用问题结构推进高中数学课堂教学

◎朱孟滢 （江苏大学教师教育学院，江苏 镇江 212013）

著名的教育心理学家布鲁纳曾经说过，“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动”．美国数学家哈尔莫斯也曾说过，“问题是数学的心脏”．这句话揭示了数学这门学问几千年来生生不息、发展不止、生命力无限的实质，得到了数学界的一致认同．可见，数学的发展离不开问题．数学研究首先要提出一个问题（研究问题的一般方法）．当学生开始学习数学新知识的时候，就进入了数学的一个未知领域，实质上也是开始一种数学研究，那么作为数学的新授课教学，同样也是首先要提出一个问题，这个引领新授课教学的问题可以被称为“目标问题”，然后围绕这个目标问题展开研究活动．有了目标问题，一节课的数学活动就有了明确的目标．数学教学活动就是教师从学生的最近发展区出发，正确地引导学生探索新知，将未知转化为已知的这样一个活动．所以从本质上说，数学教学活动是一种研究数学问题的活动．在高中数学的教学过程中，要真正教会学生思考，就要求教师在进行课堂教学设计时做到课堂问题结构化，用问题结构推进教学．

问题结构是数学知识结构的表现形式．问题结构化是以构成思维导向的问题为主线，以发现问题——解决问题——再发现问题——再解决问题为全过程．数学课堂教学中，每一节新授课都要去解决一个目标问题．所谓的目标问题就是与本节课主要教学内容有关的基本问题．目标问题的提出有助于帮助学生认识到为什么要学习这个数学新概念、新方法，说明正是要解决这个问题才产生了今天要学习的这个数学概念，这个解题方法，从而激起学生的求知欲，激发学生的学习兴趣、学习热情．提出一个目标问题，为了解决它就很可能要提出一系列的子问题．每解决一个子问题就向着目标问题的解决前进了一步，全部问题解决了，那个目标问题就解决了，这样就形成了问题导向、形成结构、环环相扣、逐个解决、层层推进的过程．

下面以高中数学教学的两个案例中的问题结构为例，展示如何设计问题结构，从而实现“用问题结构推进教学”．

案例一：任意角的三角函数．

（1）什么叫函数？

（2）在初中，我们在直角三角形中对锐角的正、余弦以及正切这几个三角函数进行了学习．回忆一下：这些三角函数各是怎样定义的？

（3）对于确定的锐角，它的正弦、余弦、正切值会不会随“斜边”的变化而变化？

（4）我们已将角的概念由锐角推广到了任意角，那么三角函数的概念是否也能推广到任意角呢？

（5）在对角的概念进行推广时，我们是把角放在哪里来研究的呢？

（6）你能把刚才的直角三角形放到直角坐标系中，用坐标表示锐角的正弦、余弦、正切值吗？

（7）如下图，对于确定的角α，若点P 在终边上的位置改变了，这三个比值也会改变吗？ 为什么？

（8）锐角的终边在第一象限，那么终边在第一象限的角的三角函数如何定义？

（9）任意角的三角函数值该如何定义呢？

（10）既然对于给定的角，其三角函数值与点P 在终边上的位置无关，那么大家有没有办法让所得到的定义形式变得更简单一点呢？

（11）当角的大小发生变化时，单位圆上的点的坐标或坐标的比值会改变吗？

（12）我们已经知道角的终边的位置决定了角的三角函数值，那么角的终边旋转一周，角的大小如何变化？ 其三角函数值又如何变化？

（13）你能否给出正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域？

（14）你能用函数的概念对任意角的三角函数的定义进行完整的阐述吗？

此案例的问题结构中，问题是按照一定的逻辑联系构成序列的，对课堂教学的推进具有思维导向作用．

问题（1）到问题（2）存在逻辑联系和问题导向．问题（1）引导学生对函数的概念进行回顾，问题（2）引导学生复习初中所学的三角函数定义．由函数到三角函数是由一般到特殊、由共性到个性的关系．学生在掌握函数概念的基础上再学习三角函数，实际上是从一般到特殊的演绎过程，亦是用具体函数来丰富函数概念的过程．这里让学生回想函数的概念，是为了明确函数概念的本质，在认知上为学习任意角的三角函数概念做好准备．

在问题（1）的基础上，问题（2）和问题（3）带领学生进一步体会到初中所学的锐角三角函数是一种特殊的函数．此外，问题（2）和问题（3）的设计由学生已有的认知出发，带领学生有针对性地复习锐角三角函数，为下面三角函数的定义由锐角扩展到任意角做好铺垫．

