◎陶同兵 (江苏省南京交通技师学院,江苏 南京 210049)
解决和三角形有关的问题要求学生不仅要具有较高的数学运算水平,还要善于审题,抓住关键的思维视角切入,采用相应的解题策略,优化解题过程.
【问题】(2019 年湖南省娄底市高考数学二模试卷·16)在△ABC 中,a,b,c 分别为角A,B,C 所对的边,若c=2b,△ABC 的面积为1,则a 的最小值为.
此题以三角形为载体,需结合两边长的关系以及三角形的面积来确定另一边长的最值,主要考查解三角形、三角函数以及最值的求解问题,要求学生要有较强的数学运算能力,以及化归与转化能力等.此题背景简单,思维视角众多,破解方法精彩.
1.思维视角:解三角形思维.
方法1:(正弦定理法)
解析:由于c=2b,结合正弦定理可得sin C=2sin B,
即sin2C=4sin2B,
则有sin2C-sin2B=3sin2B,
可得sin(C+B)sin(C-B)=3sin2B,
即sin Asin(C-B)=3sin2B,
则有a2≥3,即,即a 的最小值为,当且仅当sin (C-B)=1 时等号成立,
2.思维视角:三角函数思维.
方法2:(三角函数有界性法)
解析:结合余弦定理,可得a2=b2+c2-2bccos A =b2+4b2-4b2cos A=5b2-4b2cos A,
而根据三角函数的有界性知3sin A+4cos A =5sin (A+φ)≤5,则有5-4cos A≥3sin A,
3.思维视角:解析几何思维.
方法3:(坐标法)
解析:以线段BC 的中点为坐标原点,线段BC 所在的直线为x轴,线段BC 的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,
所以a2≥3,即,即a 的最小值为
方法4:(阿氏圆法)
解析:以线段BC 的中点为坐标原点,线段BC 所在的直线为x 轴,线段BC 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系,如上图所示,则
方法5:(斜率的几何意义法)
解析:结合余弦定理,可得a2=b2+c2-2bccos A =b2+4b2-4b2cos A=5b2-4b2cos A,
所以a2=4k≥3,即,即a 的最小值为
4.思维视角:平面几何思维.
方法6:(几何法)
解析:如图所示,作∠CAD =∠B,交BC 的延长线于点D.设CD=x,
即4x2=(a+x)x,可得
所以有a2≥3,即
5.思维视角:方程思维.
方法7:(判别式法)
整理可得16 =(a+b +c)(-a+b +c)(a-b +c)(a +bc)-(a4+b4+c4)+2(a2b2+b2c2+c2a2)=-(a4+b4+16b4)+2(a2b2+4b4+4a2b2),
整理可得9b4-10a2b2+a4+16=0,
那么关于b2的一元二次方程的判别式Δ =(-10a2)2-36(a4+16)≥0,
所以a2≥3,即,即a 的最小值为
6.思维视角:基本不等式思维.
方法8:(基本不等式法)
结合c=2b,可得(a+3b)(3b-a)(a+b)(a-b)=16,
即(9b2-a2)(a2-b2)=16,
那么有(9b2-a2)(9a2-9b2)=16×9,
结合基本不等式,可得16×9 =(9b2-a2)(9a2-9b2)≤
所以a2≥3,即,即a 的最小值为,当且仅当9b2-a2=9a2-9b2,即5a2=9b2,亦即时等号成立,故填答案:.
7.思维视角:导数思维.
方法9:(导数法)
解析:结合余弦定理,可得a2=b2+c2-2bccos A =b2+4b2-4b2cos A=5b2-4b2cos A,
以上三角形中的最值问题的破解方法涉及函数、方程、三角函数、解三角形、不等式、平面几何、解析几何、导数等众多的知识,串联起初中数学与高中数学中的许多相关知识,思维视角涉及面广,解法精彩纷呈.结合众多不同的思维视角来处理此类解三角形问题,充分展示了解三角形问题中蕴涵的知识与能力.学生通过解决此类问题能够真正提升数学能力,发展数学思维,拓展数学应用,培养良好的数学核心素养.