融历史于数列极限定义的教学设计

◎付芳芳 （陆军炮兵防空兵学院，基础部数学教研室，安徽 合肥 231600）

一、引 言

数学科学具有高度抽象、体系严谨、应用广泛、发展连续等特点，数学史就是研究数学科学及其发展规律的一门学科．它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响．因此，数学史不是数学教育可有可无的点缀，而是不可或缺的．将数学史融入数学的教学过程中，对学生学习数学会有更好的教育价值．

首先，它可以使学生体会数学创造的过程，培养创造性思维能力，加深对数学概念、方法和思想的理解．教师在讲课的过程中融入与之相关的数学史内容，可以向学生展现数学家们曾经学习的生活状态，还可以呈现出数学家们最初因什么问题、什么原因去思考该问题及思考解决该问题的过程，这样学生们可以对问题的来龙去脉有更深刻的了解，并激发学生的创造性思维能力，从而对即将要讲授的概念、方法和思想等能够熟练地掌握．

其次，它可以展现数学的魅力及作用，引起学生的兴趣．由于数学的高度抽象性，使得其呈现在学生面前时，不能通过感官使学生直接感受其内在的魅力，因此大多数学生也就不会主动地学习数学．但其实数学既具有完美无瑕的统领地位，又能提供无微不至的服务．它的作用和功效通常不能直接展现，学生们体会不到．而介绍数学史就是向学生展现数学魅力及作用的一种有效手段，在此过程中，学生们能够见证每一个数学问题的解决对当时科技与社会发展的推动作用，从而引起学生的学习兴趣．

最后，学习数学史可以培养学生在学习过程中不畏困难、刻苦钻研的学习精神．数学史离不开数学家，教材上的每一个知识点的形成都是需要数学家们花几十年、几百年，甚至上千年才能彻底完成的，是数学家们潜心钻研、呕心沥血得到的成果．数学家们学习和研究数学的成长道路各不相同，几乎每一位学生都能从数学家的传记中感受到榜样的力量是无穷的．“以人为本”可以由此发挥最大的效益．

基于以上分析，本文拟从极限定义发展史的角度来设计数列极限定义的教学．

二、数列极限定义的教学设计过程

数列极限部分是高等数学课程中的重要内容，也是整个微积分学的理论基石．其中，数列极限概念中的算术定义是高等数学中的一个重点，而且由于其抽象性的特点，学生在学习过程中很难理解，故使得其又成为高等数学中的一个难点．

之前已经有多位教育工作者对数列极限的定义和讲解方法进行了多方面的探讨．本文试图融合数学史的知识于数列极限概念的教学中，让学生在学习数列极限发展史的过程中体会算术定义中“ε”和“N”的由来，加深他们对算术定义的理解，便于学生更好地掌握数列极限定义的深层内涵．

1．数列极限的描述性定义．

首先提出两个问题让学生进行讨论．

问题1 0．9999…与1 的大小关系如何呢？

总结学生课堂讨论后出现的两种答案：

答案1 设0．9999…＝a，则10a ＝9．9999…＝9＋0．9999…＝9＋a，移项得0．9999…＝1．

答案2 虽然9 可以无限循环下去，但小数点前总有个0，所以0．9999…＜1．

问题2 s＝1-1＋1-1＋1-1＋…＝？

总结学生讨论后出现的三种答案：

答案1 s＝（1-1）＋（1-1）＋（1-1）＋…＝0＋0＋0＋…＝0．

答案2 s＝1-（1-1）-（1-1）-（1-1）＋…＝1-0-0-0-…＝1．

答案3 s＝1-（1-1＋1-1＋1-1＋…）＝1-s，移项得

两个问题都出现了多种答案，这种答案的不确定性迅速抓住了学生们的注意力，让学生们快速引起对教师即将要讲授的知识的兴趣．接下来教师就指出，之所以出现了多种看似有道理的答案，本质上是因为用“有限”观来解释“无限”过程是错误的，同时引导学生回忆高中时用到过的“极限”观去解释“无限”的过程．而数列极限的描述性定义是学生们在高中数学中就已经接触过的知识，教师接下来带领学生回忆数列极限的描述性定义．

定义1 对于无穷数列｛xn｝，当项数n 无限增大时，xn无限趋近于某个常数a（｜xn-a｜无限接近0），那么就说xn的极限为a．

下面来分析这个描述性定义．在这个定义中，关键要抓住两个无限变化的过程，一是n“无限增大”，二是xn与a“无限接近”．回顾利用数列极限的描述性定义求数列极限的方法：直接观察法（描点，作图，观察），并举出以下几个例子说明如何直接观察数列的极限值：

