与Tn，进而求出a5与b6.

解(1)因为{an}，{bn}为等差数列，所以

又当n≥2时，

故a5＝9k，b6＝23k，所以

(1)利用了等差数列求和中的中间项的性质求解，而(2)则依据两个等差数列前n 项的比例式及等差数列前n 项和公式的特征，将Sn与Tn“还原”，继而求出两个数列中有关的项，最终求出比值，这是解决这类问题的通法.

从以上探究可以看出，对于等差数列求和公式的应用，我们应该抓住三个特征：一是公式具有二次函数特征，且常数项为0；二是数列是等差数列；三是等差数列的中间项就是前n 项的平均值.