通过本章前一节“任意角、弧度制”内容的学习，角的概念已经推广到任意角．那么，从思维的角度出发，学生顺理成章地会想到“三角函数的概念也要进行扩展，锐角三角函数的概念是否也能推广到任意角”这个问题．至此，这节课的目标问题就提出来了．目标问题提出来了，就得寻找解决问题的方案．如何寻找，从方法论的角度来讲，人类解决问题都是从已知去探求未知，去联系过去有没有类似的问题，于是，问题（5）到（9）就应运而生．这五个问题之间的逻辑联系和思维导向关系是显而易见的：在直角坐标系中研究任意角→用坐标表示锐角的三角函数值→用坐标表示第一象限角的三角函数值→用坐标表示任意角的三角函数值．这种由特殊到一般的思想很重要．为了顺利实现推广，可以构建中间桥梁，使之与前面所学知识相结合，自然转化到任意角的情形，这是正确理解任意角三角函数概念至关重要的一步，也是数学发现的重要思想方法．培养学生的迁移能力，能够帮助学生为之后的学习中对知识的推广拓展奠定基础．

问题（10）是为引入单位圆而设计的．教师引导学生对所提问题进行讨论时，也可以设置以下几个小问题来启发学生：我们是用什么来定义1 弧度角的？ 其与圆的半径大小有关吗？ 那么，为了使定义更简单，让圆的半径多大比较好呢？ 在此基础上，进一步提出问题（11），能够帮助学生更好地理解三角函数值和单位圆与角的终边交点之间的对应关系．这个时候紧接着提出问题（12），学生就很容易理解和回答了．这样做的目的是引导学生更好地理解三角函数的变化规律，并在此基础上顺理成章地引出第一组诱导公式，突出三角函数呈周期性变化的特征．

问题（13）是为了引导学生在得出定义的基础上求三角函数的定义域，对三角函数的概念进行了完善，加深了学生对三角函数的概念的理解．问题（7）到问题（14）紧扣函数概念的本质，强调变量之间的对应关系，与问题（1）遥相呼应，是从函数知识演绎到三角函数知识的重要依据，从而帮助学生正确理解三角函数的概念，把三角函数知识纳入函数的知识结构，增强学生的函数观念．

案例二：

（1）设A 点和B 点分别在河的两岸，现要测量A，B 之间的距离是多少．测量者在A 点所在一侧的河岸边取一点C，测出A，C 之间的距离为55 m，∠ACB ＝60°，∠BAC ＝45°，请由此求出A，B 间的距离．——数学化为“任务一：寻找三角形的边角关系．”

（2）直角三角形中存在怎样的边角数量关系？

（3）其他三角形中是否也存在类似的关系？

（4）你能否大胆地做出合理的猜想？

（5）如何证明猜想？ ——进而呈现“任务二：证明猜想．”

（6）分析正弦定理的表达式，利用正弦定理解三角形需要知道三角形的哪些元素？

（7） 你会用正弦定理求解A，B 两点之间的距离吗？ ——进而进入“任务三：小定理大应用”．

由上述7 个问题构成的问题结构揭示了正弦定理的发现、证明和应用的主要过程，将正弦定理的教学层层推进．该问题的设计体现了数学教学是数学活动教学的思想，围绕定理的三个要素，问题结构化为7 个子问题，步步为营，环环相扣，导向清晰，目标明确．

每节课的首要任务是提出本节课要研究的问题，这一点十分重要．在处理问题（1）时，教师可以引导学生将实际问题转化为数学模型：在△ABC 中，已知∠A，∠C 的大小以及一边AC 的长度，求另一边AB 的长，即：已知三角形的两个角和一边，求其他的边．这可以使学生明白数学知识总是从问题开始的，从而明白本节课学习的目的．问题提出后，接下来就要解决问题．问题（2）引导学生回忆直角三角形中的边角关系，在此基础上引导学生思考问题（3），（4），（5）．在证明猜想的过程中，教师引导学生分类讨论，分别按最大角是锐角和钝角来研究，然后按照将未知转化为已知的研究思路，化斜为直——构造直角三角形来证明．通过猜想和证明得到了正弦定理，接下来自然要研究这个定理可以解决哪些问题．问题（6）引导学生从方程的角度对正弦定理进行分析，确定在解三角形问题中正弦定理的适用范围，进而提出问题（7）．至此已经得出正弦定理以及运用正弦定理所能解决的问题，所以再回过头来探究本节课一开始提出的实际问题如何解决，学以致用，让学生在问题的解决中体会到学习的乐趣，激发学生学习的兴趣．

通过以上两个案例可以看出，用以推进教学的问题结构是具有思维导向和一定逻辑联系的问题结构，旨在教会学生提出问题，建构概念，寻找思路，研究问题的一般方法．问题结构不同于一般意义的“问题串”，“问题串”可以是毫无关联的一串问题，而问题结构是数学知识结构的表现形式，问题结构化是以构成思维导向的问题为主线，以“问题——解决——问题——解决……”的问题导向结构推进教学过程的进行．