此时，教师可以提醒学生使用MATLAB 软件作出点列图进行观察．由于学生在作图的时候只能作出有限多项的点列图，因此可以指出描述性定义中存在的两个问题：

第一，什么是“n 无限增大”？ 画图观察的时候，n 到底取到多大才算“无限增大”？ 一万、一百万、还是一亿？ 显然，只要是一个具体的数字，哪怕是天文数字，都不能叫“无限增大”．

第二，什么是“xn与a 无限接近”？ xn与a 之间差多少才算“无限接近”？ 显然，只要它们之间的差值是一个具体的数，无论是多么小的数字，都不能叫“无限接近”．

由此看出数列极限的描述性定义比较模糊，不符合数学科学严谨性的特点，所以我们有必要对数列极限下一个更精确的定义，即用数学的算术语言去描述“n 无限增大”和“xn与a 无限接近”这两个无限变化的过程．

2．数列极限的算术定义的发展史．

（1）朴素的、直观的极限观时期（公元前300 多年前～17 世纪）．

在这一时期，古希腊开始陆续出现了一些极限思想的应用，代表人物有柏拉图的学生尼多斯的欧多克索斯（公元前400 年～公元前347 年），他提出了“设给定两个不相等的量，如果从其中较大的量减去比它的一半大的量，再从所余的量减去比这余量的一半大的量，继续重复这一过程，必有某个余量将小于给定的较小的量”．我们称之为“穷竭法”．之后，希腊人还利用这种“穷竭法”来证明关于曲线图形的面积和体积的那些定理．特别是，阿基米德（公元前287 年～公元前212 年）把那个最早的令人满意的证明即“圆锥体的体积是同底同高的圆柱体体积的三分之一”归到了欧多克索斯的名下．

这一期间，我国魏晋时期的刘徽是第一位用极限思想来考虑问题的科学家．他先用圆内接正六边形来近似代替圆的面积，然后将每条边一分为二，用圆内接正十二边形来近似代替圆的面积，如此继续下去．用刘徽的话来说，就是“割之弥细，失之弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”．我们称之为“割圆术”．他的“割圆术”把π的值精确到了小数点后3 位．把割圆术推向极致的是我国南北朝时期的数学家祖冲之，他把π 的值精确到了小数点后7位．在此后一千多年的漫长岁月里，人们的极限观基本停留在这一层次．

（2）神秘的极限观时期（17 世纪～18 世纪）．

这一时期人类数学史上发生了一件重大的事情，那就是牛顿（1643 年～1727 年）和莱布尼茨（1646 年～1716 年）分别独立地创立了微积分学，在他们建立微积分的过程中都用到了极限的思想．例如，牛顿在1676 年撰写的《曲线求积术》中提出了“最初比和最终比”的学说．他用下面的方法来求“初始增量的最初比”或“渐进于零的增量的最终比”．设x 和xn的变动率是我们要求的．设o 是x 的增量，（x＋o）n-xn是对应的xn的增量，则这两个增量之比为1 ∶为了求出最初比和最终比，可以让o 消失，得到1 ∶nxn-1．在这里，牛顿的方法实际上已经非常接近于极限的概念了，但是他们最终都没能够严格明确极限的含义．

由于微积分在解决实际问题中的强大能力，使得在此后近一个世纪的时间里许多科学家都致力于解释到底什么是极限，并最终在实数集理论的基础上建立了严格的极限理论，使得微积分有了坚实的理论基础，成了一门严谨的学科．

（3）严格的极限理论时期（18 世纪～19 世纪）．

第一个明确提出极限概念的人是法国数学家达朗贝尔（1717 年～1783 年）．达朗贝尔相信，微积分真正的玄妙应该到极限的观念中去找．他在《百科全书》中把牛顿的术语“最初比和最终比”解释为极限．在他为《百科全书》撰写的关于“极限”的词条中提出，“假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量，则把第一个量称作第二个（变）量的极限”．显然他提出的仍然是一个描述性定义．

在其后，对极限概念发展有重大突破贡献的是法国数学家柯西（1789 年～1857 年）．他把达朗贝尔的极限概念作为基本概念，并赋予它更精确的算术特征．他摒弃了几何，摒弃了无穷小或速率，给出了相对比较清晰的极限定义：“如果赋给一个变量的连续值无限趋近于一个固定值，以至于到最后，它与这个固定值的差要多小有多小，那么，这最后的值被称作所有其他值的极限”．不仅如此，他还给出了沿用至今的极限符号“lim”，并指出xn与a“无限接近”是指它们之间的差值可以“要多小就有多小，”也就是它们之间的距离“要多小就有多小”，可以用｜xn-a｜表示它们之间的距离．那么到底要小到什么程度才算是我们想象中的“要多小就有多小”呢？ 显然，小于任何一个具体的数都不能算是“要多小就有多小”．柯西这样思考这个问题：随便你给个多么小的正数ε（你想给多小就多小），我都可以让xn与a 之间的距离比你给的这个正数ε 还小，这样你总该相信xn与a 之间的距离可以要多小就有多小了吧．于是，柯西说：“对∀ε＞0，｜xn-a｜＜ε 就表示了xn与a 之间的距离可以要多小就有多小．”这样就有了用数学的语言刻画极限描述性定义中的第一个无限变化的过程，即xn与a“无限接近”的过程．

但是，问题仍然没有解决．那就是，这里出现的xn是哪一项呢？ 是x1，x2？ 还是x3，x4？ …显然，对于任何一个具体的xn，｜xn-a｜都是一个具体的数，不可能要多小就有多小，除非xn＝a．显然是当n 无限增大时才有这个等式成立，而一旦要求n 无限大，就跳出了我们的认知范围．如何解决这个矛盾呢？ 德国数学家魏尔斯特拉斯（1815 年～1897 年）巧妙地解决了这个棘手的问题．他指出：既然xn的极限只与当n 无限增大时的xn的值有关，那就是说与从x1开始的前面的任意有限项都无关，也就是只要在数列中存在一项第N项xN，使得这一项以后的所有项都满足不等式｜xn-a｜＜ε 即可，哪怕这个N 再怎么大，扔掉的都是这个数列中的有限项，而数列中的任意有限项都与数列的极限值无关，这样就有了用数学的语言刻画极限描述性定义中的第二个无限变化过程，即n“无限增大”的过程．于是，魏尔斯特拉斯总结出：∃N∈Z＋，当n＞N 时，｜xn-a｜＜ε 恒成立．这就是沿用至今的数列极限的算术定义．

值得指出的是，魏尔斯特拉斯在给出极限的算术定义时，他只是一名中学的老师．但在1853 年，由于他的一篇论述阿贝尔函数的论文使得他被广泛地认可，随后不久他便成了柏林大学的教授，当时他差不多40 岁．人们普遍认为伟大的数学家必定在早年的时候就赢得了名声，而魏尔斯特拉斯却成了一个引人注目的例外．他大器晚成，在19 世纪最后30 余年里，他被很多人认为是世界上首屈一指的分析学家．

3．数列极限的算术定义．

定义2（“ε-N”定义） 设｛xn｝为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n＞N 时，不等式｜xn-a｜＜ε 都成立，那么就称常数a 是数列的极限，或者称数列｛xn｝收敛于a，记为或xn→a（n→∞）．

下面应用数列的算术定义证明用数列极限描述性定义得到的数列的极限值．

这是一个结构非常简单的数列，精讲的目的是通过带领学生多次尝试让学生体会出极限的算术定义应该注意的两点：

一是ε 在给之前是“任意”的，给之后就是“确定”的．只有是“任意”的，才能刻画xn与a 之间的距离是“要多小就有多小”；只有是“给定”的，才能找出相应的N，以确保第N＋1项以后所有的项都满足xn与a 之间的距离可以小于预先给定的值；

二是N 的“相应性”，它是与ε 相关的．一般来说，N 随着ε 的减小而增大，N 可大不可小，所以通常可以将绝对值式子先放大．

这种先用具体数值代入来解释ε 和N 的特点及关系的方法不同于以往的直接用“ε-N”定义证明的方法，便于学生更好地理解和使用算术定义．

例2证明

分析由于分子中也含有n，故为了解出不等式需要将分子中的n 放缩掉．又由于N 可大不可小，所以采用将绝对值式子放大的方法去除分子中的n．

证明对∀ε＞0，

最后再通过下面两个例题进一步巩固数列极限算术定义的使用．

例3证明数列，…的极限是1．

例4设｜q｜＜1，证明等比数列1，q，q2，…，qn-1，…的极限是0．

具体证明过程这里不再赘述．

三、教学总结

本教学设计摒弃了以往的直接给出数列极限算术定义再解释说明的教学模式，通过分析指出数列极限描述性定义中对于两个“无限”变化过程刻画不清，从而让学生体会到对数列极限下算术定义的必要性．针对数列极限算术定义的教学难点和重点，笔者利用介绍数列极限算术定义的发展史一步步地给出数列极限的算术定义，从而让学生能够更加深刻地理解数列极限算术定义的内涵和本质．